淺談閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

王云巍

摘 要：本文主要了解了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)，包括最值的可達性和有界性，介值性與根的存在性，并對這些性質(zhì)在開區(qū)間上做相應推廣。

關鍵詞：閉區(qū)間；開區(qū)間；連續(xù)函數(shù)；最值的可達性；有界性；介值性；根的存在性

定義1[1]若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，在a點右連續(xù)，在b點左連續(xù)，我們就稱函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù).

連續(xù)函數(shù)所具有的局部有界性、局部保號性等性質(zhì)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)自然都具有，但它既然有閉區(qū)間這個特殊性，又具有哪些自己獨特的性質(zhì)呢？下面我們就來討論閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)所具有的幾個基本性質(zhì)及其在開區(qū)間上的簡單推廣，以提高大家對這些性質(zhì)的認識，擴大應用范圍。

一、最值的可達性和有界性

定理1 （有界性定理） 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界.

定理2 （最大、最小值定理） 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上一定有最大值與最小值.

連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的有界性和最值可達性在很多問題的證明中都起到一個切入點的作用，比如積分第一中值定理和羅爾中值定理的證明。這兩個性質(zhì)固然好，但兩個硬性條件缺一不可，一個是閉區(qū)間，一個是連續(xù)函數(shù)。我們自然會考慮，如果條件有所減弱，這兩個性質(zhì)是否成立呢？下面我們來看開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在什么條件下也具備這兩個性質(zhì)。

推論1 函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，且在a點存在右極限，在b點存在左極限，則f（x）在（a，b）上有界.

證明：設f（x）在a點的右極限為A，在b點的左極限為B，補充定義f（a）=A，f（b）=B，則f（x）在a點右連續(xù)，在b點左連續(xù)，從而函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，由定理1知，f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界，因而在開區(qū)間（a，b）上有界。

推論2 函數(shù)f（x）在[a，+∞）上連續(xù)，且存在，則f（x）在[a，+∞）上有界.

證明：由函數(shù)極限的局部有界性知，存在正數(shù)M，當X大于M時，函數(shù)f（x）有界，而f（x）在閉區(qū)間[a，M]上連續(xù)，由定理1知，f（x）在[a，M]上有界，從而函數(shù)在區(qū)間[a，+∞）上有界。

推論3 函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，且與都存在，則f（x）在（-∞，+∞）上有界.

該證明過程與推論2類似，此處省略。

由有界性定理與最值定理的關系，試想上述三個推論的結(jié)論是否可以換成f（x）在相應的區(qū)間上可以取到最大值與最小值呢？顯然推論1與推論3是不成立的。對于推論1，我們可以很容易地找到一個反例，比如正比例函數(shù)。對于推論3，我們也可以找到反例，比如反正切函數(shù)y=arctanx，在定義區(qū)間上滿足條件，但卻永遠取不到最值。而對于推論2中的條件，我們有以下推論。

推論4 函數(shù)f（x）在[a，+∞）上連續(xù)，且，則f（x）在[a，+∞）上至少可以取到最大值與最小值中的一個.

證明：此證明分三種情況討論

情況1：f（x）≡A，結(jié)論顯然成立。

情況2：定義區(qū)間中存在一點x0，使得f（x0）>A，則由函數(shù)極限的局部保號性知，存在正數(shù)M，當X大于M時，所有的f（x）都小于f（x0），故函數(shù)f（x）在[a，+∞）上能取到最大值。

情況3：定義區(qū)間中存在一點x0，使得f（x0）

二、介值性與根的存在性

定理3 （介值性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），則對介于f（a）與f（b）之間的任何實數(shù)μ，至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

定理4 （根的存在性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

定理4可看成是定理3的一種特殊情況，從幾何意義上看，根的存在性定理說明若連續(xù)曲線弧的兩個端點位于x軸上下兩側(cè)，則這段弧至少與x軸有一個交點。這兩個定理的應用十分廣泛，可用來解決方程根的存在性問題，判斷方程根的個數(shù)和范圍等問題。在此，我們考慮根的存在性定理的一種推廣，以便于我們解決方程根的問題，那么在開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足什么條件可以保證根的存在性呢？

推論5 函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，且，滿足，則至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

證明：補充定義f（a）=A，f（b）=B，則f（x）在a點右連續(xù)，在b點左連續(xù)，從而函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，由定理4知，f（x）=0在（a，b）內(nèi)至少有一根。

通過以上的討論可以發(fā)現(xiàn)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可以延拓到開區(qū)間上，擴大了應用的范圍。由此我們可以受到啟發(fā)，對數(shù)學中的很多定理要多加探究，大膽猜測并努力證明，這樣才可以對知識有更深入的了解。由于本人的知識水平和能力有限，對定理的推廣并不是十分深入和全面，還有待提高。

參考文獻：

[1]華北師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.