連續(xù)凸函數(shù)的判定定理

陶有德，朱 葉，陶亦文

(1.信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽 464000;2.河南商業(yè)高等?？茖W(xué)校 計算機應(yīng)用系，河南 鄭州 450044)

連續(xù)凸函數(shù)的判定定理

陶有德1，朱 葉2，陶亦文1

(1.信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽 464000;2.河南商業(yè)高等?？茖W(xué)校 計算機應(yīng)用系，河南 鄭州 450044)

研究了一類連續(xù)但不可導(dǎo)凸函數(shù)的性質(zhì)，并給出相應(yīng)的判定定理.所得結(jié)果可以視為可導(dǎo)凸函數(shù)的相關(guān)結(jié)論的推廣.

連續(xù)函數(shù);可導(dǎo)函數(shù);凸函數(shù);單側(cè)導(dǎo)數(shù);確界定理

0 引言

凸函數(shù)是一類具有顯著幾何特征的函數(shù)，在線性規(guī)劃、最優(yōu)控制、不等式等領(lǐng)域有著非常重要的應(yīng)用.自1905年Jensen首次給出凸函數(shù)的定義以來，研究凸函數(shù)的性質(zhì)及其判定條件，一直是人們關(guān)注的熱門問題[1－4].在現(xiàn)有文獻中，關(guān)于可導(dǎo)凸函數(shù)的判定條件的討論已近于完善，并得到許多有用的結(jié)論[5－6].但是，在實際應(yīng)用中存在著大量在區(qū)間上連續(xù)但不可導(dǎo)凸函數(shù)問題，例如函數(shù)

在[－1，1]上是凸函數(shù)，且 f(x)在[－1，1]上連續(xù)但在[－1，1]上不可導(dǎo).此時，關(guān)于可導(dǎo)凸函數(shù)的判定條件失效，需要尋求新的方法判定此類函數(shù)的凸凹性.為此，本文選取連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)作為研究對象，利用單側(cè)導(dǎo)數(shù)和確界存在定理，討論連續(xù)凸函數(shù)的判定條件，并將所得結(jié)果推廣到可導(dǎo)凸函數(shù)中去.

1 預(yù)備知識

為證明本文的主要結(jié)果，需要用到以下引理.

引理1[1]函數(shù) f(x)為區(qū)間 I上的凸函數(shù)的充要條件是:?x1，x2，x3∈I，x1＜x2＜x3，總有

引理2[2]設(shè)函數(shù) f(x)為開區(qū)間(a，b)上的凸函數(shù)，則?x0∈(a，b)，過 x0的弦的斜率

在(a，b)上是關(guān)于 x的增函數(shù).

引理3[3]設(shè)函數(shù) f(x)為開區(qū)間(a，b)上的凸函數(shù)，則 f(x)在(a，b)上處處存在左、右導(dǎo)數(shù)，且 x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，滿足

由引理3，容易得到以下引理.

引理4 設(shè)函數(shù) f(x)為開區(qū)間(a，b)上的凸函數(shù)，則函數(shù) f(x)在(a，b)上連續(xù).

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a，b)上有定義，若?x0∈(a，b)，存在實數(shù) α，使得?x∈(a，b)，有

則 f(x)為(a，b)上的凸函數(shù).

證明 ?x1，x2，x3∈(a，b)，x1＜x2＜x3，由題設(shè)對于 x2，存在實數(shù) α，使得?x∈(a，b)，有

特別地，分別取 x=x1和 x=x3并代入(3)，有

由此

故由引理1知，f(x)為(a，b)上的凸函數(shù).

定理2 設(shè)函數(shù) f(x)為開區(qū)間(a，b)上的凸函數(shù)，則?x0∈(a，b)，存在實數(shù) α，使得?x∈(a，b)，有

由引理4及定理1，定理2，容易得到以下推論.

推論1 設(shè)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a，b)上有定義，則 f(x)為連續(xù)凸函數(shù)的充要條件是:?x0∈(a，b)，存在實數(shù) α，使得?x∈(a，b)，有

定理3 設(shè)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a，b)上有定義，若?x0∈(a，b)，存在定義在(a，b)上的函數(shù) g(x)，使得?x∈(a，b)，有

則 f(x)為(a，b)上的凸函數(shù).

證明 ?x1，x2，x3∈(a，b)，x1＜x2＜x3，由題設(shè)對于 x2，存在定義在(a，b)上的函數(shù) g(x)，使得?x∈(a，b)，有

特別地，分別取 x=x1和 x=x3并代入(5)，有

由此

故由引理1知，f(x)為(a，b)上的凸函數(shù).

定理4 設(shè)函數(shù) f(x)為開區(qū)間(a，b)的凸函數(shù)，則?x0∈(a，b)，存在定義在(a，b)上的函數(shù) g(x)，使得?x∈(a，b)，有

證明 設(shè)函數(shù) f(x)為開區(qū)間(a，b)的凸函數(shù)，則由引理3和確界存在定理，?x，y∈(a，b)，y＜x，上確界

存在，記作

此時，g(x)是(a，b)上的關(guān)于變量 x的函數(shù).

以下分兩種情況進行討論:

1)?x0∈(a，b)，?x∈(a，b)，當(dāng) x＞x0時，?x'∈(a，b)，x'＜x0＜x，由引理2，有

于是由(7)，有

由此，f(x)≥f(x0)+g(x0)(x－x0).

2)?x0∈(a，b)，?x∈(a，b)，當(dāng) x＜x0時，?x″∈(a，b)，x＜x″＜x0，由引理2，有

于是由(8)，有

由此，f(x)≥f(x0)+g(x0)(x－x0).

由引理4及定理3，定理4，容易得到以下推論.

推論2 設(shè)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a，b)上有定義，則 f(x)為連續(xù)凸函數(shù)的充要條件是:?x0∈(a，b)，存在定義在(a，b)上的函數(shù) g(x)，使得?x∈(a，b)，有

此外，由推論1，推論2，容易得到以下可導(dǎo)凸函數(shù)的判定定理.

推論3[1]設(shè)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，則 f(x)為凸函數(shù)的充要條件是:?x0∈(a，b)，?x∈(a，b)，有

證明 令 α=f'(x0)或令 g(x)=f'(x)，則由推論1或推論2，結(jié)論成立.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊[M].北京:高等教育出版社，1991.

[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中典型例題與方法[M].北京:高等教育出版社，1993.

[3]沈燮昌，邵品琮.數(shù)學(xué)分析縱橫談[M].北京:北京大學(xué)出版社，1989.

[4]王霞，江曉武.連續(xù)凸函數(shù)的判據(jù)及幾何特征[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2006，36(12):274－277.

[5]劉文武.凸函數(shù)的一個等價性質(zhì)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(1):9－10.

[6]陶有德，任鵬，路振國.凸函數(shù)極值點的分布問題[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，32(3):1－3.

Abstract:The convex function which is continuous but non－differentiable was studied in this paper，and some criterions of the continuous convex function were given.The obtained results are the further promotion of the the differentiable convex function.

Key words:continuous functions;differentiable functions;convex functions;unilateral derivative;the theorem of supremum and infimum

The Criterion of Continuous Convex Functions

TAO You-de1，ZHU Ye2，TAO Yi-wen1
(1.College of Mathematics and Information Sciences，Xinyang Normal University，464000，Xinyang，Henan，China; 2.Department of Computer，Henan Business College，450044，Zhengzhou，Henan，China)

O 174.13

A

2095－0691(2012)03－0027－03

2012－01－11

國家自然科學(xué)基金資助項目(10671166);河南省教育廳自然科學(xué)基金項目(2010B120010，2011A110017)

陶有德(1964－ )，男，河南潢川人，副教授，博士，主要從事系統(tǒng)工程、泛函分析的教學(xué)與研究.