求解簡(jiǎn)單多面體外接球問題的策略

陳土樹

【摘 要】簡(jiǎn)單多面體外接球的問題經(jīng)常在各類考試中屢見不鮮，是有關(guān)球的問題的常見題型。它考查了學(xué)生核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象思想方法，更考查學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。本文力爭(zhēng)在求解簡(jiǎn)單多面體外接球問題上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件化歸轉(zhuǎn)化，有的建構(gòu)模型，有的從性質(zhì)出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升了學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化能力。

【關(guān)鍵詞】簡(jiǎn)單多面體；外接球；數(shù)學(xué)抽象；化歸與轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。高中數(shù)學(xué)中重要思想方法有很多，化歸與轉(zhuǎn)化是其中的一種。它是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想通俗的說，就是化陌生的為熟悉的，化復(fù)雜的為簡(jiǎn)單的，化困難的為容易的，化抽象的為直觀的等。當(dāng)然這里的轉(zhuǎn)化是等價(jià)的轉(zhuǎn)化，具有普遍適用性.它作為一個(gè)非常重要的解題策略，能夠在學(xué)生“山重水復(fù)疑無路”時(shí)，層層撥開迷霧，出現(xiàn)“柳暗花明又一村”，一步步的讓學(xué)生達(dá)到自身的“最近發(fā)展區(qū)”，從而把復(fù)雜的題目給迎刃而解了。

近年來，不管是全國(guó)卷還是各省市的質(zhì)檢卷，都會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)單多面體外接球的題目。它既考查了學(xué)生的空間想象能力，又考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法。在日常教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生過多的依賴空間向量工具，空間想象力不斷減弱，從而對(duì)此類問題，呈現(xiàn)出化歸轉(zhuǎn)化不足，經(jīng)驗(yàn)欠缺，進(jìn)而產(chǎn)生畏難情緒，造成得分率極低.多面體外接球問題，即轉(zhuǎn)化為確定球心，求出半徑，核心在于球心的確定。筆者認(rèn)為很有必要針對(duì)這一塊內(nèi)容進(jìn)行較為系統(tǒng)的梳理與歸納，下文中以“三棱錐與四棱錐”這兩種簡(jiǎn)單多面體為例。

一、構(gòu)造長(zhǎng)方體（正方體）模型確定球心

我們知道長(zhǎng)方體是高中立體幾何學(xué)習(xí)中的基本圖形，學(xué)生都很熟悉它的性質(zhì)和特征。長(zhǎng)方體的外接球球心是體對(duì)角線的中點(diǎn)，體對(duì)角線就是外接球的直徑。不少三棱錐和四棱錐的外接球問題可以通過構(gòu)造長(zhǎng)方體模型就能迎刃而解。這就是化歸與轉(zhuǎn)化原則之一——熟悉化原則。

問題呈現(xiàn)

例1：已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=■，BC=■，AC=2，則此三棱錐的外接球的體積為（ ）

A.■π B.■π C.■π D.■π

解析：首先我們要數(shù)形結(jié)合將數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系在圖形上轉(zhuǎn)化體現(xiàn)出來。“三條側(cè)棱兩兩互相垂直”這個(gè)條件是關(guān)鍵，依據(jù)它可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化——將該三棱錐補(bǔ)形構(gòu)造以PA、PB、PC為棱的長(zhǎng)方體如圖1（2）。依據(jù)三棱錐的外接球的唯一性，那么三棱錐P-ABC外接球轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球，只需根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球半徑求法求出外接球的半徑即可。我們由勾股定理得PA■+PB■=5，PC■+PB■=7，PC■+PA■=4，求得PA■+PB■+PC■=8，從而求得外接球半徑R=■=■，代入體積公式■πR■=■π。

變式 在三棱錐A-BCD中，AB=CD=■，AD=BC=■，AC=BD=■，則三棱錐A-BCD外接球的體積為____________。

解析：變式中，由“AB=CD=■，AD=BC=■，AC=BD=■”可知三組對(duì)棱分別相等，即可轉(zhuǎn)化——補(bǔ)形長(zhǎng)方體，三組對(duì)棱分別是長(zhǎng)方體的三組對(duì)面的面對(duì)角線，如右圖所示，從而該題就能迎刃而解了。

一般地我們可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造長(zhǎng)方體（正方體）模型有以下幾種類型：

（1）三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體 （或正方體）；

（2）一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形的三棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體（或正方體）；

（3）對(duì)棱分別相等的三棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體（或正方體）；

（4）正四面體可補(bǔ)成正方體；

（5） 由兩個(gè)公共斜邊的直角三角形構(gòu)成的三棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體；

（6） 一條側(cè)棱垂直于底面且底面是矩形的四棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體（或正方體）。

二、構(gòu)造直棱柱模型確定球心

我們知道有外接球的直棱柱，它的外接球球心在上下底面外心連線的中點(diǎn)處，外接球半徑通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求得，最終轉(zhuǎn)化為方程：R■=r■+（■）■求得。這就是化歸與轉(zhuǎn)化方法的“構(gòu)造法”，構(gòu)造一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。

問題呈現(xiàn)

例2：已知四面體S-ABC所在頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，則球O的表面積為________。

解析：將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化到圖形中，由“SC⊥平面ABC，∠BAC=120°”。將四面體S-ABC補(bǔ)形成以△ABC為底面的直三棱柱如圖2（2），假設(shè)上下底面的外心分別為Q，Q ，那么QQ 的中點(diǎn)即是球心O，連接OC，CQ ，OC就是外接球半徑R，CQ'是底面△ABC的外接圓半徑r。顯然由正弦定理得CQ'=■=1=r，而OQ'=■QQ'=■SC=■，根據(jù)勾股定理得R=■+■=■，進(jìn)而得到球O的表面積為5π。

變式 已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，其外接球的表面積為28π，△PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD，則a=______。

解析：變式中，由“平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形”，可以將轉(zhuǎn)化補(bǔ)形成三棱柱如圖3所示。

一般地， 有一條棱垂直一面的三棱錐均可構(gòu)造直棱柱模型。

三、由性質(zhì)確定球心

我們知道，在空間中，如果有一定點(diǎn)到簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該多面體外接球的球心。有外接球的簡(jiǎn)單多面體中，過任一面的外心作該面的垂線必經(jīng)過球心。有外接球的簡(jiǎn)單多面體中，任一棱的中垂面必經(jīng)過球心，球心和多面體中任何一個(gè)平面的外心連線垂直該平面。球心到多面體任何一個(gè)平面的距離d，外接球半徑R，該平面的外接圓半徑r，總滿足：R■=d■+r■。因而我們就清楚正n棱錐的外接球的球心在其高線上。這就是我們常見的化歸與轉(zhuǎn)化方法之一：直接轉(zhuǎn)化法，即把源問題直接轉(zhuǎn)化為基定理、基本公式或基本圖形問題。

問題呈現(xiàn)

例3：【2017年福建省綜合質(zhì)檢8】空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于（ ）

A.■ B.■

C.■ D.■

解析：由“EF⊥AB，E是AB的中點(diǎn)”可知AB的中垂面經(jīng)過球心O；“EF⊥CD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)”?？芍狢D的中垂面經(jīng)過球心O，而兩個(gè)中垂面相交于直線EF，那么球心O必在EF上。該球的半徑為R，設(shè)OE=x，則OF=4—x，由R■=OB■=OD■=BE■+OE■=DF■+OF■，求得x=■，可得R■=■，故半徑為■，選C。

例4：某棱錐的三視圖如圖5（1），求其外接球的表面積。

解析：我們由三視圖轉(zhuǎn)化為棱錐是三棱錐D-ABC，其中

AB=AC=1，BC=■，AD=■，BD=■，CD=■，由勾股定理逆定理得△ABC，△ABD都是直角三角形，則△ABC，△ABD的外心分別是點(diǎn)E，H，根據(jù)外接球的性質(zhì)，我們可以作出OH⊥平面ABD，OE⊥平面ABC，則O是球心。如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，其中A（1，0，0），D（0，-1，1），H（■，-■，■），E（1，1，0），設(shè)OE=h，則O（■，■，h），AD=（-1，-1，1），HO=（0，1，h-■），由AD⊥OH，解得h=■，R■=OE■+BE■=（■）■+（■）■=■，則外接球的表面積S=11π。

一般地我們要找出多面體中特殊元素，如兩平面互相垂直，兩平面的二面角是特殊角，有等邊三角形，直角三角形，頂角是特殊角的等腰三角形等等，我們根據(jù)球的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的平面問題，從而求得球的半徑。

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)。轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，簡(jiǎn)單多面體外接球問題的解決，總離不開化歸與轉(zhuǎn)化。有關(guān)球的問題基本題型之一就是簡(jiǎn)單多面體外接球的問題，它的考查是全方位，多角度，深層次的，考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，更考查學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化的思想。這類題，我們一般轉(zhuǎn)化為以下幾個(gè)步驟：先畫出圖形，將相關(guān)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系轉(zhuǎn)化到圖形中；再者以構(gòu)造典型幾何體模型為前提，將不熟悉的多面體轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的長(zhǎng)方體或直棱柱問題；若構(gòu)造存在困難，此時(shí)確定球心位置就通過特殊的“截面”把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)而求出外接球半徑，當(dāng)然還可以考慮通過建系發(fā)揮空間向量的威力。

【參考文獻(xiàn)】

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