從歷史發(fā)展的視角看中學(xué)概率教學(xué)

張蜀青，曹廣福，羅荔齡

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從歷史發(fā)展的視角看中學(xué)概率教學(xué)

張蜀青1，曹廣福2，羅荔齡2

（1．廣州市執(zhí)信中學(xué)，廣東 廣州 510095；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

按照歷史發(fā)展的脈絡(luò)，從古典概型到統(tǒng)計(jì)意義下的概率，再到公理化的概率論，對(duì)概率論的發(fā)展做了簡(jiǎn)明扼要的闡述，方便一線教師對(duì)概率論基本歷史有一個(gè)初步的了解．同時(shí)，通過(guò)一系列問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，針對(duì)中學(xué)一線課堂中隨機(jī)事件、樣本空間、古典概型與幾何概型等概念的教學(xué)提出了具有可操作性的建議．概率教學(xué)應(yīng)遵循幾個(gè)基本原則：（1）適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平；（2）在尊重歷史的基礎(chǔ)上改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容；（3）杜絕偽情境．概念的定義應(yīng)該準(zhǔn)確，不同概念之間（基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件等）的邏輯關(guān)系應(yīng)該清晰明了．中學(xué)階段不宜設(shè)計(jì)一些類(lèi)似貝特朗問(wèn)題的陷阱，這些問(wèn)題除了增加學(xué)生對(duì)幾何概型理解的困難，并不能為學(xué)生學(xué)習(xí)概率帶來(lái)更多的幫助．

隨機(jī)事件；樣本空間；幾何概型；古典概型；隨機(jī)變量

1 引言

概率是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，之所以難，主要原因或許來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面：一是很多中學(xué)教師對(duì)概率論了解不多，有些甚至沒(méi)有學(xué)過(guò)概率論；二是一些教材對(duì)概念的闡述不夠清晰，導(dǎo)致理解上的困難．中學(xué)教材首先從頻率的角度定義概率，將概率定義為重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)中頻率的極限，然后回到古典概型．統(tǒng)計(jì)意義下的概率定義是存在邏輯問(wèn)題的，而且，中學(xué)階段雖然學(xué)習(xí)微積分，但并不介紹極限概念，教學(xué)過(guò)程中也很難實(shí)現(xiàn)從頻率到概率的極限過(guò)度，一些教師通過(guò)拋硬幣或計(jì)算機(jī)模擬的方法引入概率概念，但顯得很不自然，而且任何有限次重復(fù)試驗(yàn)的頻率與概率都可能相去甚遠(yuǎn)．所以概率的教學(xué)是個(gè)值得好好研究的課題．

2 概率論簡(jiǎn)史

在研究教法之前，首先需要了解一下概率論的前世今生，不清楚其來(lái)龍去脈，教學(xué)有如盲人摸象．

2.1 賭徒梅累的問(wèn)題

概率論出身“卑微”是眾所周知的，它很長(zhǎng)一段時(shí)間得不到數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)同與它的出身或許有一定關(guān)系．但更重要的是，早期的概率論缺少?lài)?yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這恐怕是概率論很長(zhǎng)時(shí)間不能登堂入室的根本原因．一些數(shù)學(xué)史甚至沒(méi)有把概率論列入其中，例如M·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》[1]甚少提及概率論，這也許與這套巨著偏重于確定性數(shù)學(xué)有關(guān)．

擲骰子始于什么時(shí)候無(wú)從考證，但數(shù)學(xué)家研究這個(gè)問(wèn)題還是有據(jù)可查的，發(fā)明了一元三次方程求根公式的16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（1501—1576）同時(shí)也是個(gè)賭徒，他曾說(shuō)過(guò)一句：“誠(chéng)實(shí)的骰子”，意思是說(shuō)，擲骰子是公平的，機(jī)會(huì)均等，這是古典概型的基本前提．但擲骰子作為一個(gè)學(xué)術(shù)問(wèn)題被數(shù)學(xué)家們研究可能最早開(kāi)始于17世紀(jì)中葉，據(jù)說(shuō)法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）在度假旅途中偶遇賭徒梅累，梅累向帕斯卡提出了一個(gè)分賭注的問(wèn)題．梅累向帕斯卡介紹說(shuō)，他在一次與賭友擲骰子時(shí)，每人押了32個(gè)金幣，并事先約定：如果梅累先擲出3個(gè)6點(diǎn)，或其賭友先擲出3個(gè)4點(diǎn)，便算贏家．然而當(dāng)梅累擲出兩次6點(diǎn)，賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)梅累接到通知，要他馬上陪同國(guó)王接見(jiàn)外賓，賭博不得不中斷，但就此收回各自的賭注心有不甘，于是決定按照已經(jīng)取得成績(jī)分取這64個(gè)金幣．但梅累與賭友不知道該如何分配這筆賭注．帕斯卡告訴梅累：如果再擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，乙勝，甲、乙平分賭注，兩種情況可能性相同，所以這兩種情況平均一下，甲應(yīng)得賭金的3/4，乙得賭金的1/4．帕斯卡的回答或許讓人一時(shí)難以理解，費(fèi)馬則給了一個(gè)令人信服的解答．首先把問(wèn)題簡(jiǎn)化一下：甲、乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定若正面朝上，則甲得一點(diǎn)，若反面朝上，則乙得一點(diǎn)，先積滿(mǎn)3點(diǎn)者贏取全部賭注．假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時(shí)，賭局由于某種原因中止了，問(wèn)應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理．費(fèi)馬認(rèn)為：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為4種等可能情況：

情況 1 2 3 4

勝者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙

前3種情況，甲獲全部賭金，僅第4種情況，乙獲全部賭注．所以甲分得賭金的3/4，乙得賭金的1/4．顯然費(fèi)馬的解答比帕斯卡的解答更容易理解一些．

2.2 古典概型

帕斯卡與費(fèi)馬雖然并未在研究這類(lèi)問(wèn)題時(shí)給出明確的定義，他們只是定義了使某賭徒取勝的機(jī)遇，也就是贏得情況數(shù)與所有可能情況數(shù)的比，這實(shí)際上就是后來(lái)人們定義的概率．對(duì)賭博問(wèn)題感興趣的人不只是帕斯卡與費(fèi)馬，1655年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯在巴黎時(shí)了解到帕斯卡與費(fèi)馬的工作，也興味盎然地參加討論，這就是《關(guān)于賭博中的推斷》（1657年）一書(shū)的由來(lái)，它是早期概率論的奠基之作．直到19世紀(jì)初，人們關(guān)于概率的研究大多限于古典概型，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749—1827）在他的《概率的分析理論》一書(shū)中是這樣定義概率的：“事件A的概率等于一次試驗(yàn)中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)．”古典概型有兩個(gè)基本特征：（1）可能結(jié)果總數(shù)是有限的，用現(xiàn)在的語(yǔ)言敘述就是“樣本空間”有限；（2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有著同等的可能性，或者說(shuō)樣本空間中的點(diǎn)是等可能的．

由于貝特朗問(wèn)題的出現(xiàn)使得人們對(duì)拉普拉斯的古典概型定義大肆抨擊，這對(duì)拉普拉斯實(shí)在有點(diǎn)不公正，貝特朗問(wèn)題研究的是無(wú)限樣本空間情形，拉普拉斯說(shuō)的是樣本空間有限的情形，把貝特朗奇論的罪過(guò)歸到拉普拉斯頭上有點(diǎn)莫名其妙．在樣本空間有限的情形，拉普拉斯的定義并無(wú)什么問(wèn)題，否則類(lèi)似擲骰子問(wèn)題就不存在公平了，正如賭場(chǎng)出老千一樣，在骰子里灌鉛，或者在桌子下面放磁鐵，擲骰子或轉(zhuǎn)盤(pán)出現(xiàn)的數(shù)字顯然就不是等可能的了，事實(shí)上，貝特朗問(wèn)題在古典概型中是不會(huì)出現(xiàn)悖論的．貝特朗問(wèn)題出現(xiàn)悖論是由于關(guān)注了隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的不同屬性從而導(dǎo)致不同度量所帶來(lái)的，而非樣本空間的等可能性假設(shè)不同所致．這里不妨以擲骰子為例，假設(shè)骰子出現(xiàn)6個(gè)面是等可能的，也就是出現(xiàn)1到6六個(gè)數(shù)字的可能性是相同的，人們通常認(rèn)為，相對(duì)于這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果即樣本空間應(yīng)該是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中各個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)是等可能的，所以每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/6．如果要計(jì)算出現(xiàn)某幾個(gè)數(shù)字的概率，直接用出現(xiàn)這些數(shù)字的可能結(jié)果與結(jié)果的總數(shù)去比就可以了，例如出現(xiàn)偶數(shù)的概率與出現(xiàn)奇數(shù)的概率都是1/2．但如果機(jī)械地理解古典概型與隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就會(huì)導(dǎo)致貝特朗問(wèn)題的爭(zhēng)論．

假設(shè)立方體（骰子）的6個(gè)面分別標(biāo)注1至6六個(gè)不同的數(shù)字，只要立方體的材質(zhì)密度分布均勻，出現(xiàn)6個(gè)數(shù)字的可能性可以認(rèn)為是相同的，這也叫無(wú)差別原則．這時(shí)的樣本空間為{1, 2, 3, 4, 5, 6}，如前所述，可以計(jì)算出出現(xiàn)奇數(shù)的概率與出現(xiàn)偶數(shù)的概率均為1/2．現(xiàn)在換一種說(shuō)法，把1、3、5三個(gè)數(shù)字用黑色的顏料涂抹掉，將2、4、6三個(gè)數(shù)字用白色的顏料涂抹掉，隨機(jī)擲這個(gè)只有黑白兩色的骰子，出現(xiàn)每個(gè)面的可能性是相同的，這時(shí)的樣本空間是什么？顯然是{黑色，白色}，出現(xiàn)黑色的概率與出現(xiàn)白色的概率均為1/2．除了把六面體的數(shù)字用黑白兩色涂抹掉，骰子的隨機(jī)性并沒(méi)有發(fā)生改變，但樣本空間卻不同了．人們通常認(rèn)為{1, 3, 5}是一個(gè)隨機(jī)事件，其概率可以根據(jù)1、3、5出現(xiàn)的概率來(lái)計(jì)算，3個(gè)點(diǎn)的概率相加，自然是1/2．

在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)具有多種屬性的結(jié)果，如果你關(guān)心的某種屬性沒(méi)有共性，那么所有可能的結(jié)果都是樣本點(diǎn)，如果你關(guān)心的某種屬性具有共性，也可以將具有共同屬性的結(jié)果放在一起作為樣本點(diǎn)．上面的隨機(jī)試驗(yàn)說(shuō)明，當(dāng)你關(guān)心的是骰子的每一面出現(xiàn)的具體數(shù)字，而這些數(shù)字又是互不相同的，那么樣本空間就是可能出現(xiàn)的每一個(gè)數(shù)字，例如上面的{1, 2, 3, 4, 5, 6}．如果關(guān)心的是這些數(shù)字的某種共同屬性，例如奇偶性，那么可以將這種共同的屬性作為可能的結(jié)果，即樣本點(diǎn)，具體地說(shuō)，如果上面擲骰子試驗(yàn)關(guān)心的是數(shù)字的奇偶性，那么樣本空間可以看成{{1, 3, 5}, {2, 4, 6}}或者{奇數(shù)，偶數(shù)}．這里蘊(yùn)含著分類(lèi)的思想，將同為奇數(shù)的數(shù)字放在一起看成一點(diǎn)，同為偶數(shù)的數(shù)字放在一起也看成一點(diǎn)．這就是分類(lèi)的思想，即將奇數(shù)與偶數(shù)各自分成一類(lèi)．如果不理解分類(lèi)思想，就無(wú)法理解貝特朗問(wèn)題的3種不同解答．

即使是樣本空間有限的情況下關(guān)注隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的不同屬性也可能導(dǎo)致不同的概率問(wèn)題．以摸球問(wèn)題為例，假設(shè)箱子里有7個(gè)分別標(biāo)注有1到7不同數(shù)字的球，形狀、大小、質(zhì)地都一樣，隨機(jī)從箱子里摸一只球，出現(xiàn)每個(gè)數(shù)字的概率都是1/7．如何計(jì)算出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率？一種方法是傳統(tǒng)的，把奇數(shù)偶數(shù)都看成樣本空間的子集，即隨機(jī)事件，然后計(jì)算其概率，另一個(gè)辦法與前面類(lèi)似，把7個(gè)數(shù)字按奇數(shù)與偶數(shù)分類(lèi)，則得到樣本空間{奇數(shù)，偶數(shù)}，但這時(shí)候的樣本點(diǎn)顯然不是等可能的，出現(xiàn)奇數(shù)的概率為4/7，出現(xiàn)偶數(shù)的概率則為3/7，按定義，這就不是個(gè)古典概型．由此可見(jiàn)關(guān)注隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的不同屬性可能導(dǎo)致不同的概率問(wèn)題．但對(duì)于有限的樣本空間來(lái)說(shuō)，只要隨機(jī)假定是一樣的，無(wú)論采用哪種方法，不會(huì)出現(xiàn)不同的答案，也就是說(shuō)不會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似貝特朗問(wèn)題的悖論．這是因?yàn)橛邢迾颖究臻g中的度量方法是統(tǒng)一的，都是計(jì)算所有可能結(jié)果的數(shù)量．這個(gè)問(wèn)題對(duì)于實(shí)際生活有意義嗎？其意義是不言而喻的．例如，工商管理部門(mén)要抽檢市場(chǎng)上幾個(gè)不同品牌的同類(lèi)產(chǎn)品，如何抽取樣品？比較公平合理的做法是根據(jù)各品牌投放市場(chǎng)的總量按比例抽取一定數(shù)量的樣品，這樣得到的合格率才是客觀可信的．舉例來(lái)說(shuō)，廠商甲投放了100萬(wàn)件，廠商乙投放了50萬(wàn)件，這時(shí)工商部門(mén)分別從兩個(gè)品牌中各抽檢1?000件顯然是不合理的．

2.3 統(tǒng)計(jì)意義下的概率定義

古典概型要求樣本空間是有限的，雅各布·貝努利認(rèn)為：“這種方法僅適用于極罕見(jiàn)的現(xiàn)象．”他主張通過(guò)觀察來(lái)確定結(jié)果數(shù)目的比例，這或許可以認(rèn)為是統(tǒng)計(jì)意義下概率的早期定義．貝努利說(shuō)：“即使是沒(méi)有受過(guò)教育與訓(xùn)練的人，憑天生的直覺(jué)，也會(huì)清楚地知道，可利用的有關(guān)觀測(cè)的次數(shù)越多，發(fā)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)就越?。痹诠诺涓判拖?，貝努利證明：“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，頻率接近概率．”這個(gè)論點(diǎn)不僅適用于古典概型，也適用于更一般的情形，1919年，德國(guó)數(shù)學(xué)家馮·米塞斯（1883—1953）在其《概率論基礎(chǔ)研究》一書(shū)中提出了概率的統(tǒng)計(jì)意義上的定義：“在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，某個(gè)事件出現(xiàn)的頻率總是在一個(gè)固定數(shù)值的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個(gè)固定的數(shù)值定義為這一事件的概率．”這個(gè)定義的確擺脫了“等可能性”假設(shè)的束縛，它適用的范圍更廣泛．

然而，等可能性假設(shè)并非一個(gè)脫離經(jīng)驗(yàn)的單純主觀假設(shè)，焉知擲骰子出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字是等可能的假設(shè)不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)意義下的結(jié)果？賭場(chǎng)規(guī)則雖然是一種人為的約定，但這樣的約定要得到廣大賭徒的認(rèn)同必定有基于經(jīng)驗(yàn)的成分，正是在多次擲骰子的重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律．也就是說(shuō)，拉普拉斯關(guān)于古典概型的定義應(yīng)該也是基于人的直覺(jué)，并非拉普拉斯的主觀約定．正如一個(gè)箱子里有7個(gè)球，其中4個(gè)黑色，3個(gè)白色，只要7個(gè)球外形、大小都是一樣的，隨機(jī)從箱子里摸球，不可能有人認(rèn)為出現(xiàn)黑色與出現(xiàn)白色的概率相同，這不是基于理論的推導(dǎo)，而是經(jīng)驗(yàn)判斷．

中學(xué)階段雖然不學(xué)一般意義下的概率，但教師在介紹頻率與概率的關(guān)系時(shí)至少應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)明幾個(gè)問(wèn)題：（1）“頻率接近概率”只有在樣本量非常大的情況下才有意義，任何有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，其頻率與概率很可能相距甚遠(yuǎn)．（2）很多概率的估算可能不是大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果，例如炮彈合格的概率不可能根據(jù)頻率來(lái)估算，只能是通過(guò)有限的試驗(yàn)再結(jié)合工程師的經(jīng)驗(yàn)以及制造炮彈的各種參數(shù)來(lái)判斷．再如天氣預(yù)報(bào)一般也并非根據(jù)某種氣象出現(xiàn)的頻率來(lái)估算該現(xiàn)象出現(xiàn)的概率是多少，而是根據(jù)各種氣象數(shù)據(jù)綜合分析得出的結(jié)論．

2.4 公理化的概率論

（1）公理化概率論的緣起．

在公理化概率論誕生前，概率論一直遭人詬病，以至于始終不能為數(shù)學(xué)家們普遍接受．1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特（1862—1943）提出的23個(gè)著名問(wèn)題中，建立概率論的理論基礎(chǔ)便是其中之一（希爾伯特第六問(wèn)題），但希爾伯特沒(méi)有將它放在數(shù)學(xué)類(lèi)，而是放在數(shù)學(xué)物理類(lèi)．

自從希爾伯特倡議建立概率論的公理化基礎(chǔ)之后，很多數(shù)學(xué)家開(kāi)始為概率論尋找它作為數(shù)學(xué)而“存在”的理由．?dāng)?shù)學(xué)史上完全從不同的角度研究同一類(lèi)問(wèn)題或者研究不同的問(wèn)題卻采用了類(lèi)似方法的例子十分常見(jiàn)．就概率論而言，它最終能堂而皇之走進(jìn)數(shù)學(xué)殿堂成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支跟那個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展有著密切關(guān)系．很難想象，如果沒(méi)有勒貝格（Lebesgue，1875—1941）發(fā)明的測(cè)度論（雖然這之前關(guān)于測(cè)度的研究已經(jīng)有很多，特別是波萊爾測(cè)度對(duì)數(shù)學(xué)的影響很大，迄今依然經(jīng)常為人們使用，但都很不完善，波萊爾的學(xué)生勒貝格的工作幾乎取代了前人所有的工作），還能有后來(lái)柯?tīng)柲缏宸颍↘olmogorov）的偉大工作．20世紀(jì)30年代，柯?tīng)柲缏宸蛘腔跍y(cè)度論為概率論建立了一套公理體系，從而給一直不能跨進(jìn)數(shù)學(xué)之門(mén)的概率論奠定了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使得概率論成為數(shù)學(xué)殿堂中名正言順的一員．

試圖對(duì)中學(xué)生講清楚公理化概率論恐怕是一件異想天開(kāi)的事，即使是曾經(jīng)在大學(xué)學(xué)過(guò)概率論的中學(xué)教師，他們中的大多數(shù)人可能也不清楚公理化概率論為何物，因?yàn)樵缙诖髮W(xué)的概率論教材很多并不介紹公理化的概率論，僅僅局限于微積分意義上的連續(xù)型分布，其分布密度函數(shù)是一個(gè)非負(fù)的黎曼可積函數(shù)．但作為教師，不了解概率論的前世今生而去教概率論似乎是一件不可思議的事情，事實(shí)上，經(jīng)典的幾何概型不僅存在類(lèi)似貝特朗問(wèn)題的理解上的歧義，概念也是很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模@里采用通俗的方式介紹一下什么是公理化的概率論，以便讀者對(duì)這一理論有一個(gè)大概了解，從公理化的概率論便可以看出幾何概型的漏洞在哪里．

回顧一下，無(wú)論是古典概型還是幾何概型，計(jì)算隨機(jī)事件的概率時(shí)都需要采用合適的度量方法去測(cè)量樣本空間子集的大小．古典概型使用的是計(jì)數(shù)方法，即用隨機(jī)事件可能的結(jié)果數(shù)量去比所有可能結(jié)果（樣本空間）的數(shù)量．幾何概型情形下樣本空間是無(wú)限的，用隨機(jī)事件可能的結(jié)果數(shù)量作為度量顯然是沒(méi)有意義的．所以需要使用不同的度量方法，一維情況下使用長(zhǎng)度，二維情況下則使用面積．無(wú)論是古典概型使用隨機(jī)事件可能結(jié)果的數(shù)量還是幾何概型中使用長(zhǎng)度或面積，他們都有一些共同的特點(diǎn)．不妨用X表示樣本空間（有限或無(wú)限），E表示隨機(jī)事件（樣本空間的子集），(E)表示隨機(jī)事件E的概率，那么(E)有這樣幾個(gè)特征：

（1）對(duì)任意X的子集E，有(E)≥0，(ф)=0；

（2）(X)=1；

（3）如果E、F是X中兩個(gè)互不相交的子集，則(E∪F)=(E)+(F)．

(∪=1∞E)=Σ=1∞(E)？

這個(gè)等式稱(chēng)為可數(shù)可加或可列可加．可以證明，如果可加性恒成立，那么可數(shù)可加性必定也成立，有興趣的讀者要證明這件事并不困難，或者可以從任何一本實(shí)變函數(shù)書(shū)籍中找到答案．因此問(wèn)題的關(guān)鍵是可加性是否恒成立？或許你以為這個(gè)問(wèn)題再平凡不過(guò)，先別急于下結(jié)論，姑且回頭來(lái)重新審視一下樣本空間及其隨機(jī)事件．假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是開(kāi)單位圓盤(pán)，樣本點(diǎn)遵循無(wú)差別原則，按照幾何概型的一般解法，隨機(jī)事件E的概率(E)等于該事件所有可能結(jié)果所形成區(qū)域E的面積(E)與單位圓的面積(D)之比，即

(E)=(E)/(D)．

一切顯得如此自然，似乎沒(méi)什么問(wèn)題．現(xiàn)在不妨深究一下：相對(duì)于樣本空間單位圓盤(pán)，其事件域是什么？是開(kāi)圓盤(pán)的一切子集還是部分子集？哪部分子集？教師在教學(xué)過(guò)程中交代清楚了嗎？理論上講，飛鏢落在圓盤(pán)的任何位置都是可能的，如果問(wèn)：“假設(shè)E是圓盤(pán)內(nèi)坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)，飛鏢落在E中的概率是多少？”這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上并非沒(méi)有意義，因?yàn)榧热蛔隽说瓤赡苄约僭O(shè)，一切皆有可能．可是在這里，E的面積是什么？有定義嗎？甚至可以假設(shè)E為圓盤(pán)內(nèi)的任意子集，然后問(wèn)飛鏢落在E中的概率是多少？這時(shí)(E)又是什么？這說(shuō)明經(jīng)典的幾何概型概念是不嚴(yán)密的，幾何概型中樣本空間的事件域并不清楚．測(cè)度論的誕生是概率論之大幸，如果沒(méi)有測(cè)度論，概率論的這一致命傷恐怕迄今無(wú)法補(bǔ)救，是勒貝格與柯?tīng)柲缏宸蛘攘烁怕收摚?/p>

（2）公理化概率論的誕生．

從幾何概型可以看出，概率的定義依賴(lài)于“面積”的定義，所以關(guān)鍵是如何定義一般集合的“面積”，所謂一般集合的“面積”即是測(cè)度．遺憾的是，在一個(gè)具有不可數(shù)個(gè)點(diǎn)的空間（例如直線上的某個(gè)線段或平面內(nèi)的某個(gè)區(qū)域）中無(wú)論怎么度量集合，在這個(gè)度量下，總會(huì)有一些集合是不滿(mǎn)足可加性的，如果沒(méi)有可加性，所謂概率就無(wú)從談起，因?yàn)槿缜八?，可加性是概率的基本特征．因此，不能指望?duì)樣本空間的所有子集定義測(cè)度，而只能對(duì)其中部分子集定義測(cè)度，也就是那些滿(mǎn)足可加性的集合，這就是可測(cè)集的由來(lái)．有一個(gè)問(wèn)題是自然的，樣本空間中有多少集合不滿(mǎn)足可加性？很不幸，非常多，與可測(cè)集一樣多，不過(guò)要搞清楚這個(gè)問(wèn)題需要一點(diǎn)集合論與測(cè)度論的專(zhuān)門(mén)知識(shí)，這里就不贅述了，有興趣者可以參考實(shí)變函數(shù)或測(cè)度論的相關(guān)書(shū)籍．

具體到一般的樣本空間，對(duì)于給定的樣本空間X，其事件域是什么呢？它是由X中的某些（未必是全部）子集構(gòu)成的集合F，這個(gè)集合需要滿(mǎn)足幾個(gè)基本條件：

（1）空集ф與全空間X在F中；

從前面的分析可以看出，要求F中的元素滿(mǎn)足上述3點(diǎn)是自然的，將滿(mǎn)足（1）-（3）的集合稱(chēng)為由X中子集構(gòu)成的-域，也把F中的元素稱(chēng)為可測(cè)集，通常把(X, F)稱(chēng)為可測(cè)空間．由此可見(jiàn)，可測(cè)空間并不依賴(lài)于具體的測(cè)度．但一般情況下，如果用到可測(cè)集，當(dāng)然就需要給它一個(gè)測(cè)度，這個(gè)測(cè)度應(yīng)該滿(mǎn)足：

（1）(E)≥0，(ф)=0（非負(fù)性）；

換句話(huà)說(shuō)，只要滿(mǎn)足（1）與（2），就說(shuō)它是可測(cè)空間(X, F)上的一個(gè)測(cè)度，所以測(cè)度不是唯一的，對(duì)應(yīng)到同一個(gè)F，可以定義多種測(cè)度．但如果研究一個(gè)測(cè)度空間（概率空間）則通常與具體的測(cè)度有關(guān)，或者說(shuō)測(cè)度空間涉及3個(gè)要素：空間（樣本空間）X、-域（事件域）F、測(cè)度（概率），把(X, F,)稱(chēng)為測(cè)度空間．

那么概率與測(cè)度有何不同？回顧概率的定義，概率不僅需要滿(mǎn)足非負(fù)性、可加性，還需要滿(mǎn)足全空間的概率為1，因此如果測(cè)度空間(X, F,)除了滿(mǎn)足上面的（1）和（2），還滿(mǎn)足：

（3）(X)=1，則稱(chēng)為概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率，(X, F,)稱(chēng)為概率空間．簡(jiǎn)而言之，所謂概率測(cè)度即歸一化的測(cè)度（全空間的測(cè)度為1），這就是所謂的公理化概率．

從公理化的概率定義可以看出，先有樣本空間才有事件域，最后才有概率，對(duì)于同一個(gè)樣本空間與事件域，概率分布可能有多種．相對(duì)于具體的隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間未必唯一，關(guān)鍵要看關(guān)注隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的何種屬性，這在古典概型情形下已經(jīng)做過(guò)闡述．所以在研究概率問(wèn)題時(shí)首先需要確定樣本空間、事件域及概率．在同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果試驗(yàn)的結(jié)果存在不同的屬性，樣本空間可能有多個(gè)，如何確定隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間才是合理的？在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，樣本空間不應(yīng)該根據(jù)隨機(jī)性假設(shè)來(lái)確定，而應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的目標(biāo)來(lái)確定，也就是說(shuō)根據(jù)所關(guān)注隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的屬性來(lái)確定樣本空間，當(dāng)樣本空間確定后，談概率問(wèn)題才是有意義的．按照目標(biāo)確定隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間的原則，如果在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中事先給出了隨機(jī)假定，那么即使是一種等可能性假設(shè)，也未必導(dǎo)出古典概型或幾何概型．由于在中學(xué)階段僅限于古典概型與幾何概型，所以不宜將類(lèi)似貝特朗奇論容易產(chǎn)生歧義的概率問(wèn)題放到中學(xué)從而造成人為的陷阱，甚至產(chǎn)生相互矛盾的結(jié)果．教材中飛鏢問(wèn)題的解答與教輔材料（參見(jiàn)文[2]）中從直角三角形的直角頂點(diǎn)向斜邊隨機(jī)引射線問(wèn)題的解答就是典型的兩種相互矛盾的解答，因?yàn)轱w鏢也可以看成從擲鏢人手中發(fā)出的射線，這無(wú)疑大大增加了學(xué)生對(duì)概率的理解難度．

現(xiàn)在按公理化概率論重新審視一下幾何概型，不妨假設(shè)樣本空間是單位圓盤(pán)，相對(duì)于這個(gè)樣本空間的事件域是什么？顯然不可能是圓盤(pán)的所有子集構(gòu)成的集合，否則無(wú)論怎么定義測(cè)度，總會(huì)有一些子集是不可測(cè)的．按照勒貝格的測(cè)度論，此時(shí)合適的事件域是圓盤(pán)中所有勒貝格可測(cè)子集全體，記為(D)，測(cè)度可以是通常的勒貝格測(cè)度，它是面積概念的自然推廣，對(duì)應(yīng)的測(cè)度空間就是(D,(D),)，將勒貝格測(cè)度歸一化，就得到概率空間了．或者按照幾何概型通常的做法，對(duì)任意E∈(D)，E的概率(E)=(E)/(D)．

對(duì)于勒貝格測(cè)度有興趣但又不想了解太深入的讀者不妨參考克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》第三冊(cè)第44章．

3 重組概率論課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)教育應(yīng)該遵循幾個(gè)基本原則：（1）適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平；（2）在尊重歷史的基礎(chǔ)上改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容；（3）杜絕偽情境．就概率而言，首先要幫助學(xué)生解決的一個(gè)重要問(wèn)題是認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)而定義隨機(jī)事件．不妨就從擲骰子問(wèn)題開(kāi)始．例如可以通過(guò)如下一些問(wèn)題展開(kāi)．

問(wèn)題1 如果拋一個(gè)骰子（或任何物體），骰子會(huì)落向哪個(gè)方向？地上還是天花板？

這顯然是一個(gè)必然事件，因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用，骰子一定會(huì)落到地上．

問(wèn)題2 假設(shè)骰子是一個(gè)正立方體，6個(gè)面上分別刻有1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字，并且骰子的密度是均勻的，如果拋這個(gè)骰子，當(dāng)骰子落到地上時(shí)，能確定哪個(gè)數(shù)字朝上嗎？能確定是偶數(shù)朝上還是奇數(shù)朝上嗎？

學(xué)生回答這個(gè)問(wèn)題不會(huì)有任何困難，而且學(xué)生憑借生活經(jīng)驗(yàn)多半也能判斷，出現(xiàn)任何數(shù)字的可能性是相同的．退一步說(shuō)，如果學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)任何數(shù)字的可能性是相同的這一規(guī)律，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題中的條件“骰子的密度是均勻的”意味著什么？問(wèn)題2中最后一個(gè)問(wèn)題無(wú)疑在暗示學(xué)生，在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件有兩種類(lèi)型：基本事件以及由若干基本事件組成的隨機(jī)事件，基本事件是特殊的隨機(jī)事件．

問(wèn)題2雖然不那么高雅，但它確實(shí)是一個(gè)真實(shí)有效的問(wèn)題情境，也與概率的“身世”相吻合．如果覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題不夠高大上，還可以換一個(gè)問(wèn)題．

問(wèn)題3 學(xué)校為了檢查每個(gè)班的體育鍛煉情況，決定從每個(gè)班級(jí)任意抽調(diào)一位同學(xué)去參加體育測(cè)試，為了反映班級(jí)真實(shí)情況，不得有選擇性地抽調(diào)同學(xué)．請(qǐng)問(wèn)比較合理的抽調(diào)方法是什么？

這個(gè)問(wèn)題比問(wèn)題2稍微困難一點(diǎn)，因?yàn)樾枰獙W(xué)生自己想出“合理”的方案．對(duì)于高中生而言，他們有足夠的能力回答這個(gè)問(wèn)題：抓鬮．假設(shè)班級(jí)有50個(gè)人，準(zhǔn)備50張小紙片，其中一張紙片上寫(xiě)著參加，另外49張紙片上寫(xiě)著不參加，可以設(shè)計(jì)這樣幾個(gè)引導(dǎo)式的問(wèn)題：

（1）能肯定哪個(gè)同學(xué)一定抽到參加的紙片嗎？

（2）每個(gè)同學(xué)抽到參加的可能性是否相同？

由于歷史上出現(xiàn)得最早的概率問(wèn)題正是古典概型，所以沒(méi)有必要急于讓學(xué)生了解一般的隨機(jī)事件，就針對(duì)古典概型來(lái)討論就可以了．

通過(guò)上述幾個(gè)問(wèn)題的討論，學(xué)生對(duì)必然事件、隨機(jī)事件已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上不妨給出古典概型的嚴(yán)格定義．同時(shí)，應(yīng)該給出基本事件、樣本空間及隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)定義．什么叫基本事件？不能簡(jiǎn)單地用隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的“基本結(jié)果”來(lái)定義基本事件，因?yàn)椴](méi)有給出基本結(jié)果的定義．為了說(shuō)清楚基本事件，不妨引入互斥事件的概念，這在理解上并無(wú)任何困難：“兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的隨機(jī)事件稱(chēng)為互斥事件．”當(dāng)然，不作這種調(diào)整也不妨礙對(duì)基本事件與隨機(jī)事件的理解．按照標(biāo)準(zhǔn)的定義，隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果組成的集合稱(chēng)為樣本空間，每一個(gè)可能的結(jié)果都稱(chēng)為基本事件或樣本點(diǎn)．教材中正是因?yàn)閷ⅰ霸谝欢l件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件”導(dǎo)致后面對(duì)基本事件的定義帶來(lái)了含混．基本事件應(yīng)該滿(mǎn)足兩個(gè)基本條件：（1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；（2）任何隨機(jī)事件都可以表示成若干基本事件的和（即若干基本事件組成的集合）．基本事件A與B互斥即指若A發(fā)生則B不可能發(fā)生，反之亦然．可以通過(guò)擲骰子中任何兩個(gè)數(shù)字不可能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，或者通過(guò)同學(xué)抓鬮時(shí)不可能既抓到參加的紙片又抓到不參加的紙片說(shuō)明．

初識(shí)樣本空間、基本事件以及隨機(jī)事件之后，需要對(duì)基本事件與隨機(jī)事件加以辨析，也就是什么叫任何隨機(jī)事件都可以表示成若干基本事件的和？仍然可以通過(guò)擲骰子來(lái)說(shuō)明，例如可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題．

問(wèn)題4 隨機(jī)擲一枚骰子，如果問(wèn)出現(xiàn)偶數(shù)的概率是多少，這時(shí)所指的隨機(jī)事件是什么？如何計(jì)算該隨機(jī)事件的概率？

有了以上的討論，可以由學(xué)生自己提供一些隨機(jī)現(xiàn)象的例子，善于思考的學(xué)生也許不僅僅想到擲硬幣，樣品抽檢之類(lèi)的隨機(jī)現(xiàn)象，甚至可能想到天氣、地震之類(lèi)的現(xiàn)象也是隨機(jī)的，但這些隨機(jī)現(xiàn)象就不是上述方法可以處理的了．

清楚了古典概型及其概率的計(jì)算，接下來(lái)的單元是幾何概型，這是教學(xué)中的難點(diǎn)，教材中幾何概型的定義是不嚴(yán)格的，給出一般的幾何概型定義并不會(huì)增加學(xué)生對(duì)幾何概型理解的困難，幾何概型的難點(diǎn)在計(jì)算而不是概念，所以教材應(yīng)該給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義．課堂上可以通過(guò)類(lèi)似下面的問(wèn)題展開(kāi)．

問(wèn)題5 士兵在練習(xí)實(shí)彈射擊時(shí)，能肯定子彈會(huì)射中靶子上的哪一點(diǎn)嗎？

這與擲飛鏢本質(zhì)上是一個(gè)問(wèn)題，而且現(xiàn)實(shí)的扔飛鏢與實(shí)彈射擊都不是幾何概型，不過(guò)，不妨假設(shè)擲鏢人或士兵是初學(xué)咋練，鏢或子彈射中靶子的任何一點(diǎn)是等可能的，這個(gè)問(wèn)題也為后面引入非等可能性概率問(wèn)題埋下伏筆．通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的討論，可以引出樣本空間無(wú)限的概率問(wèn)題．即

定義 如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，且每一種結(jié)果都是等可能的，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概型．

在此基礎(chǔ)上可以引導(dǎo)學(xué)生找出一些幾何概型的例子，包括一維、二維甚至三維情形下的幾何概型．在學(xué)生對(duì)幾何概型有了比較多的了解后，有必要向?qū)W生說(shuō)明幾何概型未必如想象的那樣一定是空間中某些區(qū)域構(gòu)成的樣本空間，但不宜太詳細(xì)，因?yàn)橐詫W(xué)生的知識(shí)積累尚不足以理解一般的無(wú)窮集以及測(cè)度，教師如果清楚，可以做科普式的介紹，不清楚則一帶而過(guò)．

無(wú)論是教材還是在課堂都不宜將類(lèi)似教輔材料（參見(jiàn)文[2]）中從直角三角形直角頂點(diǎn)隨機(jī)引射線等問(wèn)題放在中學(xué)階段學(xué)習(xí)，這會(huì)引起學(xué)生對(duì)幾何概型的困惑，只有當(dāng)學(xué)生在概率方面有了相當(dāng)?shù)乃仞B(yǎng)后才適合研究那類(lèi)問(wèn)題．具體地說(shuō)，中學(xué)階段的概率問(wèn)題最好都是樣本空間比較容易明確的那些問(wèn)題，設(shè)置一些類(lèi)似貝特朗問(wèn)題的陷阱并不能給學(xué)生理解概率帶來(lái)任何實(shí)質(zhì)性幫助，即使作為課外參考，也不應(yīng)該與教材在邏輯上相悖．例如教材中擲飛鏢等問(wèn)題也可以理解成從擲鏢人手中隨機(jī)拋出的射線，按照這樣的邏輯來(lái)理解，很多概率問(wèn)題都會(huì)帶來(lái)歧義甚至是不可解的．例如隨機(jī)拋一粒沙子的問(wèn)題就不是中學(xué)生能解決的，如果拋沙子的角度不定，問(wèn)題就不可解．解決這個(gè)問(wèn)題的比較好的辦法是命題人在擬定題目時(shí)將目標(biāo)（隨機(jī)事件的概率）與等可能性假設(shè)相一致．正如擲飛鏢問(wèn)題中，因?yàn)槟繕?biāo)關(guān)注的是飛鏢的著靶點(diǎn)，所以針對(duì)靶子上的點(diǎn)做等可能性假設(shè)比較合適，否則擲鏢人站在不同的位置，就會(huì)得到不同的概率問(wèn)題．在學(xué)習(xí)了一般的概型之后再適當(dāng)研究這類(lèi)問(wèn)題并無(wú)不可，只是這些問(wèn)題不適合中學(xué)生．

概率必修教材在幾何概型之后便是互斥事件，如果不講選修內(nèi)容，概率到互斥事件就算結(jié)束了．僅就必修教材的編寫(xiě)看，概念的定義稍顯粗糙，邏輯也不夠嚴(yán)謹(jǐn)．可以考慮首先介紹一般的隨機(jī)試驗(yàn)，然后定義隨機(jī)事件與互斥事件，在此基礎(chǔ)上定義基本事件與樣本空間，再介紹古典概型與幾何概型．按照這樣的體系編寫(xiě)既符合概率論發(fā)展的歷史脈絡(luò)，概念也不失嚴(yán)謹(jǐn)．

說(shuō)到選修2-3中的概率章節(jié)，教學(xué)內(nèi)容可能需要做比較大的改進(jìn)．

學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件已經(jīng)有所了解，沒(méi)有必要每章每節(jié)開(kāi)頭必要以不同的“生活化”例子開(kāi)頭，好的例子可以反復(fù)使用，從不同的角度進(jìn)行研究．為了引入隨機(jī)變量，首先需要引導(dǎo)學(xué)生思考，如何利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示現(xiàn)實(shí)中的隨機(jī)現(xiàn)象？或者說(shuō)如何用符號(hào)化的語(yǔ)言表示隨機(jī)現(xiàn)象或隨機(jī)事件？不妨還是從擲骰子開(kāi)始．

問(wèn)題6 首先回憶一下在利用數(shù)學(xué)方法研究確定性實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要做的一件事是什么？擲骰子試驗(yàn)的樣本空間是什么？如何用合適的方法表示擲骰子試驗(yàn)？

問(wèn)題7 拋硬幣試驗(yàn)的樣本空間是什么？如何用數(shù)學(xué)方法表示這個(gè)試驗(yàn)？

問(wèn)題8 如果知道了隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，如何用數(shù)學(xué)方法把這個(gè)試驗(yàn)表示出來(lái)？

通過(guò)上述3個(gè)問(wèn)題的分析，不難逐步引入隨機(jī)變量的概念，完全沒(méi)有必要通過(guò)左一個(gè)右一個(gè)的例子做直觀的闡述，可以給出隨機(jī)變量的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，直觀解釋可以幫助學(xué)生理解概念，但不能代替概念的嚴(yán)格定義．

問(wèn)題10 在擲骰子試驗(yàn)中，樣本空間為{1, 2, 3, 4, 5, 6}，如何用隨機(jī)變量表示出現(xiàn)偶數(shù)或奇數(shù)的隨機(jī)事件？

限于篇幅，對(duì)于更一般的隨機(jī)試驗(yàn)將另文討論．

[1] M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第三冊(cè)）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014：201-210．

[2] 高中新課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)編寫(xiě)組．成才之路（數(shù)學(xué)必修3）[M]．北京：中國(guó)和平出版社，2012：64-65．

On the Teaching of Probability in Middle School from the Perspective of Historical Development

ZHANG Shu-qing1, CAO Guang-fu2, LUO Li-ling2

(1. Zhixin High Middle School, Guangdong Guangzhou 510095, China;2. Faculty of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

In the context of historical development, this paper made a brief and concise exposition of the development of the theory of probability from the probability of classical probability to statistics and then to the probability theory of axiomatic. It was convenient for teachers to have a preliminary understanding of the basic history of probability theory. At the same time, through the creation of a series of problem situations, it put forward some practical suggestions for the teaching of random events, sample space, classical probability and geometric probability model in the middle school class. The article thought, probability teaching should follow a few basic principles: 1, adapt to the student’s cognition level; 2. Improving teaching content based on respect for history; 3. No false situations. It also argued that the definition of concepts should be accurate and the logical relationship between different concepts (basic events, sample spaces, random events) should be clear. In high school, it was not appropriate to design some trap of Bertrand problem, which, apart from increasing the difficulty of students’ understanding of geometrical models, did not help students’ learning probabilities.

random events; sample space; classical probability; geometric probability model

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2018–04–19

國(guó)家“萬(wàn)人計(jì)劃”領(lǐng)軍人才、廣東省“特支計(jì)劃”、廣州市教育名家工作室聯(lián)合資助

張蜀青（1973—），女，廣東廣州人，高級(jí)教師，博士生，主要從事中學(xué)一線教學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究．

G420

A

1004–9894（2018）04–0035–06

張蜀青，曹廣福，羅荔齡．從歷史發(fā)展的視角看中學(xué)概率教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）：35-40．