換元法
——解題的利器

福建省古田縣第一中學 蘭詩全 林紀禮 (郵編：352200)

對于許多數(shù)學問題，若能多維視角適時進行轉化，緊緊抓住題目中的數(shù)量關系及其結構特征，恰當運用換元法，不僅能使問題中各量之間的關系變得清晰明了，整體特征顯現(xiàn)，溝通已知與所求，而且可使問題化難為易、化繁為簡、化生為熟、化異為同，然后使問題順利獲解，現(xiàn)結合典型例子加以說明．

1 轉化與換元相結合 將數(shù)學問題模型化

換元法是中學數(shù)學中最常用的方法與技巧之一，通過等價轉化適時換元往往可以使繁難問題容易化、模型化，為數(shù)學問題解決找到根本方法．

分析 分離參數(shù)a，可得a>g(θ),或agmax(θ)或a

解 令

sin2θ=2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2-1=x2-1．

反思 以上兩例從表面上看，問題繁難、思路不清，通過仔細觀察、等價轉化、整體換元，將問題化生為熟、化難為易，找到根本的數(shù)學模型，從而揭開問題的本質特征，讓題目輕松獲解，其中換元起關鍵作用，真是“一橋飛架南北，天塹變通途”．

2 整體與換元相結合 將數(shù)學問題具體化

許多數(shù)學問題抽象不具體，解題切入點不明確，通過靈活適時換元，可以將抽象問題具體化、明確化，使思路從無序到有序，給解題帶來生機與活力．

例3 設定義域為(0,+∞)的單調函數(shù)f(x)，對?x∈(0,+∞)，都有f[f(x)-lnx]=e+1，若x0為方程f(x)-f′(x)=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是( )

A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)

解 設k=f(x)-lnx，則f(x)=lnx+k，所以由已知f(k)=e+1，又由f(x)=lnx+k，當x=k時，f(k)=lnk+k=e+1.因為f(x)是定義域為(0,+∞)的單調函數(shù)，所以k=e，則由上得

例4 若f(x)與g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x-f[g(x)]=0有實數(shù)解，則g[f(x)]不可能是( )

反思 以上問題抽象費解，應用換元法，步步為營，扎實推進，將問題具體化、明確化、實質化，順水推舟，讓數(shù)學問題層層揭開，不斷深入，順利獲解．以上適時換元，構思巧妙、新穎獨特、簡捷有效，體悟以上解題過程，真有“精騖八極，神游四方”的數(shù)學思想方法在流淌．

3 變換與換元相結合 將問題熟悉化

許多數(shù)學問題陌生難解，可通過恰當換元，變換研究對象，將問題轉換到新對象的知識背景中去研究，從而使非標準問題標準化，生疏問題熟悉化，給解題思維帶上飛翔的“翅膀”．

例5 在約束條件x≥0,y≥0及3≤x+y≤5下，求函數(shù)u=x2-xy+y2的最大值和最小值．

解 令x=asin2θ,y=acos2θ,θ∈[0,2π]，則3≤a≤5．

所以u=a2sin4θ-a2sin2θcos2θ+a2cos4θ

=a2[(sin2θ+cos2θ)2-3sin2θcos2θ]

分析 橢圓內接三角形沒有直接的面積公式，計算產生困難，怎么辦？轉換視角將橢圓內接三角形向圓的內接三角形轉化是求解本題的好方法．

反思 例5通過換元將不等式轉化為等式，為順利解決問題鋪平道路；例6通過換元將“橢圓內接三角形”轉化為“圓的內接三角形”問題求解，實現(xiàn)化生為熟，化難為易，值得借鑒與學習，給人一種“春雨斷橋人不渡，小舟撐出柳蔭來”之感．

4 湊配法的本質是換元 換元凸顯解題程序化

湊配法要有較強的觀察力，要有較高水平的變形能力，對一些同學顯得太“靈活”，有點捉摸不透．但通過換元法可使解題過程程序化、條理化、模式化，優(yōu)化解題過程，讓解題思路“有章可循、有法可依”．

則

解法1 (湊配法，略)．

反思 明顯，以上湊配法要有全局觀，要有較強的內在觀察力，要有幾分“數(shù)學功底”才能應對自如，對能力不強的學生顯得太技巧了，但換元法程序化，按步就班，無高難“動作”，既簡約又簡單，實為好法，值得深思悟透，定會感到“心有靈犀一點通”的和諧共鳴，應為全體同學所掌握．

以上數(shù)例說明許多數(shù)學問題通過換元，可使問題模式化、簡單化、具體化、熟悉化、程序化，輕松快速地找到解決問題的突破口．最后本文旨在強調：“讓換元成為一種習慣，讓換元成為一種思想方法，讓換元喚發(fā)無限的生機，讓換元成為解題的利器”．