工商銀行A股股票虛擬BS期權(quán)定價(jià)與最優(yōu)Delta對(duì)沖的構(gòu)造

劉光遠(yuǎn)

摘要：文章立足于金融期權(quán)衍生品構(gòu)造和對(duì)沖的基本方法對(duì)現(xiàn)實(shí)中工商銀行的A股股票進(jìn)行6個(gè)月歐式期權(quán)的構(gòu)造以及對(duì)構(gòu)造的期權(quán)進(jìn)行包含無(wú)交易成本、絕對(duì)交易成本以及相對(duì)交易成本下的最優(yōu)對(duì)沖成本探尋，并在運(yùn)用廣義維納過(guò)程對(duì)未來(lái)6個(gè)月內(nèi)股價(jià)進(jìn)行合理預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上根據(jù)期權(quán)的Delta值測(cè)算出有交易成本下的平均最優(yōu)對(duì)沖間隔為19.25天。文章通過(guò)研究，為今后我國(guó)股票期權(quán)的構(gòu)造以及成本的合理對(duì)沖提供思路。

關(guān)鍵詞：工商銀行股票；BS期權(quán)定價(jià)；Delta對(duì)沖

一、引言

（一）研究背景

1. 中國(guó)金融市場(chǎng)發(fā)展不夠全面，金融市場(chǎng)投資標(biāo)的少，衍生品市場(chǎng)發(fā)展滯后。

2. 衍生品產(chǎn)品結(jié)構(gòu)不合理、缺少足夠的有價(jià)值的期權(quán)產(chǎn)品對(duì)金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行管理。

3. 具體來(lái)說(shuō)，目前幾類有農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)和唯一的50ETF交易型基金期權(quán)，缺少股票期權(quán)。

（二）創(chuàng)新點(diǎn)

1. 中國(guó)股票市場(chǎng)發(fā)展層次上并不健全，沒(méi)有多樣化的衍生品對(duì)股票的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行對(duì)沖，具體地，中國(guó)股票期權(quán)市場(chǎng)發(fā)展緩慢沒(méi)有足夠的期權(quán)對(duì)股票投資的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行對(duì)沖，從衍生品構(gòu)造的基本理論來(lái)構(gòu)造虛擬期權(quán)并進(jìn)行最優(yōu)對(duì)沖的設(shè)計(jì)能夠結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況，具有前瞻性。

2. 能夠?yàn)榻窈笾袊?guó)大類股票的期權(quán)的構(gòu)造及交易策略的設(shè)計(jì)提供比較有價(jià)值的參考意義，該套方法能夠在A股具有大市值特征的股票中進(jìn)行拓展，在該范圍內(nèi)具有一定的泛化能力。

二、策略模型機(jī)理闡述

（一）金融期權(quán)定價(jià)

金融期權(quán)是一份未來(lái)能夠?qū)崿F(xiàn)買入或賣出某項(xiàng)金融基礎(chǔ)資產(chǎn)的權(quán)利，由于期權(quán)的權(quán)利只有權(quán)利而沒(méi)有義務(wù)，故為了平衡金融基礎(chǔ)資產(chǎn)的買賣雙方的利益，就必須對(duì)金融期權(quán)進(jìn)行合理的定價(jià)使期權(quán)的空頭方得到多頭方一定的對(duì)價(jià)支付以彌補(bǔ)。常見(jiàn)的期權(quán)定價(jià)方法有兩種：布萊克——斯科爾斯模型（BS模型）；二叉樹(shù)模型。

本文將對(duì)中國(guó)工商銀行A股股票進(jìn)行歐式期權(quán)的構(gòu)造，故選用BS模型進(jìn)行計(jì)算。其中，BS看漲期權(quán)模型具體如下：

本文中c代表工商銀行股票看漲期權(quán)的價(jià)值，S0代表股票在2017年12月8日的收盤價(jià)，K為執(zhí)行價(jià)格，r為股票的貼息率，T表示期權(quán)的期限，。具體地，N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，其分別在d1和d2的條件下計(jì)算出看漲期權(quán)的價(jià)值。

（二）Delta希臘值的測(cè)算

期權(quán)中的Delta值為定義為期權(quán)價(jià)格變動(dòng)與其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的比率，它是期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化曲線的切線斜率。在一般情況下期權(quán)價(jià)值的變動(dòng)為曲線，故根據(jù)定義，Delta值得公式為：

（三）最優(yōu)Delta對(duì)沖

Delta對(duì)沖是指期權(quán)交易員通過(guò)測(cè)算Delta值對(duì)空頭期權(quán)后多頭基礎(chǔ)資產(chǎn)進(jìn)行回補(bǔ)以控制期權(quán)行權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的措施。假設(shè)股票價(jià)格為10元，期權(quán)的價(jià)格為1元，金融機(jī)構(gòu)的交易員賣出了10分該股票看漲期權(quán)（有權(quán)購(gòu)買1000股股票），Delta為0.6，則交易員的頭寸可以通過(guò)購(gòu)買0.6×1000=600股股票來(lái)對(duì)沖，即期權(quán)頭寸上對(duì)應(yīng)的盈利（虧損）可由股票頭寸上的虧損（盈利）來(lái)抵消。因此期權(quán)的交易者為控制自身的風(fēng)險(xiǎn)就必須進(jìn)行依托于Delta值的反向?qū)_。一種較為特殊的情形是投資者整體的Delta值為0，即股票頭寸的Delta被期權(quán)頭寸的Delta所抵消，這種情況被稱為Delta中性，這時(shí)投資者在進(jìn)行多（空）頭期權(quán)時(shí)就沒(méi)有必要進(jìn)行基礎(chǔ)資產(chǎn)的反向?qū)_了。

然而Delta為0在現(xiàn)實(shí)中是幾乎不可能發(fā)生的事情，更加符合現(xiàn)實(shí)的是隨著時(shí)間的變化而不斷變化的Delta值，為了進(jìn)行更加合理的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖就必須在期權(quán)期限內(nèi)不斷地進(jìn)行多次以不同Delta值為基礎(chǔ)的對(duì)沖操作。這種描述被稱為動(dòng)態(tài)對(duì)沖。

而最優(yōu)對(duì)沖通常指在動(dòng)態(tài)對(duì)沖中使得總的對(duì)沖成本最小的對(duì)沖策略。一般做法為通過(guò)廣義維納過(guò)程模擬出期權(quán)期限內(nèi)的股價(jià)，從而在設(shè)定執(zhí)行價(jià)后計(jì)算出分時(shí)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格和對(duì)應(yīng)的Delta動(dòng)態(tài)值，最后計(jì)算出反向?qū)_的成本來(lái)進(jìn)行不同時(shí)間間隔策略下的最優(yōu)規(guī)劃。

三、數(shù)據(jù)描述與處理

通過(guò)從wind數(shù)據(jù)庫(kù)中導(dǎo)出中國(guó)工商銀行從2014年12月8日到2017年12月8日的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)據(jù)的處理，將數(shù)據(jù)分為6個(gè)區(qū)間，分別為2014年12月8日至2015年6月7日，等間隔的至 2017年6月8日至2017年12月8日。

從時(shí)間序列上依次對(duì)相鄰兩區(qū)間進(jìn)行均值求解，將半年區(qū)間的收盤價(jià)轉(zhuǎn)化為年度區(qū)間的收盤價(jià)均值，得到收盤價(jià)、股息和股息率如表1。最后通過(guò)對(duì)3年歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行再次平均，得到最終的3年歷史收益率為12.6821%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。而波動(dòng)率通過(guò)由時(shí)間的遠(yuǎn)近將六個(gè)區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值進(jìn)行1～6的賦權(quán)后平均，波動(dòng)率為25.51058%。

四、實(shí)證結(jié)果分析

（一）靜態(tài)期權(quán)價(jià)格結(jié)果

根據(jù)BS模型，將工商銀行2017年12月8日股票收盤價(jià)5.88元、歷史半年期望收益率0.126821、股息率0.05和歷史6個(gè)月波動(dòng)率0.2551058以及行權(quán)價(jià)格6.468元帶入公式，計(jì)算得到6個(gè)月靜態(tài)看漲期權(quán)的價(jià)格為0.2493457元。

（二）無(wú)交易成本時(shí)動(dòng)態(tài)看漲期權(quán)對(duì)沖成本計(jì)算結(jié)果

查詢到2017年12月8日中國(guó)工商銀行的收盤價(jià)為5.88元，為計(jì)算出未來(lái)6個(gè)月工商銀行看漲期權(quán)的合理價(jià)格，需要通過(guò)三步進(jìn)行，首先將以上數(shù)值帶入到公式：

上式中，S（T）代表T時(shí)刻工商銀行股票的價(jià)格，S（0）表示2017年12月8日工商銀行收盤價(jià)，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，σ為歷史波動(dòng)率，W（t）為連續(xù)時(shí)間的維納過(guò)程。

通過(guò)不同時(shí)間的多次迭代運(yùn)算，可以計(jì)算出服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的未來(lái)6個(gè)月股票價(jià)格的變動(dòng)情況，以及未來(lái)6個(gè)月的Delta值，最終計(jì)算出動(dòng)態(tài)看漲期權(quán)的價(jià)格情況，如圖1所示。

從圖1第一幅圖中可以看出，從時(shí)間飄移和隨機(jī)波動(dòng)加和股價(jià)蒙特卡洛模擬中，未來(lái)半年工商銀行股票價(jià)格將會(huì)從5.88元飆升至2個(gè)月后的7.75元，之后時(shí)間段內(nèi)圍繞7.5元的價(jià)格進(jìn)行上下震蕩，其后，Delta值將從0.59快速上升至兩個(gè)月后的0.97并隨著模擬股價(jià)的上漲快速逐步震蕩上升并在4個(gè)月后收斂到1的水平。同樣，工商銀行看漲期權(quán)的價(jià)格也與模擬股價(jià)的價(jià)格相呼應(yīng)，在從每份0.49元上升至2個(gè)月后2元的水平，之后再圍繞1.75元的價(jià)格軸線上上下波動(dòng)。

一般來(lái)說(shuō)，加入的基期價(jià)格走高，則執(zhí)行看漲期權(quán)的概率也會(huì)相應(yīng)上升，然而要復(fù)制該看漲期權(quán)就必須買入更多的股票，同時(shí)，下降的股價(jià)導(dǎo)致更低的Delta，意味著賣出?？傮w而言，如果股票價(jià)格昂貴，策略為買入股票；如果股價(jià)低廉，則賣出股票。期權(quán)價(jià)格源自于這個(gè)對(duì)沖成本。股價(jià)重新平衡期的時(shí)間越短，所追蹤的價(jià)格變動(dòng)幅度就越小。

John C.Hull定義對(duì)沖成本為買入和賣出對(duì)沖所需股票的累計(jì)凈成本的現(xiàn)值。其中全部成本分為兩部分：購(gòu)買股票所需的金額以及保有該頭寸的融資利息。在BSM模型中，本文將使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行復(fù)利計(jì)算，并可以看到對(duì)沖成本取決于未來(lái)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)模擬工商銀行股票價(jià)格的路徑，可以畫出對(duì)沖成本的分布狀況，發(fā)現(xiàn)股票價(jià)格更高的波動(dòng)率會(huì)引起對(duì)沖成本更高的波動(dòng)率。

表2中列式了從半日到4周對(duì)沖操作頻率下的期望成本（E）、成本標(biāo)準(zhǔn)差（v）以及標(biāo)準(zhǔn)差單位期權(quán)價(jià)格比率（ratio）?？梢钥闯鰡喂P對(duì)沖成本在不同的時(shí)間調(diào)整頻度下從每4周0. 5074421元下降到每2天0. 4940984元，但是隨著交易頻次逐漸增加到每半天一次，則對(duì)沖成本會(huì)緩慢增加到0.4946613元每筆。但是，隨著對(duì)沖頻次從每4周一次上升到每天2次，總對(duì)沖成本的標(biāo)準(zhǔn)差從13.6%顯著降到了約2.3%，成本愈加穩(wěn)定和可期。同時(shí)，總對(duì)沖成本標(biāo)準(zhǔn)差單位期權(quán)價(jià)格比率從對(duì)應(yīng)的28.6%降到了4.8%。

然而，一個(gè)良好的衍生品對(duì)沖策略必須與實(shí)際高度的切合，只有如此，該衍生品對(duì)沖策略才能夠在實(shí)際中充分發(fā)揮出其理論上所論證的價(jià)值。

就上述的中國(guó)工商銀行假想看漲期權(quán)的對(duì)沖而言，昂貴的傭金成本即為最優(yōu)對(duì)沖策略的一個(gè)限制性條件，如果忽略交易過(guò)程中的費(fèi)用而只是追求沒(méi)有對(duì)沖策略的最優(yōu)化，則在現(xiàn)實(shí)操作中必然會(huì)與前期的預(yù)想南轅北轍。為了探尋更加符合現(xiàn)實(shí)的對(duì)沖策略，本文接下來(lái)從加入絕對(duì)交易成本和相對(duì)交易成本兩個(gè)角度對(duì)最優(yōu)對(duì)沖策略進(jìn)行進(jìn)一步的探討，以期尋找出最優(yōu)的時(shí)間操作頻次。

（三）加入交易成本后動(dòng)態(tài)看漲期權(quán)對(duì)沖成本計(jì)算結(jié)果

表3中所反映的數(shù)據(jù)均為加入了單筆對(duì)沖成本后進(jìn)行的計(jì)算。進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)在每筆對(duì)沖成本0.02元的條件下，總成本將隨著對(duì)沖頻次的升高而單調(diào)升高，并在1日兩次的對(duì)沖中達(dá)到0.5433元/筆，而在每筆對(duì)沖成本1%的條件下，總成本將先在2周1次的對(duì)沖頻次下達(dá)到最小值（0.0616元/筆）之后最終在每日2次的操作頻次下達(dá)到0.0807元每筆的最大值。同時(shí)，兩種成本的標(biāo)準(zhǔn)差也都呈現(xiàn)出一種平穩(wěn)增加的趨勢(shì)。

如何在兩種交易成本的測(cè)度下實(shí)現(xiàn)看漲期權(quán)的Delta對(duì)沖的最優(yōu)化變成了之后研究的主要問(wèn)題。為了克服一次性測(cè)度的隨機(jī)性，本文采用隨機(jī)100次模擬的方法，計(jì)算出工商銀行看漲期權(quán)的對(duì)沖總成本的分布，對(duì)沖操作的間隔時(shí)長(zhǎng)從每日4次下降到每20日一次（即在原有操作市場(chǎng)80倍的區(qū)間內(nèi)）進(jìn)行對(duì)沖，從而在不同交易成本計(jì)價(jià)方式下找到最優(yōu)的對(duì)沖間隔時(shí)長(zhǎng)。

通過(guò)模擬計(jì)算得到圖2，可以看出在絕對(duì)交易成本0.02元每筆的條件下，總交易成本從每日4次對(duì)沖的近1.3元每筆經(jīng)過(guò)對(duì)沖間隔時(shí)長(zhǎng)的延伸不斷波動(dòng)下降，并在平均相隔19.25天（77次每日4次調(diào)整的間隔）的時(shí)長(zhǎng)下達(dá)到20日內(nèi)對(duì)沖成本的最小值0.6589元每筆，然而此時(shí)所對(duì)應(yīng)的方差值也不斷上升到了13.74%，為了在對(duì)沖總成本最小值和最小方差條件下進(jìn)行平衡，本文在此衡量成本波動(dòng)在不同的調(diào)頻下的變化狀況，并使用總成本+標(biāo)準(zhǔn)差的新條件對(duì)最優(yōu)的成本值進(jìn)行衡量。圖2中標(biāo)準(zhǔn)差的最小值為9.84%位于5.5日時(shí)間間隔的對(duì)沖操作下，與單純的最小總成本處相差55次（13.89天）對(duì)沖操作，計(jì)算得出77次相隔對(duì)沖處的成本方差之和為0.79626，而22次處的數(shù)值為0.83779。顯然將最優(yōu)的對(duì)沖頻次定為了77次。

同樣地，在相對(duì)交易成本為1%的條件下，進(jìn)行同樣的模擬。圖3中，總成本期望值在從每天4次的對(duì)沖操作頻次下的0.95每筆下降到每20天1次的對(duì)沖頻次下的近0.6每筆的水平，其中在77次對(duì)沖時(shí)間間隔下期望成本達(dá)到了最小值（0.5804元每筆），同樣在考慮了成本波動(dòng)率的條件下，得到了成本的波動(dòng)最小值為7.35%，其經(jīng)過(guò)了平均10次（2.5天）的對(duì)沖時(shí)間間隔。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在成本最小時(shí)的成本波動(dòng)率之和為0.7129元每筆，而在波動(dòng)最小時(shí)的成本波動(dòng)率之和為0.7315元每筆，故我們認(rèn)為在1%相對(duì)交易成本的條件下經(jīng)過(guò)77次1/4天的對(duì)沖操作間隔后進(jìn)行對(duì)沖操作才能夠使中國(guó)工商銀行A股股權(quán)虛擬看漲期權(quán)的最優(yōu)對(duì)沖得以實(shí)現(xiàn)。

五、總結(jié)

本文通過(guò)對(duì)工商銀行2014年12月8日至2017年12月8日的收盤價(jià)數(shù)據(jù)和期間每年的股息率數(shù)據(jù)進(jìn)行整理計(jì)算出了工商銀行股價(jià)在未來(lái)6個(gè)月內(nèi)的股價(jià)模擬數(shù)據(jù)、Delta值和動(dòng)態(tài)看漲期權(quán)價(jià)格，之后在無(wú)交易成本條件下對(duì)半日、一日、兩日、一周、兩周、四周不同頻次的對(duì)沖策略成本即標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了計(jì)算，發(fā)現(xiàn)2日一次的對(duì)沖操作能夠使得對(duì)沖成本優(yōu)化。之后，為了使討論的內(nèi)容更加符合實(shí)際，本文將絕對(duì)交易成本和相對(duì)交易成本分別加入，并在每日4次的交易頻次下算得二者的最優(yōu)對(duì)沖策略為每77次即平均19.25天對(duì)沖一次。本文雖然是建立在工商銀行虛擬期權(quán)條件下的最優(yōu)對(duì)沖的設(shè)定，但是本文的價(jià)值在于通過(guò)模擬的方式再拓寬現(xiàn)有國(guó)內(nèi)研究標(biāo)的的條件下對(duì)股票期權(quán)交易過(guò)程的最優(yōu)對(duì)沖策略構(gòu)造進(jìn)行了實(shí)證，可以為將來(lái)我國(guó)股票期權(quán)的交易對(duì)沖中的風(fēng)險(xiǎn)管理提供借鑒思路。

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（作者單位：貴州大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院）