低起點 小臺階 高落點
——高三數學平面向量復習課引發(fā)的思考

浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學 汪道智 (郵編：311404)

近日，筆者所在學校組織了針對高三年級數學教學的調研課.在這次調研中分別由兩位教師授課，一位是第一次帶高三的年輕教師，另一位是有著多年帶畢業(yè)班經驗的校骨干教師.兩位教師上課的均是關于高考中平面向量問題的復習課.聽課過后筆者對兩位教師的教學過程以及對例題及其變式的處理方法產生了諸多思考.下面以案例1和案例2的形式給出這兩節(jié)課的部分課堂教學簡錄及觀課后的所思所想.

1 課堂教學簡錄

案例1 (年輕教師的部分教學過程展現)

師：平面向量是浙江省高考數學考查的重要內容之一，而且近幾年來對平面向量的考查越來越靈活，解法多變，讓人回味無窮.下面先來看一下這道經典例題：

例1 已知a、b是平面內兩個相互垂直的單位向量，若c滿足(a-c)·(b-c)=0，則c的取值范圍是______.(2008年浙江省數學高考理科試題第9題)

師：(讓同學們思考片刻后)下面請一位同學來說說解題思路.

圖1

易求得C的軌跡是圓，再求出c的取值范圍.

師：很好，本題有建立坐標系的條件，利用坐標是解決平面向量問題的重要方法.再請一位同學說說看？

生2：由已知條件構造圖形，如圖1： 令

師：這位同學回答得非常清晰，利用數形結合的重要數學思想來輕松構造出C的軌跡是一個圓，很容易就得到結果了.

評注 教師通過一道典型的向量問題，引導學生利用向量本身的幾何特征構造圖形，再利用相應的幾何關系使得問題輕松解決.此例題起點低，部分學生在教師給時間思考的過程中已經能獨立解決，在教師講解后理解更加透徹.

接下來，授課教師呈現了下面這道變式題.

變式 已知a、b是平面內兩個夾角為600的單位向量，若c滿足(a-c)·(b-2c)=0，則c的最大值是__________.

圖2

師：請同學們自己動動手試試看.(在同學做題的過程中，筆者起身觀察了學生的解題情況，一部分仍然用的是建立坐標系的方法，還有部分同學試圖用數形結合的方法，卻在畫圖時出現了困難.教師在提問了兩個同學之后，一位學生提出用坐標法，另一位回答試圖構造b-2c，突然卡住了，教師只能自己講解了).

評注 這道變式題展示后，授課教師給了學生3分鐘左右的時間思考，最終學生沒能在幾何法上尋得突破，能做出的同學用的還是坐標法.顯然沒有達到教師課前預設的那樣，通過例1 的講解使學生掌握用數形結合的思想來構造出一個圓來.教師講解之后學生方才有種恍然大悟的感覺.

之后教師給出了這一類問題的一般形式讓學生思考總結：

已知a、b是平面內兩個夾角為θ的單位向量，若c滿足λa-mc·βa-nc<0m≠0,n≠0，則c的最值是__________.

評注 教師通過例題和變式的分析講解，之后能再給出這一類題型的一般形式讓學生思考總結，使學生做一題，會一類題，使課堂效率大大提高.然而，大部分學生在解變式題的過程中的表現不盡人意，讓授課教師以及筆者產生了一些疑惑，是學生不夠聰明還是題型的設計欠妥？

師：接下來我們看一下這道題：

例2 記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin.若平面向量a、b、c滿足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2，則( )

(2017學年杭州市第二次高考科目教學質量檢測高三數學檢測試卷第9題)

生：由已知條件：|a|=|b|=a·b=2，易知=600，可建立如圖所示坐標系,則

設c=(x,y)，由c·(a+2b-2c)=2，

師：很好，這位同學用坐標法先求得點C的軌跡是一個圓，再利用圖形解題.同學們還有其他的想法嗎？(后面的情況與學生在前面出現的情況類似).

圖3

教師給出下面的解法：

評注 這道題其實是例1及其變式的加深，學生在構造向量上面有了想法，卻又在另一個問題上遇到了困難，那就是學生沒能夠想到同起點兩個角度不定，模長不定的向量數量積問題可以利用極化恒等式這一工具來解題.

2 課后感悟

高三復習課重在高效，教師要在高三復習教學中引導學生重視基礎知識，重視知識之間的聯系，重視對數學問題本質的理解.怎樣才能做到讓學生在數學課堂中能更高效的學習呢？下面結合案例1所展現的教學過程以及過程中學生所出現的種種問題來探討高效課堂應該做到的幾點要求.

2.1 低起點

在高三的復習課中經常會上一些關于某一考點的專題課.在這樣的專題課的例題選擇時要重基礎.不能想當然認為所講知識是以前的學過的內容，一上課就急于展示難度較大的題型，以為這樣可以培養(yǎng)學生的思維能力，殊不知學生的思維是需要循序漸進的.片斷1的教學上，教師在引例1的選擇上，難度較低，學生馬上就能通過圓的幾何意義來解決問題.而在例2的問題處理上，教師設計的本意是在例1以及變式的基礎上再進行難度加深，發(fā)散學生的思維，但學生所想到的方法仍然是坐標法來處理，并沒有按照教師課前所預設的那樣去思考問題.的確本節(jié)課雖然是高三平面向量復習課，但是學生對教師所預設的利用極化恒等式產生點C的軌跡是圓的方法還是陌生的，對教師所講的方法感覺有點突然甚至不是很接受，學生會感覺坐標法也不麻煩，極化恒等式的方法想不到.其實教師如果在例2之前能夠先讓學生解決這樣一道習題，學生自然能夠想到極化恒等式的幾何意義來處理例2了.習題如下：

解析

評注 本習題設計意圖是讓學生通過本題的鋪墊，在解決例2的過程中能想到點C的軌跡是以F為圓心的圓.從而通過圖形去解決問題.

2.2 小臺階

教師在高三習題課中經常采用變式教學，通過對經典的數學問題進行多維度的變式探究來提高課堂效率.然而，變式探究的過程中要注意題目之間的聯系和跨度，臺階要小，要做到自然過渡從而發(fā)散學生的思維.如本節(jié)課在引例的變式2的問題上，學生在課堂中沒有能夠達到教師預期的效果值得探討.課后與教師探討為什么會出現這個情況呢？關鍵在于前面的例題中所涉及的條件c的系數為1，通過向量減法的幾何意義構造圖形.而變式題的條件突然變成(a-c)·(b-2c)=0，在上課過程中我發(fā)現許多學生試圖畫向量b-2c，而c是不確定的，所以學生無所是從.造成這樣的原因就是在于臺階還是稍微大了一點，學生的思維難以跨越.探討后，我們一起設計了這樣一題：

2.3 高落點

高三復習課，最終的目標是指向高考，浙江省高考卷在平面向量的問題的考查靈活多變，好題層出不窮，所以一堂課最終的落點決定了一堂課的高度.在這一點上案例在例2的設計中堂課上體現了高落點這一原則.不得不說杭二模的這道平面向量題出得非常漂亮，一是能用建立坐標系的方法來解決，體現向量問題的代數化，又可以用極化恒等式的這一重要工具來解決，體現數形結合的重要數學思想.讓學生體會到，高考難題來源于教材而高于教材的道理.課后調研交流中有教師提出此題的第三種解法，利用三角不等式來解決，但在課堂上沒有體現，感覺遺憾.但筆者認為授課教師未在本節(jié)課中講解此題是有道理的，一堂課不可能把所有的好的方法全部呈現，本節(jié)內容最主要是體現高考中平面向量與圓相關的問題，在課堂上自然不需要講解此方法，高效課堂本應做到主題明確，落點到位.

案例2 (骨干教師的部分教學過程展現)

師：近幾年，浙江省高考對平面向量問題的考查難度較大，題目靈活多變.在考查的問題中經常出現以圓為幾何背景的平面向量題，我們先來看這樣一個問題：

例：設A(-2，0)、B(1，0)，且AP=2BP，則求點P的軌跡方程.

師：很好，生1通過坐標法求得P的軌跡是一個圓，其實這個叫做阿波羅尼斯圓，它的特點是到兩個定點的距離之比是一個常數K(K大于0且 不等于1).我們用幾何畫板來呈現阿波羅尼斯圓，同學們來體會一下，如何快速的畫出滿足題意的圓.

師：原來點P軌跡就是以定比為2內分點C和外分點D的兩個分點的連線為直徑的圓.

評注 教師用幾何畫板來呈現阿波羅尼斯圓的畫法，為后面的變式做了一個很好的鋪墊，學生不用每次花費大量時間來求點的軌跡方程.

師：好下面我們來看下面這道題：

變式1 已知平面向量a、b，滿足b=3，a=2b-a，則a的取值范圍是__________.

打好防范化解重大風險、精準脫貧、污染防治的攻堅戰(zhàn)是以習近平同志為核心的黨中央為決勝全面建成小康社會作出的重大決策部署。今年4月，習近平總書記主持召開中央財經委員會第一次會議，明確提出了打好三大攻堅戰(zhàn)的思路和舉措。財政部門要認真學習貫徹習近平總書記重要指示要求，深刻領會打好三大攻堅戰(zhàn)的深遠意義，充分發(fā)揮財政職能作用，堅決支持打好三大攻堅戰(zhàn)。

圖4

很好我們再來看這樣一道題：

(2016學年杭州市第一次高考科目教學質量檢測高三數學檢測試卷理科第15題)

師：由已知條件我們能得到哪些信息？

評注 本題是2016學年杭州市第一次高考數學教學質量檢測的壓軸題，難度較大，但在授課教師的一步步鋪墊下，順利地達成了高落點的課堂教學效果.

在案例2的教學中，教師在介紹完阿氏圓的基礎上讓學生解決這樣一道向量題，過渡自然，充分體現了小臺階，小臺階正是學生的學習最近發(fā)展區(qū)的體現.學生剛剛好可以把新學的阿氏圓的畫法利用起來，激發(fā)了學生的學習興趣，同時又為后面的高落點的向量題做好了鋪墊.后面杭一模這道例題的選擇，考查了向量問題的多個知識點，學生沒有一定的功力是無從下手的，這就需要教師在平時的教學中注重數學知識之間的聯系，提高學生對數學問題的整體的認識.

3 結束語

數學教學的終極目標是培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，而高效課堂才能真正將核心素養(yǎng)落實到位.這就要求任課教師能夠充分利用課堂時間，通過優(yōu)化各種教學途徑，高效整合教學環(huán)節(jié)，使學生在課堂上能高效學習.尤其在高三專題課的復習中，不能急于求成，一開場的例題就讓學生感覺到無從下手，從而漸漸對數學失去信心與興趣.低起點的例題有利于學生鞏固基礎知識，小臺階的變式有利于學生慢慢體會知識之間的聯系，高落點的落實能讓學生發(fā)散數學思維，提高解題能力.