淺談向量與高中數(shù)學(xué)幾大內(nèi)容主線的聯(lián)系

張星瑞

摘 要：向量與高中數(shù)學(xué)六大主線中的函數(shù)主線、運(yùn)算主線、幾何主線有著密切的聯(lián)系，函數(shù)的運(yùn)算、幾何中某些量的求解可以轉(zhuǎn)化為向量問題解決，向量拓展了運(yùn)算的對(duì)象和性質(zhì)。同時(shí)，向量作為一個(gè)集數(shù)與形于一體的概念有其特殊性，這也是向量滲透于高中數(shù)學(xué)方方面面的原因。

關(guān)鍵詞：向量;高中數(shù)學(xué)主線;運(yùn)算拓展;數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G632.3;G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、簡(jiǎn)述向量與幾大內(nèi)容主線的聯(lián)系

1.向量與函數(shù)主線的聯(lián)系

一些函數(shù)的最值問題，比如涉及多個(gè)二次根式相加減求最值的問題，用函數(shù)的方法求解往往過程過于復(fù)雜、計(jì)算量龐大，而我們運(yùn)用關(guān)于向量模的不等式，可以巧妙地化簡(jiǎn)原有的函數(shù)，從而非常簡(jiǎn)便地求出其最值。我們?cè)谝活愄厥獾暮瘮?shù)——三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，也能發(fā)現(xiàn)其與向量有著不可分割的聯(lián)系。比如，我們?cè)诶脝挝粓A研究三角函數(shù)的幾何意義時(shí)，就會(huì)用平面向量去表示三角函數(shù)，而且我們所熟知的部分誘導(dǎo)公式也是運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)出來的。

2.向量與運(yùn)算主線的聯(lián)系

運(yùn)算及其規(guī)律是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容始終的最基本的代數(shù)學(xué)研究對(duì)象。從小學(xué)開始，學(xué)生所掌握的運(yùn)算對(duì)象不斷地拓展，如從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)，等等。而從數(shù)運(yùn)算到向量運(yùn)算的拓展，對(duì)中學(xué)生而言，可謂是他們所掌握的運(yùn)算對(duì)象的一次飛躍，可以極大地提高學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解層次。向量可以進(jìn)行包括加減、數(shù)乘在內(nèi)的多種運(yùn)算，并且其中的一些性質(zhì)是普通的數(shù)的運(yùn)算所不具備的。所以可以說，一方面，向量既拓展了運(yùn)算的對(duì)象，又拓展了運(yùn)算的性質(zhì)。另一方面，在解析幾何、平面幾何中，向量運(yùn)算既有代數(shù)意義又有幾何意義，使用向量運(yùn)算能夠體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合等許多數(shù)學(xué)的核心思想。

3.向量與幾何主線的聯(lián)系

向量在平面幾何、空間幾何與解析幾何中均有著極為重要的運(yùn)用。使用向量解決立體幾何中的許多問題，可以極大地簡(jiǎn)化原問題，降低計(jì)算量。比如在解決空間直線和平面的關(guān)系中，判斷空間中一條直線與一個(gè)平面的位置關(guān)系是相交、平行還是包含等問題，運(yùn)用空間幾何中的性質(zhì)計(jì)算非常復(fù)雜，超出了中學(xué)生的能力范圍。但我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，將題中直線及與平面垂直的直線用向量表示出來，通過向量的運(yùn)算判斷這兩個(gè)向量的位置關(guān)系，求出它們的夾角，從而得出原直線與平面的位置關(guān)系、夾角等。這一方法比傳統(tǒng)的運(yùn)用幾何性質(zhì)求解的方法簡(jiǎn)便許多，而且這一方法有法則可循，可以適用于各種不同的情況，具有普適性。

此外，向量與平面解析幾何中關(guān)于直線的部分有著天然的聯(lián)系，因?yàn)橄蛄渴怯邢蚓€段，本身就是直線上的一段。比如平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離，就是以這兩個(gè)點(diǎn)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模長(zhǎng)。

二、向量與各條內(nèi)容主線緊密聯(lián)系的根本原因：向量概念的特殊性

1.向量是集數(shù)、形于一體的數(shù)學(xué)概念

向量是由大小與方向這兩個(gè)基本因素確定的。一方面，向量有大小即長(zhǎng)度，向量的長(zhǎng)度可以進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，因而向量可以進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，這是向量作為數(shù)的特征的反映。另一方面，向量有方向，可借用向量進(jìn)行直線、切線、平面等幾何因素的刻畫，這是向量作為形的特征的反映。作為集數(shù)與形于一體的概念，向量具有很強(qiáng)的特殊性。

2.向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁

向量作為集數(shù)、形于一身的概念，起到了作為溝通幾何與代數(shù)的橋梁的重要作用。一方面，對(duì)于代數(shù)問題，向量可以用來進(jìn)行幾何解釋，使得這一代數(shù)問題變得形象而直觀。另一方面，對(duì)于一些較為復(fù)雜的幾何問題，有時(shí)我們可以利用向量將之轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而利用代數(shù)的方法解決這一幾何問題。

3.向量運(yùn)算是對(duì)中學(xué)中運(yùn)算的拓展

向量可以進(jìn)行加減、數(shù)乘、數(shù)量積等多種運(yùn)算，并且具有一系列豐富的性質(zhì)。因此，與數(shù)的運(yùn)算相比，向量的運(yùn)算是對(duì)中學(xué)中運(yùn)算的對(duì)象及運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)充。

總之，平面向量已經(jīng)滲透到了高中數(shù)學(xué)的方方面面，而向量法也必然在日后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中起到越來越重要的作用，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極為重要的內(nèi)容、高中數(shù)學(xué)問題求解中非常重要的方法。

參考文獻(xiàn)：

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