煤炭開采行業(yè)（平煤集團）數(shù)學模型分析

趙曉艷

【摘要】本文首先介紹了平煤集團的現(xiàn)狀，然后進行了問題分析，接下來針對平煤集團實際數(shù)據(jù)擬合出成本函數(shù)曲線，接下來對成本函數(shù)和利潤函數(shù)進行了邊際分析，并且舉出實例，分析了邊際函數(shù)的經(jīng)濟學意義.進而對求得的利潤函數(shù)進行彈性分析，并分析了經(jīng)濟函數(shù)的彈性的經(jīng)濟學意義.最后我們討論函數(shù)f（x）和實際問題中求函數(shù)的最值的方法和步驟，針對函數(shù)f（x）最值求法我們列舉出了具體實例，充分闡述了函數(shù)最值的求法.最后利用上述方法求出利潤函數(shù)的最值.我們可以依此給出企業(yè)發(fā)展的策略，進而企業(yè)可以合理安排資源，充分降低成本，獲得最大利潤.

【關(guān)鍵詞】成本函數(shù)；利潤函數(shù)；彈性分析，擬合；最值

平頂山煤業(yè)集團又名平煤集團，此集團是由原平煤集團和平頂山神馬集團重組而成的一家國有大型企業(yè)集團.此集團隸屬河南省人民政府，旗下?lián)碛袃杉疑鲜泄尽蓚€國家級技術(shù)中心和博士后工作站，是國內(nèi)品種最全的煉焦煤、動力煤生產(chǎn)基地，亞洲最大的尼龍化工生產(chǎn)基地.平頂山煤業(yè)集團整合了平頂山六六鹽廠、平頂山神馬簾子布廠、平頂山洗煤廠等大型企業(yè).平頂山煤業(yè)集團擁有強大的雄厚實力，解決了幾十萬平煤職工的就業(yè)問題，對平頂山經(jīng)濟的發(fā)展做出了很大的貢獻，經(jīng)過初探，煤炭面積達3 000平方千米，煤炭儲量150億噸，特別是無煙煤產(chǎn)量，對于河南省煤炭行業(yè)發(fā)展甚至全國煤炭行業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟發(fā)展都有巨大的意義.

截至2016年12月31日，平煤集團實現(xiàn)稅前利潤772 244 964.42元，給國家上繳稅款19 989 963元.平煤集團擁有生產(chǎn)、研發(fā)、制造部門，擁有煤礦開采、煤礦加工等生產(chǎn)企業(yè)，給全市經(jīng)濟發(fā)展創(chuàng)造了巨大的利潤.平煤集團是全市經(jīng)濟發(fā)展的強大后盾.

一、符號說明

C：成本；R：收益；L：利潤；Q：銷售量.

二、問題分析

平煤企業(yè)一直是平頂山市發(fā)展的重要工業(yè)支撐，有著幾十萬職工，因此，平煤企業(yè)的發(fā)展存亡對于城市發(fā)展乃至全市人民生活息息相關(guān).但是近幾年，由于種種原因，煤炭行業(yè)開始走低，我們必須制訂出一系列政策和措施提高煤炭產(chǎn)量的同時，注重企業(yè)利潤的提高.我們想從平煤歷年銷售量、銷售額、成本等數(shù)據(jù)中擬合出成本曲線，進而得到利潤函數(shù)，然后結(jié)合經(jīng)濟數(shù)學中一些知識，對利潤函數(shù)進行分析，分析其邊際利潤函數(shù)，以及對其進行彈性分析、對其分析結(jié)果進行分析，進而制訂出滿足企業(yè)要求和能促使企業(yè)長足發(fā)展的政策和策略.

我們以平煤五礦數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，擬合出成本函數(shù)曲線.C（Q）=3000+350x+0.03x2（百元），無煙洗精煤Q6500A93V728S039含稅價620元.瘦煤噴吹煤Q6100S0.4V12.5A12.5HGI>70含稅價550元.我們以生活中常用的無煙洗精煤為例，每噸煤的出廠價為550元.

三、經(jīng)濟函數(shù)分析

經(jīng)濟函數(shù)學習是經(jīng)濟管理系學習專業(yè)課的基礎(chǔ)[1]，包括需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù)等一系列函數(shù)，研究經(jīng)濟函數(shù)的性質(zhì)對于企業(yè)發(fā)展有著至關(guān)重要的意義.比如，需求函數(shù)是關(guān)于價格的函數(shù)，價格是影響需求量最重要的因素，需求函數(shù)根據(jù)企業(yè)具體情況可以擬合為一次函數(shù)或者二次函數(shù)，也可能是其他函數(shù)[2]，并且需求函數(shù)關(guān)于價格是單調(diào)遞減的.供給函數(shù)雖然也是關(guān)于價格的函數(shù)，但是關(guān)于價格是單調(diào)遞增的，具體形式根據(jù)具體情況而定.需求函數(shù)和供給函數(shù)相等叫作供需平衡，成本函數(shù)分為固定成本和可變成本兩部分，成本函數(shù)是關(guān)于產(chǎn)量的遞增函數(shù).利潤函數(shù)是由收益函數(shù)減去成本函數(shù)得到的，對于企業(yè)來說，研究需求函數(shù)[3，4]、供給函數(shù)等經(jīng)濟函數(shù)，對于控制成本、獲得最大的利潤有著非常重要的意義.

（一）邊際利潤函數(shù)

邊際函數(shù)的經(jīng)濟學意義：我們以成本函數(shù)C（Q）為例，邊際成本函數(shù)即為C′（Q），表示產(chǎn)量為Q時，成本函數(shù)C（Q）對產(chǎn)量Q的變化率，進一步解釋為：當產(chǎn)量為Q時，如果再增加或者減少一個單位產(chǎn)量，總成本C（Q）增加或者減少的數(shù)量.例如，C′（15）=3，表示當產(chǎn)量為15時，此時再增加或者減少單位產(chǎn)量，總成本增加或者減少3.因此，經(jīng)濟函數(shù)邊際分析對于控制企業(yè)中成本，增加企業(yè)利潤等都有很重要的現(xiàn)實意義.

邊際成本為C′（Q）=350+0.06Q，可得C′（100）=356，其經(jīng)濟學意義為當煤的產(chǎn)量為100時，煤成本增加值為356，依此，我們可以通過經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)分析控制成本，進而給出最適合的經(jīng)濟策略，提高企業(yè)利潤.

因為收入函數(shù)R（Q）=530Q，成本函數(shù)C（Q）=3000+350Q+0.03Q2.

因此，利潤函數(shù)L（Q）=R（Q）-C（Q）=530Q-（3000+350Q+0.03Q2）=-0.03Q2+180Q-3000，

邊際利潤函數(shù)為L′（Q）=-0.06Q+180，

L′（Q）|Q=2850=L′（2850）=9，

L′（Q）|Q=3000=L′（3000）=0，

L′（Q）|Q=3050=L′（3050）=-3.

上述結(jié)果表明，當每個月銷售量為2 850噸時，利潤的變化率為9，從邊際函數(shù)的經(jīng)濟學意義來說，當銷售量為2 850噸時，再多銷售1噸煤，利潤會增加900元，當月銷售量為3 000噸時，再多銷售1噸，利潤增加值為0，即沒有利潤.當月銷售量為3 050噸時，再多銷售1噸，利潤將減少300元.因此，研究邊際利潤對于煤炭行業(yè)意義重大，可以從邊際利潤函數(shù)控制煤炭銷售量，從而提高企業(yè)利潤.

（二）彈性分析

彈性是一個相對變化率問題，它主要反映的是當自變量變化時，相應的函數(shù)f（x）變動對自變量x變動的敏感程度.彈性定義：彈性函數(shù)f（x）的彈性函數(shù)為E（x）=xf′（x）f（x），此彈性計算公式用到不同函數(shù)上即產(chǎn)生不同的彈性函數(shù)，比如，此函數(shù)用到需求函數(shù)稱需求彈性，用到供給函數(shù)上叫作供給彈性.彈性|E|<1，函數(shù)f（x）對自變量x低彈性；當|E|>1，函數(shù)f（x）對自變量x高彈性；當|E|=1，函數(shù)f（x）對自變量x為單位彈性.彈性函數(shù)的經(jīng)濟學意義，拿需求函數(shù)Q=Q（P）為例，當價格為P時，若價格提高或者降低1%，需求量則由Q減少或者增加|E|%.邊際函數(shù)：邊際的概念實質(zhì)上是導數(shù)在經(jīng)濟學上的定義，導數(shù)定義中，導數(shù)是函數(shù)對自變量的變化率，邊際函數(shù)是經(jīng)濟函數(shù)的導函數(shù)，是對自變量的絕對變化率.

Ed=QL′（Q）L（Q）=Q-0.06Q+180-0.03Q2+180Q-3000.

當Q=2 850時，Ed=0.096，當銷售量增加或者減少1%時，利潤將增加或者減少0.096%.

當Q=3 000時，Ed=0，當銷售量增加或者減少1%時，利潤將不變.當Q=3 050時，Ed=0.034，當銷售量增加或者減少1%時，利潤將增加或者減少0.034%.因此，彈性分析對于企業(yè)利潤分析有非常大的現(xiàn)實意義，可根據(jù)彈性分析控制企業(yè)生產(chǎn)銷售情況，并依此得到利潤分析情況表，對于企業(yè)廠房、工人等的安排有非常大的參考價值.

（三）求函數(shù)最值

函數(shù)最值求法分為兩大類[5]，第一類為：具體函數(shù)f（x）在閉區(qū)間的最值，第二類為實際問題中函數(shù)最值.其中第一類最值問題函數(shù)f（x）在閉區(qū)間的最值可分為兩大步驟：1.求點：求f（x）的駐點、不可導點、端點；2.將駐點、不可導點以及端點代入原函數(shù)f（x）比較大小，值最大的就是最大值，值最小的就是最小值.例如，y=x3-3x+2在[1，2]上的最大值.我們可以先求y′=3x2-3，然后求得y′=0，求得駐點x1=0，x2=1，沒有不可導點，端點為1，2，因此，符合條件的點有三個0，1，2.代入原函數(shù)f（0）=2，f（1）=0，f（2）=4.因此，函數(shù)f（x）的最大值為4，最小值為0.實際問題中求函數(shù)最值的步驟為：1.先求出目標函數(shù)以及定義域；2.求出函數(shù)的導數(shù)，進而求出駐點，如果符合題意的點只有一個，那么這個點就是我們所求的極值點，也即是題中所求最值點，代入原函數(shù)求出最值.下面我們依此方法求利潤函數(shù)的最值.

我們擬合出的利潤函數(shù)L（Q）=R（Q）-C（Q）=530Q-（3000+350Q+0.03Q2）=-0.03Q2+180Q-3000，由L′（Q）=-0.06Q+180=0，可得Q=3 000，所得符合條件的點只有一個，因此，這個極值點即為所求最值點，當Q=3000時，利潤函數(shù)取得最大值，下面我們求利潤函數(shù)的最大值L（3000）=-0.03×30002+180×3000-3000=267000，從此結(jié)果可得當Q= 3 000時，利潤取得最大值，為267 000.由此我們可以整合企業(yè)資源，制訂合理的措施使企業(yè)獲得最大利潤.

四、小結(jié)

本文主要內(nèi)容為研究平煤集團現(xiàn)狀，利用數(shù)理統(tǒng)計知識擬合出成本函數(shù)曲線，進而求出利潤函數(shù)，并建立數(shù)學模型求出邊際成本、彈性分析以及企業(yè)利潤的最大值，從而為企業(yè)控制成本，增加利潤制訂出合適的策略做出貢獻.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李忠，周建瑩.高等數(shù)學[M].北京：北京大學出版社，2009：65.

[4]韓中庚.數(shù)學建模實用教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

[5]劉忠東，羅賢強，黃璇，吳高翔.高等數(shù)學[M].重慶：重慶大學出版社，2015.