兩端都栽的植樹問題中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

鐘雪梅

【摘要】本文以“兩端都栽的植樹問題”教學(xué)為例，闡述在解決問題過程中如何引導(dǎo)學(xué)生掌握化歸思想、模型思想、一一對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】植樹問題 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05A-0104-02

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不同于數(shù)學(xué)知識技能的教學(xué)，知識和技能是顯性的、具體的，它的有效性是短暫的，而數(shù)學(xué)思想方法卻是隱性的、抽象的知識系統(tǒng)，有效性是長期的，需要教師深入挖掘和提煉，并貫穿在教學(xué)過程中。本文以人教版五年級上冊《數(shù)學(xué)廣角—植樹問題》為例，談?wù)勅绾斡行B透數(shù)學(xué)思想方法。

一、在解決問題中滲透化歸思想

化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易?；瘹w思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中運用比較廣泛，牢固掌握和熟練運用這種思想方法理應(yīng)成為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力之一。在植樹問題教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計前置學(xué)習(xí)任務(wù)單，讓學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，在解決問題中經(jīng)歷化繁為簡的整個過程，充分體現(xiàn)化歸思想的重要地位。

（一）化繁為簡。課前讓學(xué)生觀看一段微視頻，了解總長、間距、間隔數(shù)、棵數(shù)四個關(guān)鍵詞后，再利用10分鐘時間完成前置學(xué)習(xí)任務(wù)單。在前置學(xué)習(xí)第一部分內(nèi)容中，有學(xué)生得出了錯誤的結(jié)論。為了驗證這個結(jié)果是錯誤的，教師設(shè)計了前置學(xué)習(xí)的第二部分內(nèi)容，例題中總長100米數(shù)據(jù)較大，學(xué)生用線段圖表示有困難，此時教師引導(dǎo)學(xué)生用比較數(shù)據(jù)來驗證，也就是把總長換成是10米、20米或25米，讓學(xué)生嘗試用示意圖或線段圖來驗證，并且從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后運用找到的規(guī)律來解決原來總長是100米的問題，體現(xiàn)了化繁為簡的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中教師遵循了三不教原則：①四個關(guān)鍵詞不教。因為課前學(xué)生通過觀看微視頻，對正確掌握四個關(guān)鍵詞已經(jīng)達到90%以上。②畫線段圖和間隔數(shù)、棵數(shù)不教。因為學(xué)生通過課堂上合作學(xué)習(xí)，互相糾錯后已經(jīng)掌握了這些畫法。③只栽一端和在封閉圖形上栽樹的內(nèi)容不教。因為結(jié)合農(nóng)村學(xué)校實際，要在一節(jié)課的時間完成植樹問題中的三個知識點對學(xué)生來說難度較大。因此，筆者只選擇兩端都栽的情況進行研究，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識形成的探究過程中體驗化歸思想、數(shù)學(xué)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應(yīng)思想，并通過形式多樣、由淺入深的習(xí)題多次強化關(guān)鍵知識點。下面是植樹問題（兩端都栽）的前測題：

植樹問題（兩端都栽）前測題

第一題：填一填。

1.同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共要栽（ ）棵。

2.看圖填一填。

總長是（ ），間距是（ ），

間隔數(shù)是（ ），棵數(shù)是（ ）。

第二題：把下面的表格補充完整。

在路的一側(cè)栽樹（兩端都栽）

（二）把生活問題轉(zhuǎn)化成植樹問題來解決。讓學(xué)生了解生活中也有許多植樹問題，比如隊形隊列、公交車站點、安裝路燈等問題都可以轉(zhuǎn)化成植樹問題來解決。

二、在解決問題中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，筆者認(rèn)為，構(gòu)建植樹問題的數(shù)學(xué)模型的過程就是將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題的過程。學(xué)生課前先通過前測題進行自主探究學(xué)習(xí)，然后圍繞典型錯誤師生共同糾正，最后把教學(xué)的重心放在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型上。在教學(xué)過程中，筆者圍繞下面兩個核心問題讓學(xué)生展開討論：間隔數(shù)與棵數(shù)之間有什么關(guān)系？總長、間距和間隔數(shù)之間又有什么關(guān)系？

學(xué)生通過觀察，有的發(fā)現(xiàn)“間隔數(shù)比棵數(shù)少1”，有的發(fā)現(xiàn)“棵數(shù)比間隔數(shù)多1”，還有的發(fā)現(xiàn)“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”。那么，哪個才是正確的呢？接著筆者讓學(xué)生觀察總長、間距和間隔數(shù)三者之間又有什么關(guān)系？有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“總長÷間距=間隔數(shù)”，有的發(fā)現(xiàn)“間距×間隔數(shù)=總長”，還有的發(fā)現(xiàn)“總長÷間隔數(shù)=間距”。最后，筆者讓學(xué)生在具體的情境中構(gòu)建植樹問題的模型，從而建立“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型：總長÷間距=間隔數(shù)，間隔數(shù)+1=棵數(shù)。

為了鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，并能夠靈活運用這些數(shù)學(xué)模型解決一些生活中的問題，筆者設(shè)計了兩道題目，適當(dāng)拓展植樹問題模型的逆向運用。

第一題是課堂檢測題：

我能利用“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”的規(guī)律填一填。

1.一排同學(xué)之間有7個間隔，這一排站了（ ）個同學(xué)。

7個間隔相當(dāng)于植樹問題的（ ），8個同學(xué)相當(dāng)于求植樹問題的（ ）。

2.工人叔叔在道路的一邊安裝路燈（兩端都裝），一共安裝了21盞，從第1盞到最后1盞一共有（ ）個間隔。

21盞相當(dāng)于植樹問題的（ ），20個間隔相當(dāng)于求植樹問題的（ ）。

第二題是拓展提升題：

首先筆者出示了一道求總長的逆向思維題：園林工人沿一條筆直的公路一側(cè)植樹，每隔6m種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最后1棵的距離有多遠？思考：6m相當(dāng)于植樹問題的（ ），36棵相當(dāng)于植樹問題的（ ），求“從第1棵到最后1棵的距離有多遠”相當(dāng)于求植樹問題的（ ）。畫出線段圖，再列式計算。

然后再出示一道求間距的拓展提升的逆向思維題：在一條長4米的直線上，平均站著5位同學(xué)（兩端都站）。每兩位同學(xué)之間的距離是多少米？思考：4米相當(dāng)于植樹問題的（ ），5位同學(xué)相當(dāng)于植樹問題的（ ），求“每兩位同學(xué)之間的距離是多少米？”相當(dāng)于求植樹問題的（ ）。畫出線段圖，再列式計算。

學(xué)生通過解答問題發(fā)現(xiàn)“間距×間隔數(shù)=總長”，還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“總長÷間隔數(shù)=間距”，有效地訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維。

三、在解決問題中滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是充分利用“形”來把其中的數(shù)量關(guān)系具體直觀地表示出來。在植樹問題中，用線段圖來幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，使問題簡單直觀、易于理解和掌握。通過觀察線段圖以及表格中各個量之間的關(guān)系，由 引出“總長÷間距=間隔數(shù)，間隔數(shù)+1=棵數(shù)”的數(shù)量關(guān)系式，再由關(guān)系式引出算式“10÷5=2，2+1=3”。把線段圖、數(shù)量關(guān)系和算式緊密結(jié)合，數(shù)形巧妙相結(jié)合。

四、在解決問題中滲透一一對應(yīng)思想

植樹問題中，兩端都栽是教學(xué)的重點，而這一教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵落腳點在于教師要密切關(guān)注學(xué)生對“間隔”概念的理解，進而解決植樹問題的基礎(chǔ)和起點。播放微視頻，用一豎“|”代表一棵樹，一橫“—”代表間距5米，接著再種一棵樹“|”，再間隔5米“—”用線段表示就是“”，每栽一棵樹就間隔5米，因為兩端都栽，因此終點還要栽上一棵樹，所以就多出了最后的一棵樹。這樣，讓學(xué)生通過觀察微視頻直觀感受一一對應(yīng)思想。

在植樹問題教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷分析、理解、運用的全過程，在自主探究新知的過程中不但掌握了植樹問題的顯性知識，更重要的是讓學(xué)生挖掘、提煉出“化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)”等隱性的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生通過化繁為簡，把復(fù)雜的植樹問題轉(zhuǎn)化成簡單的植樹問題，逐步發(fā)現(xiàn)隱藏于不同情境中的規(guī)律，充分體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決問題的應(yīng)用。

（責(zé)編 林 劍）