“數(shù)形結(jié)合”在中學(xué)常見函數(shù)中的應(yīng)用

冷燚

[摘 要]“數(shù)形結(jié)合”就是將數(shù)與形有機的結(jié)合起來，在中學(xué)常見函數(shù)中的應(yīng)用比較廣泛.“數(shù)形結(jié)合”把函數(shù)解析式的精確刻畫和幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使得代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合，不僅使解題簡捷快速，還開拓思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的道路.本文主要介紹“數(shù)形結(jié)合”思想、“數(shù)形結(jié)合”在中學(xué)常見函數(shù)中的意義以及“數(shù)形結(jié)合”在中學(xué)常見函數(shù)中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；函數(shù)；應(yīng)用.

一、“數(shù)形結(jié)合”思想

1.“數(shù)形結(jié)合”思想的起源及發(fā)展史

將“數(shù)形結(jié)合”運用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，這一重要思想萌芽于古希臘.歐幾里德著有《幾何原本》；笛卡爾建立平面直角坐標(biāo)系并發(fā)表了《幾何學(xué)》；費馬用代數(shù)方法研究古希臘的幾何學(xué)，發(fā)表著作《平面與立體軌跡引論》.自此后，“數(shù)形結(jié)合”的思想得到了突飛猛進的發(fā)展。

我國的“數(shù)形結(jié)合”于公元前十五世紀(jì)的甲骨文記載，其中就有了“規(guī)”和“矩”二字的存在.規(guī)是用來畫圓的，矩是用來畫方的.大約在公元前二世紀(jì)左右，中國已記載了有名的勾股定理.圓和方的研究在古代中國幾何發(fā)展中占了重要位置.中國數(shù)學(xué)家善于把代數(shù)上的成就運用到幾何上，而又用幾何圖形來證明代數(shù)，數(shù)值代數(shù)和直觀幾何有機的配合起來，在實踐中獲得良好的效果。

二、“數(shù)形結(jié)合”在中學(xué)常見函數(shù)中的意義

1.中學(xué)常見函數(shù)

（1） 一次函數(shù)：一般地，形如（k≠0，k、b為常數(shù)）的函數(shù)，我們就說y是x的一次函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

（2） 反比例函數(shù)：形如（k≠0，k為常數(shù)）的函數(shù)，就稱y是x的反比例函數(shù).

（3） 二次函數(shù)：一般地，形如（a≠0）的函數(shù)叫做y是x的一元二次函數(shù)，簡稱二次函數(shù).

（4） 三角函數(shù)：三角函數(shù)常見的形式包括正弦函數(shù)（形如的函數(shù)）、余弦函數(shù)（形如的函數(shù)）和正切函數(shù)（形如的函數(shù)）.

（5） 指數(shù)函數(shù)：一般地，形如（a>0且a≠1） 的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，即以指數(shù)為自變量，冪為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).

（6） 對數(shù)函數(shù)：一般地，形如（a>0且a≠1）的函數(shù)，叫做對數(shù)函數(shù)，即以冪為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù).實際上，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

（7） 冪函數(shù)：一般地，形如（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù).

三、“數(shù)形結(jié)合”在中學(xué)常見函數(shù)中的應(yīng)用

借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的特征.我們從初中開始就開始學(xué)習(xí)函數(shù)問題，同時學(xué)習(xí)的解法也就包括“數(shù)形結(jié)合”.下面就針對為解決具體函數(shù)的某些性質(zhì)而展現(xiàn)的相關(guān)題型。

1.一次函數(shù)：單調(diào)性、斜率與圖像的關(guān)系問題、象限問題

類似的，解決一次函數(shù)象限問題時，若單單通過函數(shù)解析式，并不能很快速很準(zhǔn)確的做到，常常很難直接得到答案，因此，借助圖像的直觀，我們就能很好的解決這個問題了.

例1：一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第 象限.

解：充當(dāng)中的k，此時大于0；

充當(dāng)中的b，此時小于0；

則依據(jù)直線，當(dāng)k>0，b<0時，圖像如圖3-1：

2.指數(shù)函數(shù)：值域、單調(diào)性、比較大小問題

通過圖像，可以很明確的看出函數(shù)有兩個根的范圍在那一個階段，從而得到未知數(shù)的取值范圍.

例2：若關(guān)于x的方程（a>0，a≠1）有兩個不等實根，則a的取值范圍是（ ）.

A. B. C. D.

解：本題要對a分類討論其取值范圍：令，

當(dāng)a>1時，其圖像為（如圖3-2）；當(dāng)0

令，若方程有兩個不等的實根，則需y1與y2的圖像有兩個交點，所以，即.

3.冪函數(shù)：取正值、取負值、取零

利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值得大?。阂恍?shù)值大小的比較，我們可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性比較，例如：

例3：試判斷0.32，，20.3三個數(shù)間的大小順序.

解：這三個數(shù)我們可以看成三個函數(shù)，，在x=0.3時，所對應(yīng)的函數(shù)值.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個函數(shù)的圖像（如圖3-3），

從圖像可以直觀地看出當(dāng)x=0.3時，所對應(yīng)的三個點P1，P2，P3的位置，從而可以得出結(jié)論：.數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微.總之，“數(shù)形結(jié)合”將數(shù)的精確與圖的直觀完美的結(jié)合，從而化難為易，化抽象為具體，幫助我們更好的理解，進而提高做題準(zhǔn)確率.另外，它對于我們進行數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)研究是非常有幫助的.因此，我們應(yīng)該在平時的學(xué)習(xí)和研究中注意培養(yǎng)這種思想意識，解題時，充分利用“數(shù)形結(jié)合”，不斷拓展我們的思維.在課程教學(xué)中也要注重“數(shù)形結(jié)合”思想方法的培養(yǎng).在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的過程中，要充分挖掘教材內(nèi)容，將“數(shù)形結(jié)合”思想滲透于具體的問題中，在解決問題中，讓學(xué)生正確理解“數(shù)”與“形”的相對性，使之有機的結(jié)合起來.讓學(xué)生真正的將“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)用到解題當(dāng)中去，真正地做到學(xué)以致用.

參考文獻：

[1] 周春荔.數(shù)學(xué)觀與方法論.北京：首都師范大學(xué)出版社，1996年8月第一次出版.