基于極限學(xué)習(xí)機的邊坡可靠度分析

，,3，，，

(1.中國科學(xué)院水利部成都山地災(zāi)害與環(huán)境研究所 山地災(zāi)害與地表過程重點實驗室，成都 610041；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049; 3.中國科學(xué)院 青藏高原地球科學(xué)卓越創(chuàng)新中心，北京 100101)

1 研究背景

目前對邊坡穩(wěn)定性的研究，廣泛采用安全系數(shù)法。該法把巖土的參數(shù)值取為定值，通過求解安全系數(shù)來判斷邊坡穩(wěn)定情況，是一種確定性的計算方法。但實際邊坡工程存在大量不確定性，包括各種計算參數(shù)的隨機性和變異性[1]，僅以安全系數(shù)的大小來判斷邊坡安全性是遠遠不夠的。為了彌補傳統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法的缺點，引入了可靠度理論。可靠度理論運用概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法將各種不確定因素看作隨機變量來分析邊坡失穩(wěn)的可能性[2]，能夠更合理地反映邊坡的實際安全狀況。

可靠度是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定時間和條件下，完成預(yù)定功能的概率，常用可靠度指標來衡量；不能完成預(yù)定功能的概率稱為失效概率[3]?？煽慷戎笜嗽酱?，失效概率則越小。邊坡可靠度的研究方法很多，如：一次二階矩法(中心點法[4]、驗算點法)、響應(yīng)面法、蒙特卡羅法等。其中，中心點法精度較低;驗算點法簡單、準確，但只適用于目標功能函數(shù)能夠顯式表達的邊坡。基于二次多項式的常規(guī)響應(yīng)面法，只保證驗算點附近的擬合精度[5-6]，有時還存在收斂困難的問題。直接蒙特卡羅法的精度較高但計算量偏大[7]?；诖耍芏鄬W(xué)者將智能算法引入可靠度分析，利用智能算法強大的數(shù)據(jù)擬合功能構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)。目前應(yīng)用較多的是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]和支持向量機[9]等，不過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要人為設(shè)置大量參數(shù)，且易陷入局部極小值；支持向量機參數(shù)確定困難，且需消耗較多時間進行參數(shù)調(diào)整和訓(xùn)練[10]。

極限學(xué)習(xí)機是一種新的單隱含層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，該法在訓(xùn)練過程中無需調(diào)整輸入層與隱含層間的權(quán)值以及隱含層神經(jīng)元的閾值，只需設(shè)置隱含層神經(jīng)元的個數(shù)，便可獲得唯一最優(yōu)解。因此，與傳統(tǒng)方法相比，其學(xué)習(xí)速度快、泛化性能好[11]，受到越來越多的關(guān)注[12]?；诖?，本文將極限學(xué)習(xí)機引入邊坡可靠度分析，利用均勻試驗和FLAC3D強度折減法生成訓(xùn)練樣本，通過極限學(xué)習(xí)機建立隨機變量與安全系數(shù)之間的映射關(guān)系，構(gòu)建響應(yīng)面功能函數(shù)，結(jié)合蒙特卡羅模擬求解邊坡的失效概率和可靠度指標。算例分析表明，該方法可行，具有較好的應(yīng)用前景。

2 基于FLAC3D和極限學(xué)習(xí)機的可靠度分析

2.1 FLAC3D強度折減法

強度折減法中將邊坡安全系數(shù)定義為：對巖土體抗剪強度進行折減時，邊坡剛好達到臨界破壞狀態(tài)的折減程度，即巖土體實際抗剪強度與臨界破壞時剪切強度的比值[13]。拆減后的黏聚力和摩擦角公式如下：

cF=c/Ftrial；

(1)

φF=arctan(tanφ/Ftrial) 。

(2)

式中：cF為折減后的黏聚力；φF為折減后的摩擦角；Ftrial為折減系數(shù)。

FLAC3D在計算安全系數(shù)時，用Solve FOS命令求解，通過不斷增大強度折減系數(shù)，反復(fù)調(diào)整巖土體的強度指標c和φ來分析邊坡穩(wěn)定性，直至達到臨界破壞，此時強度折減系數(shù)即為安全系數(shù)。與極限平衡法相比，該方法無需假定滑動面位置、形狀，避免了極限平衡法中各種人為假定的缺點[14]，且能反映巖土體材料應(yīng)力、變形等信息。

2.2 極限學(xué)習(xí)機

2.2.1 極限學(xué)習(xí)機簡介

極限學(xué)習(xí)機(Extreme Learning Machine, ELM)是Huang等[15-16]于2004年提出的一種新的單隱含層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，包括輸入層、隱含層和輸出層，其中輸入層與隱含層、隱含層與輸出層神經(jīng)元間為全連接。

給定Q個不同樣本的集合R，其表達式R={(xi,yi)|i=1,2,…,Q;xi∈Rn,yi∈Rm}，則具有l(wèi)個隱含層神經(jīng)元的ELM輸出tj,可表示為

(3)

式中：wi為輸入神經(jīng)元與第i個隱含層神經(jīng)元間的連接權(quán)值；βi為第i個隱含層神經(jīng)元與輸出神經(jīng)元間的連接權(quán)值；bi為第i個隱含層神經(jīng)元的閾值；xj為第j個樣本的輸入值；g(x)為隱含層神經(jīng)元的激活函數(shù)。式(3)可表示為

Hβ=T。

(4)

式中:β=[β1β2…βl]T，T=[t1t2…tQ]T;H為隱含層的輸出矩陣，具體表達式為

H(w1,w2,…,wl,b1,b2,…,bl,x1,x2,…,xQ)=

(5)

單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的目標是使輸出的誤差最小，即網(wǎng)絡(luò)可以零誤差逼近Q個訓(xùn)練樣本，表達式為

(6)

然而，當(dāng)激活函數(shù)g(x)無限可微時，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)并不需要全部進行調(diào)整，w和b在訓(xùn)練前可隨機選擇，且在訓(xùn)練過程中保持不變。而輸出連接權(quán)值β可通過求解以下線性方程組的最小二乘解來獲得,即

(8)

其解為

(9)

式中H+為隱含層輸出矩陣H的Moore-Penrose廣義逆。

2.2.2 極限學(xué)習(xí)機的訓(xùn)練與檢驗

在ELM訓(xùn)練時，需先將樣本數(shù)據(jù)歸一化為[-1,1]之間的數(shù)，可利用MatLab軟件的mapminmax函數(shù)進行處理。

隱含層神經(jīng)元數(shù)對ELM的性能影響較大，一般采用“試湊法”進行選擇。本文從3開始依次增加隱含層神經(jīng)元數(shù)，逐個比較網(wǎng)絡(luò)的性能，來確定最佳神經(jīng)元數(shù)。對網(wǎng)絡(luò)泛化性能的評價，通常是通過仿真誤差err、決定系數(shù)R2等參數(shù)進行的[10]，公式如下：

(10)

(11)

2.3 蒙特卡羅模擬

當(dāng)影響邊坡穩(wěn)定性的各個基本變量Xi的概率分布函數(shù)已知時，利用計算機產(chǎn)生符合相應(yīng)基本變量概率分布的N組隨機數(shù)(N足夠大)，分別代入極限狀態(tài)方程Z=K-1(K=f(x1,x2,…,xN)為極限學(xué)習(xí)機擬合的響應(yīng)面函數(shù))，若其中有M個<0，由伯努利大數(shù)定理可知，失效概率為

Pf=P{Z<0}=P{f(x1,x2,…,xN)<1}=M/N。

(12)

對這N個Z1,Z2,…,ZN，其均值μZ和均方差σZ的估計量分別為：

(13)

(14)

可靠度指標為

(15)

當(dāng)基本變量為正態(tài)分布時，可由式(16)求解對應(yīng)的可靠度指標。

β=-Φ-1(Pf)=Φ-1(1-Pf) 。

(16)

2.4 基于極限學(xué)習(xí)機的可靠度分析步驟

對于邊坡極限功能函數(shù)無法顯式表達的情況，可利用極限學(xué)習(xí)機強大的數(shù)據(jù)擬合功能，建立安全系數(shù)與隨機變量間的復(fù)雜非線性關(guān)系，構(gòu)造出極限狀態(tài)方程，然后利用蒙特卡羅模擬求解可靠度指標，具體步驟為：

(1)確定影響邊坡穩(wěn)定性的因素及其概率分布，利用均勻試驗和FLAC3D軟件，構(gòu)造出極限學(xué)習(xí)機的訓(xùn)練和檢驗樣本。

(2)選擇合適的隱含層神經(jīng)元數(shù)，利用上述樣本，通過極限學(xué)習(xí)機建立安全系數(shù)與隨機變量之間的映射關(guān)系，即響應(yīng)面函數(shù)。

(3)將蒙特卡羅模擬生成的大量隨機變量數(shù)據(jù)，代入到訓(xùn)練好的極限學(xué)習(xí)機中，獲得相應(yīng)安全系數(shù)，進而求解邊坡失效概率和可靠度指標。

3 算例分析

圖1 邊坡剖面Fig.1 Cross-section of slope

采用如圖1所示的均質(zhì)邊坡[17]，坡比為1∶1，坡高H=28 m。土層參數(shù)：黏聚力c=40 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，剪脹角ψ=20°，重度γ=20 kN/m3，楊氏彈性模量E=20 MPa，泊松比ν=0.3。其中c和φ為相互獨立的正態(tài)隨機變量，變異系數(shù)δ均為0.1，其余參數(shù)為定值。

3.1 邊坡安全系數(shù)求解

邊坡土體采用摩爾-庫倫理想彈塑性模型，底部為剛性邊界，上部為自由邊界，左右兩側(cè)垂直邊界為水平滑動支承。坡體等效為平面應(yīng)變問題，將y方向設(shè)為一個單位寬度。采用六面塊體網(wǎng)格將邊坡模型劃分為1 346個節(jié)點，610個單元。

隨機變量c和φ取均值時，利用FLAC3D強度折減法分析邊坡穩(wěn)定性，得到安全系數(shù)為1.29，邊坡剪切滑移面如圖2所示。同時，利用Bishop法、Spencer法、Morgenstern-Price法進行了分析計算，安全系數(shù)分別為1.270，1.269，1.267。文獻[14]和文獻[17]中利用ANSYS軟件求得此坡安全系數(shù)分別為1.25，1.29，利用滑面應(yīng)力法求得安全系數(shù)為1.320，均與本文方法結(jié)果相近。

圖2 邊坡剪切應(yīng)變增量及速度矢量Fig.2 Shear strain increment and velocity vectors of slope

3.2 訓(xùn)練樣本和檢驗樣本數(shù)據(jù)的生成

本文采用均勻設(shè)計[18-19]生成樣本數(shù)據(jù)，該法生成的試驗點在高維空間內(nèi)均勻分散，有限的數(shù)據(jù)便能具有廣泛的代表性，可大幅減少試驗次數(shù)。樣本數(shù)據(jù)的生成采用現(xiàn)成的均勻表進行。

由于c和φ服從正態(tài)分布，取值范圍可通過[μ-3σ,μ+3σ]確定，故c取值范圍為[28,52]kPa，φ為[14°,26°]。根據(jù)上下限利用插值法，將第1列和第5列數(shù)據(jù)分別轉(zhuǎn)化為c和φ真實范圍內(nèi)的數(shù)值，然后通過FLAC3D軟件逐組求解安全系數(shù)，作為網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本，如表1所示。

表1 極限學(xué)習(xí)機的訓(xùn)練樣本Table 1 Training samples of ELM

表2 極限學(xué)習(xí)機的檢驗樣本Table 2 Test samples of ELM

3.3 ELM預(yù)測模型的訓(xùn)練與檢驗

經(jīng)過比較，激活函數(shù)為Sigmoidal時預(yù)測精度相對較高。為減小隨機初始權(quán)值w和閾值b對結(jié)果的影響，對每個神經(jīng)元數(shù)分別運行10次，得到隱含層神經(jīng)元數(shù)與ELM性能間的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 隱含層神經(jīng)元數(shù)與ELM性能的關(guān)系Fig.3 Relationship between the number of neurons in the hidden layer and the performance of ELM

由圖3可知，對于不同的隱含層神經(jīng)元數(shù)，ELM預(yù)測效果不同，總體來看效果均較好。決定系數(shù)均在95%以上，仿真誤差最大不超過0.09。神經(jīng)元數(shù)為8～15時，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測性能最好。綜合比較后，將隱含層神經(jīng)元數(shù)選為8，即網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為“2-8-1”。此時用檢驗樣本進行檢驗，結(jié)果見圖4。

由圖4可見，此訓(xùn)練的ELM預(yù)測精度較高，預(yù)測值與實際值幾乎完全重合，仿真誤差為0.005 7。ELM擬合出的安全系數(shù)K與隨機變量c和φ之間的關(guān)系，即響應(yīng)面函數(shù)K=f(c,φ)如圖5所示。

3.4 蒙特卡羅模擬求解邊坡可靠度

圖5 ELM擬合出的功能函數(shù)曲面Fig.5 Functional surface fitted by ELM

為了選擇合適的模擬次數(shù)，利用MatLab軟件的normrnd函數(shù)分別生成不同數(shù)量(由模擬次數(shù)確定)的隨機樣本數(shù)據(jù)，依次求解邊坡的安全系數(shù)，進而得到失效概率。由于每次生成的樣本不同，失效概率也會有差別。重復(fù)20次蒙特卡羅模擬，得到這20個失效概率的變異系數(shù)與模擬次數(shù)的關(guān)系如圖6所示。

圖6 模擬次數(shù)與失效概率的變異系數(shù)之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between the number of simulation and the coefficient of variation of failure probability

圖7 安全系數(shù)的頻數(shù)分布直方圖Fig.7 Frequency distribution histogram of safety factor

由圖6知，邊坡失效概率的變異系數(shù)隨模擬次數(shù)增加而減小，即模擬次數(shù)越多，精度越高。當(dāng)模擬次數(shù)較少(<50 000)時，失效概率的變異性較大，準確性差；當(dāng)>50 000次時，失效概率的變異系數(shù)較小，在10%左右，且基本趨于穩(wěn)定，為了使結(jié)果更加準確，兼顧精度與效率，本文采用100 000組隨機參數(shù)樣本進行邊坡可靠度分析。

將生成的100 000組隨機參數(shù)樣本，代入前文已訓(xùn)練好的ELM中，得到100 000組安全系數(shù)值K，并繪制出K的頻數(shù)分布直方圖，見圖7。

如圖7所示，經(jīng)統(tǒng)計，安全系數(shù)<1的個數(shù)為91個，根據(jù)“大數(shù)定理”可得該邊坡失效概率Pf=91/100 000=9.1×10-4，由式(16)得邊坡可靠度指標β為3.118。

文獻[17]中，基于ANSYS和二次多項式擬合響應(yīng)面函數(shù)所求的可靠度β=3.42，驗算點法β=3.215，常規(guī)響應(yīng)面法β=3.214，直接蒙特卡羅法β=3.234。結(jié)果均與本文較為接近，證明了本文方法的可行性，且與直接蒙特卡羅法求得的可靠度指標3.234相比，文獻[17]所用方法誤差為5.75%，本文方法為3.59%，精度相對較高。強度折減法程序內(nèi)置于FLAC3D中，無需假定滑面形狀，能夠有效搜索最危險滑面，而原文利用ANSYS需在圖形用戶界面反復(fù)折減強度參數(shù)進行求解，耗時相對較多，且二次多項式擬合精度明顯低于極限學(xué)習(xí)機。特別是當(dāng)隨機變量增加時，上述其他方法計算量較大，而采用極限學(xué)習(xí)機結(jié)合均勻試驗可大幅提高可靠度分析的效率。

4 c和φ相關(guān)性對邊坡可靠度的影響

為了與文獻[17]所用方法進行對比，本文也將c和φ當(dāng)作相互獨立的隨機變量。但大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，同一場地土的c和φ具有負相關(guān)性，且相關(guān)系數(shù)多在-0.5左右[20]。

將其他參數(shù)保持不變，研究c和φ相關(guān)性對邊坡可靠度指標β的影響，如圖8所示。

圖8 可靠度指標和失效概率與c和φ之間相關(guān)系數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relationship of reliability index and failure probability against coefficient of correlation between c and φ

由圖8可知，c和φ間相關(guān)性對邊坡失效概率和可靠度指標有較大影響，隨著c和φ間相關(guān)系數(shù)的增大，邊坡失效概率增大，可靠度指標減小。忽略c和φ間的負相關(guān)性會導(dǎo)致計算的失效概率偏大，可靠度指標偏小，不過這也可看作是一種安全儲備。

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于FLAC3D和極限學(xué)習(xí)機的邊坡可靠度分析方法，并以具體邊坡作為實例，利用均勻設(shè)計和FLAC3D強度折減法構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)，通過極限學(xué)習(xí)機擬合響應(yīng)面功能函數(shù)，結(jié)合蒙特卡羅模擬，得到了邊坡失效概率和可靠度指標，并討論了c和φ相關(guān)性對邊坡可靠度的影響，忽略c和φ的負相關(guān)性會高估其失效概率。本文方法與其他方法結(jié)果相近，驗證了該方法的可行性。該方法具有以下優(yōu)點：

(1)利用均勻試驗設(shè)計，只需較少的樣本點便可確保其代表向量空間中的所有部分，大幅減少了試驗次數(shù)，縮短了仿真計算時間。

(2)利用極限學(xué)習(xí)機構(gòu)造邊坡極限狀態(tài)的響應(yīng)面，擬合精度好、計算效率高，特別是對于具有高度非線性隱式功能函數(shù)的邊坡可靠度分析，優(yōu)勢更明顯。

(3)將極限學(xué)習(xí)機與傳統(tǒng)的可靠度分析方法結(jié)合，既提高了計算效率，又避免了傳統(tǒng)方法存在的一些缺點，為邊坡可靠度理論與工程實踐提供了一條新途徑，具有廣泛的應(yīng)用前景。