勻質(zhì)三角薄板轉(zhuǎn)動慣量的計算

葉 松，許明坤，張自鋒

（巢湖學(xué)院 機械與電子工程學(xué)院，安徽 合肥 238000）

轉(zhuǎn)動慣量是研究剛體運動所必需的基本物理量之一.勻質(zhì)三角薄板是重要的平面結(jié)構(gòu)，它可以和弓形等結(jié)構(gòu)構(gòu)成工程中常用的復(fù)雜剛體結(jié)構(gòu)[1,2].由于轉(zhuǎn)動慣量的可疊加性，討論勻質(zhì)三角薄板的轉(zhuǎn)動慣量對分析復(fù)雜剛體結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量非常有用.文獻[3]給出勻質(zhì)三角薄板對經(jīng)過質(zhì)心的任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，但計算過程繁瑣.文獻[4-7]推導(dǎo)了三角形框剛體的轉(zhuǎn)動慣量，但是該結(jié)論不能直接推廣到勻質(zhì)三角薄板剛體.在工程實踐中平面剛體定軸轉(zhuǎn)動的Z轉(zhuǎn)軸一般都是垂直剛體平面，因此得到適用勻質(zhì)三角薄板質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量的簡潔公式是有必要的.本文基于平行軸定理和垂直軸定理簡捷地推導(dǎo)出勻質(zhì)三角薄板剛體的質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量公式.

1 勻質(zhì)三角薄板對坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量

已知垂直軸定理對給定Z軸的轉(zhuǎn)動慣量與在薄剛體平面的X軸和Y軸選取無關(guān).因此為了使討論過程簡潔，設(shè)勻質(zhì)三角薄板底邊AB在X軸，高OC在Y軸，頂點A、B和C的坐標如圖1所示.

圖1 計算勻質(zhì)三角薄板對X軸轉(zhuǎn)動慣量時的質(zhì)量微元示意

首先討論勻質(zhì)三角薄板對X軸的轉(zhuǎn)動慣量.取細桿微元位于[h',h'+dh']，長為L'，其對X軸的轉(zhuǎn)動慣量微元是：

(1)式中σ是勻質(zhì)三角薄板的面密度，其中：

式(2)和(3)中L和h是AB和OC的長度.

圖2 計算勻質(zhì)三角薄板對Y軸轉(zhuǎn)動慣量時的質(zhì)量微元示意

其次討論勻質(zhì)三角薄板對Y軸的轉(zhuǎn)動慣量.如圖2所示是勻質(zhì)三角薄板的A、B頂點X軸坐標值滿足x1x2≤0和x1x2＞0的兩類情形.勻質(zhì)三角薄板對Y軸的轉(zhuǎn)動慣量，對圖2(a)所示情形，等于△AOC和△BOC對Y軸的轉(zhuǎn)動慣量之和；對圖2(b)所示情形，等于△BOC和△AOC對Y軸的轉(zhuǎn)動慣量之差.由公式（3）得到圖2(a)和2(b)的轉(zhuǎn)動慣量均為：

最后由垂直軸定理可以得到勻質(zhì)三角薄板對Y軸的轉(zhuǎn)動慣量：

2 勻質(zhì)三角薄板對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

勻質(zhì)三角薄板對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量可以運用平行軸定理計算.如圖3所示，G是勻質(zhì)三角薄板的質(zhì)心，其坐標為和 GZ'是勻質(zhì)三角薄板質(zhì)心G的主軸，分別平行X軸、Y軸和Z軸.

圖3 計算勻質(zhì)三角薄板過質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動慣量的示意

（8）式中是質(zhì)心到坐標原點的距離.

在工程實踐中，三角形剛體的邊長是易于測量的，因此得到用邊長表示的轉(zhuǎn)動慣量是有必要的.記三角形邊長分別為a、b、L，(6)-(8)式可以表示為：

(9)式中

（11）式與文獻[3]的推論一致.

3 結(jié)論

通過求解特定坐標系中勻質(zhì)三角薄板對邊長的轉(zhuǎn)動慣量，結(jié)合平行軸定理和垂直軸定理，推導(dǎo)了勻質(zhì)三角薄板對質(zhì)心轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量公式.求解思路清晰，過程簡捷，有助于提高學(xué)生對平行軸定理和轉(zhuǎn)動軸定理的理解和應(yīng)用，對拓寬學(xué)生計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的數(shù)理思路有一定引導(dǎo)作用.