再談平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式及應(yīng)用

蒙少亭

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）26-0288-02

一、問(wèn)題提出

近幾年，許多中考真題中都考查了二次函數(shù)與平行四邊形結(jié)合的題型，題型一般都是四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn)，另兩個(gè)為動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)在拋物線上，而另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在特殊的直線上（如：x軸、y軸或拋物線的對(duì)稱軸上）以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是：設(shè)出一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出另一動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（即平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)）。文獻(xiàn)[1]中給出了推導(dǎo)平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的方法及其應(yīng)用，筆者仔細(xì)研讀后對(duì)公式的推導(dǎo)推方法又有了新的發(fā)現(xiàn)與思考：從平行四邊形的結(jié)構(gòu)特征來(lái)看，平行四邊形都可以動(dòng)態(tài)的看成由它的一條邊通過(guò)平移得到，能否用平移的思想，借助平移前后點(diǎn)的變化規(guī)律，來(lái)發(fā)現(xiàn)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)存在的內(nèi)在聯(lián)系.下面筆者將公式的推導(dǎo)過(guò)程予以展示，供大家參考。

二、問(wèn)題探究

1.定形（字母有順序）

問(wèn)題1：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，其中，求D點(diǎn)坐標(biāo)。

解法如下：

解法一：平行四邊形ABCD可以看成由邊AB經(jīng)過(guò)平移到CD而形成四邊形。由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律可知，B到C的平移方式與A到D的平移方式相同。點(diǎn)B先向右平移個(gè)單位，在向上平移個(gè)單位即得到點(diǎn)C，則點(diǎn)A先向右平移個(gè)單位，在向上平移個(gè)單位即得到點(diǎn)D.

解法二：平行四邊形ABCD可以看成由邊BC經(jīng)過(guò)平移到AD而形成四邊形。由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律可知，B到A的平移方式與C到D的平移方式相同。點(diǎn)B先向右平移個(gè)單位，在向上平移個(gè)單位即得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C先向右平移個(gè)單位，在向上平移個(gè)單位即得到點(diǎn)D.

不難發(fā)現(xiàn)，解法一和解法二結(jié)果一致。由上面的探究，可以得出以下結(jié)論：

平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)順序一定，已知前三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則第四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為已知對(duì)角兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和減去第三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，第四個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為已知對(duì)角兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和減去第三點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

特殊地：

①平行四邊形ABCD中，

則：，其中.

②平行四邊形ABCD中，

則：，其中.

兩種特殊情況，從數(shù)和形的角度清晰地展現(xiàn)出平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)存在的內(nèi)在關(guān)系，同時(shí)也是公式的特殊應(yīng)用。

2.不定形（字母無(wú)順序）

問(wèn)題2：以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，其中，求D點(diǎn)坐標(biāo)。

解法如下：

由于字母的順序不定，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要進(jìn)行分類討論，以對(duì)角線進(jìn)行分類，可以分如下圖所示的三類：

類型一：以AC為對(duì)角線，由問(wèn)題1的結(jié)論可知：D1

.

類型二：以BC為對(duì)角線，由問(wèn)題1的結(jié)論可知：D2

.

類型二：以AB為對(duì)角線，由問(wèn)題1的結(jié)論可知：D3

.

由上面的探究，可以得出以下結(jié)論：

平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)順序不定，已知其中任意三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，則第四的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為任意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和減去第三點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第四個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為任意兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和減去第三點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

上面的探究過(guò)程是從定形和不定形兩種情況進(jìn)行分類討論，利用平移的規(guī)律，先推導(dǎo)出特殊情況下（字母有順序）的公式，再得到一般情況下（字母無(wú)順序）的結(jié)論，符合從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。同時(shí)，避免了文獻(xiàn)[1]中中點(diǎn)坐標(biāo)公式的使用，更便于學(xué)生的理解與運(yùn)用。

三、方法應(yīng)用

如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在OA邊上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.過(guò)O，D，C三點(diǎn)作拋物線，若點(diǎn)N在上述拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使得以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：由折疊的性質(zhì)，及△COE∽△EAD，易得：從而得到拋物線的表達(dá)式為：

∵拋物線的對(duì)稱軸為：x=-2

∴N（-2，n），以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分三種情況：

①當(dāng)CN為對(duì)角線時(shí)，

∵C（-4，0），N（-2，n），E（0，-3），由第四頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

∴M（-4+（-2）-0，0+n-（-3））即M（-6，n+3）

將M（-6，n+3）代入，易得M（-6，16）

②當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí)：

∵C（-4，0），E（0，-3），N（-2，n），由第四頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

∴M（-4+0-（-2），0+（-3）-n）即M（-2，-n-3）

將M（-2，-n-3）代入，易得M（-2，）

③當(dāng)EN為對(duì)角線時(shí)：

∵E（0，-3），N（-2，n），C（-4，0），由第四頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

∴M（0+（-2）-（-4），-3+n-0）即M（2，n-3）

將M（2，n-3）代入，易得：M（2，16）

參考文獻(xiàn)：

[1]秦宇峰.求平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2015（5）：68.