不等厚磁極永磁電機(jī)解析法分析

倪有源,劉躍斌

(合肥工業(yè)大學(xué),合肥 230009)

0 引 言

隨著我國“十三五”規(guī)劃的實(shí)施，高效、節(jié)能、經(jīng)濟(jì)、持續(xù)等成為能源發(fā)展新方向。永磁電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、功率密度高等優(yōu)點(diǎn)，在艦船、航空、家電、醫(yī)療、公共生活等領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛[1，2]。

在永磁電機(jī)運(yùn)行過程中，永磁體起著重要的作用。永磁體的求解一般有磁化矢量法和等效面電流法，兩者出發(fā)點(diǎn)不同，但是得到的結(jié)果一樣。而且任何磁場都可以看成是由分布電流產(chǎn)生的，在永磁體被完全磁化的情況下，磁極內(nèi)部的等效面電流密度可以認(rèn)為是零，永磁體的求解也就是轉(zhuǎn)化為對磁極邊的等效電流求解。

文獻(xiàn)[3-5]分析了磁極內(nèi)外弧圓心在同一點(diǎn)時，用等效面電流法求解徑向和平行充磁條件下的氣隙磁密分布。文獻(xiàn)[3，4]在平行充磁條件下，對磁極外弧圓心發(fā)生偏移的永磁電機(jī)氣隙磁密進(jìn)行了等效面電流的分析求解，但是沒有求解感應(yīng)電動勢和電磁轉(zhuǎn)矩等參數(shù)。文獻(xiàn)[6-9]運(yùn)用磁化矢量法分析了磁極等厚的無刷永磁電機(jī)的開路場、電樞反應(yīng)場以及負(fù)載場。文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步提出并分析了等厚磁極磁場徑向和平行磁化的改進(jìn)模型。文獻(xiàn)[11]在考慮槽的影響時，采用子域模型求解電機(jī)性能。文獻(xiàn)[12]將磁極設(shè)置為等效的導(dǎo)體電流，然后將電機(jī)劃分為2類子區(qū)域，進(jìn)行氣隙磁密和反電動勢的解析求解。

對于永磁體內(nèi)弧偏心的情形，本文通過等效面電流法求解不等厚磁極無槽永磁電機(jī)的氣隙磁密，引入相對磁導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求解有槽電機(jī)的氣隙磁密、反電動勢以及電磁轉(zhuǎn)矩等參數(shù)。最后通過有限元法的計算結(jié)果驗(yàn)證了解析法的有效性，為電機(jī)在各種偏心情況下的參數(shù)計算提供了參考。

1 不等厚磁極永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)

從傳統(tǒng)瓦形磁極內(nèi)外弧圓心在同一點(diǎn)結(jié)構(gòu)出發(fā)，得出磁極內(nèi)弧圓心和外弧圓心發(fā)生偏移的一種磁極結(jié)構(gòu)。在已知不等厚磁極最大厚度、最小厚度以及永磁矯頑力等參數(shù)的條件下，通過改善氣隙磁密的分布來提高永磁電機(jī)的運(yùn)行性能。傳統(tǒng)瓦形內(nèi)外弧圓心在同一點(diǎn)，即等厚磁極結(jié)構(gòu)如圖1所示。磁極內(nèi)弧圓心偏移外弧圓心一定距離后，即不等厚磁極結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖1 等厚磁極永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)

圖2 不等厚磁極永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)

2 內(nèi)弧偏心解析法求解

對于傳統(tǒng)無槽等厚磁極結(jié)構(gòu)的電機(jī)氣隙磁密的求解，在文獻(xiàn)[6]中給出了完整的解析式。對于內(nèi)弧偏心磁極結(jié)構(gòu)，分別在徑向和平行2種磁化方式下，采用等效面電流法將磁極等效求解氣隙磁密表達(dá)式。

2.1 徑向充磁下的氣隙磁密解析法求解

在圖2的磁極內(nèi)弧偏心結(jié)構(gòu)中，R1為以O(shè)點(diǎn)為圓心的外弧半徑，內(nèi)弧偏心后磁極最小厚度為hmin，最大厚度為hmax。

圖3 徑向充磁磁極等效面電流

由圖2可見，OA=R1-hmin，O′A=R1-hmax+h，OO′=h。

在△OO′A中，根據(jù)余弦定理可得：

式中：αp為永磁體極弧系數(shù)；p為極對數(shù)。

永磁體的AD邊和BC邊的圓心距h：

在AD邊，任意一點(diǎn)E到O點(diǎn)的距離：

AD邊的等效面電流微元：

式中：

于是，該電流微元在氣隙中產(chǎn)生的磁密：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Rs為定子內(nèi)半徑；θ為定子內(nèi)表面上一點(diǎn)到磁極中心線的機(jī)械角度。

由以上各式通過積分，可得AD邊的磁密：

(7)

式中：α是永磁體AB邊到磁極中心線的機(jī)械角度。

而AB邊和CD邊的等效面電流微元：

di=Hcdr

(8)

根據(jù)等效面電流微元，可以求解在氣隙中所產(chǎn)生的磁密：

對式(9)積分得到在定子內(nèi)表面的磁密：

式中：

然后將AD邊、AB邊和CD邊的氣隙磁密疊加，得到每極的等效面電流法氣隙磁密解析式。在一個周期內(nèi)，對每極求解的結(jié)果進(jìn)行疊加，就可以得到氣隙磁密的分布。

2.2 平行充磁下的氣隙磁密解析法求解

在已知條件不變的情況下，采用平行充磁時，如圖4所示的磁極等效面電流可知，AB邊和CD邊的等效面電流方向相反，大小相同，而且面電流密度大?。?/p>

圖4 平行充磁磁極等效面電流

BC邊的等效面電流密度大?。?/p>

J2=Hcsinθ0(13)

AD邊的等效面電流密度大?。?/p>

AB邊和CD邊的面電流產(chǎn)生的氣隙磁密：

BC邊的等效面電流微元：

di=Hc·sinθ0·R1·dθ0(16)

該電流微元在氣隙中產(chǎn)生的磁密：

由以上關(guān)系式數(shù)值積分可以得到BC邊磁密：

曲邊AD的等效面電流微元：

其中：

那么該電流微元在氣隙中產(chǎn)生的磁密：

由以上關(guān)系式積分，可以得到AD邊的磁密：

式(15)和式(21)中：α和θ的含義與徑向充磁的含義相同。

將AB邊、CD邊、BC邊以及AD邊求解的氣隙磁密疊加，就可以得到平行充磁下的一個磁極氣隙磁密解析式。

2.3 有槽結(jié)構(gòu)電機(jī)的解析法分析

當(dāng)求解有槽結(jié)構(gòu)的電機(jī)性能時，由于有槽結(jié)構(gòu)的子域解析求解比較復(fù)雜。因此在誤差允許的條件下，通過引入相對磁導(dǎo)函數(shù)求解該電機(jī)的氣隙磁密，并進(jìn)一步獲得感應(yīng)電動勢以及電磁轉(zhuǎn)矩等參數(shù)的解析式。

對于有槽結(jié)構(gòu)的永磁電機(jī)，相對磁導(dǎo)函數(shù)由文獻(xiàn)[8]得出：

式中：b0為槽寬；α0=b0/Rs為槽寬對應(yīng)的角度；αt=2π/Qs為槽距角；Qs為定子槽數(shù)；g′=g+hm/μr為有效氣隙長度；hm為相對偏移角度對應(yīng)的磁極厚度。當(dāng)永磁電機(jī)為內(nèi)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)時，即y=r-Rs+g′時，ν可以通過式(25)進(jìn)行求解。

由式(23)～式(25)可以得到相對磁導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式：

將式(26)寫成傅里葉形式：

有槽結(jié)構(gòu)永磁電機(jī)氣隙磁密的2個分量如下：

對于有槽結(jié)構(gòu)的永磁電機(jī)，采用解析法求解反電動勢時，空載徑向氣隙磁密：

式中：θma為取決于轉(zhuǎn)速的相對位置角，表達(dá)式：

θma=ωrt+θ1(30)

式中：ωr為轉(zhuǎn)子的機(jī)械角速度；θ1為轉(zhuǎn)子的初始位置角。

由單個線圈的磁通，可獲得各相繞組的感應(yīng)電動勢：

式中：N為每相總串聯(lián)匝數(shù)；L為定子鐵心長度；αc為線圈的節(jié)距角；Kdn=sin(npαc/2)為繞組的節(jié)距因數(shù)；Kqn為繞組的分布因數(shù)。

電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩為感應(yīng)電動勢和電流的乘積，即：

式中：ei和ii(i=a，b，c)分別為定子三相繞組的感應(yīng)電動勢和電流。

對于定子電流，各相基波表達(dá)式分別如下：

式中：Im為每相電流的最大值；φ為相位角。

3 內(nèi)弧偏心磁極電機(jī)性能分析

采用等效面電流解析法求解永磁電機(jī)氣隙磁密，具有用時短、參數(shù)易優(yōu)化等優(yōu)點(diǎn)。本文對一臺3相4極、采用徑向充磁的永磁電機(jī)進(jìn)行分析。電機(jī)額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min。表1列出了該電機(jī)的主要參數(shù)。

表1 永磁電機(jī)參數(shù)

根據(jù)表1中的參數(shù)，首先通過文獻(xiàn)[6]中的解析表達(dá)式，得到無槽等厚磁極永磁電機(jī)的氣隙磁密分布。磁極厚度設(shè)置為5 mm。圖5是徑向充磁下的內(nèi)外弧圓心在同一點(diǎn)的徑向氣隙磁密波形，圖6是切向氣隙磁密波形，與有限元法的結(jié)果完全吻合。

圖5 無槽等厚磁極電機(jī)徑向氣隙磁密波形

圖6 無槽等厚磁極電機(jī)切向氣隙磁密波形

接著分析磁極內(nèi)弧圓心偏移情況下的氣隙磁密。在最大磁極厚度和最小磁極厚度為定值的情況下，改變最大磁極和最小磁極的數(shù)值，然后求解得到不同的偏心距離，再通過等效面電流法得到不同的偏心距下的氣隙磁密、電磁轉(zhuǎn)矩等參數(shù)。表2列出的是在徑向充磁下，最大磁極厚度和最小磁極厚度發(fā)生變化時，2種方法計算得出的電磁轉(zhuǎn)矩平均值。

表2 不等厚偏心磁極的電磁轉(zhuǎn)矩平均值

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，選擇最后一組數(shù)據(jù)，求解該電機(jī)在不同偏心距下的各種性能參數(shù)。徑向充磁下，最大磁極厚度6.1 mm，最小磁極厚度3.9 mm。磁力線的分布可以精確反映電機(jī)內(nèi)部的磁場強(qiáng)弱。在有限元計算中，獲得的電機(jī)磁力線分布如圖7所示。

圖7 徑向充磁電機(jī)磁力線分布圖

對于有槽結(jié)構(gòu)的電機(jī)，通過相對磁導(dǎo)函數(shù)求解氣隙磁密。由式(23)～式(27)得到在定子內(nèi)徑處的相對磁導(dǎo)函數(shù)波形，如圖8所示。

圖8 定子內(nèi)徑處相對磁導(dǎo)波形

得到相對磁導(dǎo)函數(shù)后，由式(28)可以求出不等厚磁極有槽電機(jī)的徑向氣隙磁密，波形如圖9所示。

然后對氣隙磁密波形進(jìn)行FFT諧波分析，可以得出徑向氣隙磁密的基波和諧波，如圖10所示，其中基波幅值為0.686 T。

圖9 電機(jī)徑向氣隙磁密波形

圖10 電機(jī)徑向氣隙磁密FFT諧波分析

反電動勢是電機(jī)性能分析的重要參數(shù)之一，反電動勢與轉(zhuǎn)子角速度、永磁產(chǎn)生的磁場、繞組匝數(shù)以及繞組分布有關(guān)。解析法和有限元法計算獲得的a相感應(yīng)電動勢的波形如圖11所示。由于實(shí)際槽深以及假設(shè)條件等多因素的影響，2種方法得到的波形存在誤差，但整體一致性較好。

圖11 電機(jī)的相感應(yīng)電動勢波形

電磁轉(zhuǎn)矩也是電機(jī)的重要參數(shù)之一。電磁轉(zhuǎn)矩不僅反映了電機(jī)的輸出能力，而且電磁轉(zhuǎn)矩脈動可以用來分析電機(jī)的振動和噪聲，對電機(jī)的性能分析起著至關(guān)重要的作用。由式(32)獲得的電磁轉(zhuǎn)矩波形如圖12所示。

圖12 電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩波形

解析法獲得的平均電磁轉(zhuǎn)矩為0.591 2 N·m，有限元法獲得的平均電磁轉(zhuǎn)矩為0.592 8 N·m。二者的誤差較小，從而驗(yàn)證了磁極等效面電流解析法的正確性。

4 結(jié) 語

本文采用磁極等效面電流的解析法，計算了內(nèi)弧圓心偏移下的永磁電機(jī)電磁性能。通過此方法求解無槽結(jié)構(gòu)永磁電機(jī)在不同磁化方式下的氣隙磁密，通過引入相對磁導(dǎo)函數(shù)求解有槽電機(jī)的氣隙磁密，進(jìn)一步求解有槽結(jié)構(gòu)電機(jī)的反電動勢以及電磁轉(zhuǎn)矩等參數(shù)。最后通過有限元法驗(yàn)證了解析法的正確性。結(jié)果表明，通過改變永磁磁極最大厚度和最小厚度，可以影響氣隙磁密和電磁轉(zhuǎn)矩等參數(shù)。本文的方法對電機(jī)各種偏心情況下的參數(shù)計算和優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù)。