穹頂結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計

梁智豪，余彥峰，吳偉輝，李湘勤

（韶關(guān)學院物理與機電工程學院，廣東 韶關(guān)512005）

0 引言

穹頂是指一種懸垂的半球體空間或面積，在工程結(jié)構(gòu)，尤其是建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如體育場、會議大廳、游泳池等采用穹頂結(jié)構(gòu)。國內(nèi)的天津博物館、2008北京奧副產(chǎn)品會羽毛球館和安微大學體育館都是采用類似穹頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)。穹頂?shù)男螤睢⒊叽绲脑O(shè)計一般是基于經(jīng)驗或工程設(shè)計計算，對經(jīng)驗的積累要求較高。穹頂結(jié)構(gòu)作為建筑結(jié)構(gòu)的構(gòu)型，其受力特性的好壞影響著其性能的發(fā)揮，而結(jié)構(gòu)的剛度或柔度是其受力特性的一個重要指標。提高結(jié)構(gòu)的剛度或減小柔度是提高結(jié)構(gòu)力學性能的重要舉措，工程上通用的方法有增加截面尺寸、更換材料、優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計等方法，對于優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計最經(jīng)典的方法是通過有限元分析，確定其危險部分，并進行強化設(shè)計，而這些方法都是建立在已有的設(shè)計構(gòu)型上為某些性能的改善而進行的結(jié)構(gòu)改型。從上世紀八十年代逐漸發(fā)展起來的拓撲優(yōu)化設(shè)計，可以在設(shè)計之初為結(jié)構(gòu)提供一種優(yōu)化布局，從而使設(shè)計結(jié)構(gòu)具有良好的性能。拓撲優(yōu)化在工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域被認為是一個很有應(yīng)用價值的技術(shù)，從提出至今，已在建筑、機械和航天等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，如彭細榮等對高層建筑支撐體系進了拓撲優(yōu)化嘗試[1]，李湘勤等對力學傳感器結(jié)構(gòu)進行了拓撲優(yōu)化設(shè)計[2]。對于穹頂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計較多的是對截面尺寸進行優(yōu)化設(shè)計[3-5]，通過拓撲優(yōu)化的方式直接獲得穹頂結(jié)構(gòu)材料布局的研究鮮有人問津。本文通過建立簡化的幾何模型并采用特殊的網(wǎng)格劃分方式，采用拓撲優(yōu)化技術(shù)獲得在特定的材料用量限制情況下穹頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)材料優(yōu)化布局，對拓撲優(yōu)化結(jié)果進行結(jié)果提取并建立相應(yīng)的三維模型，并根據(jù)材料用量限設(shè)計了兩種用于對比的穹頂結(jié)構(gòu)，通過力學試驗，顯示在相同力作用下，拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)位移更小，證實了經(jīng)拓撲優(yōu)化設(shè)計得的穹頂結(jié)構(gòu)材料布局具有更好的剛度。

1 問題描述

1.1 物理模型簡化與網(wǎng)格劃分

穹頂?shù)暮喕膸缀文Ｐ腿鐖D1（a）所示。設(shè)定穹頂?shù)牡撞抗潭?，頂部受壓力作用，考慮到結(jié)構(gòu)的對稱性和周期性，以穹頂?shù)乃姆种粸檠芯繉ο?，利用有限元的思法進行網(wǎng)格劃分，對于穹頂結(jié)構(gòu)，其網(wǎng)格的劃分是影響其能否獲得對稱且周期性的分析結(jié)果的關(guān)鍵因素，也就是說網(wǎng)格劃分不保證有限元網(wǎng)格對稱且周期性，拓撲優(yōu)化時難以獲得一個周期且對稱的結(jié)構(gòu)。因為四分之一穹頂結(jié)構(gòu)外表面為三角形結(jié)構(gòu)，無法直接用映射網(wǎng)格劃分，為了獲得對稱、且周期分布的優(yōu)化結(jié)果，外側(cè)圓面采用頂部小面積自由三角形網(wǎng)格劃分，其余外采用四邊形映射網(wǎng)格劃分，然后在厚度方向使用網(wǎng)格掃掠，最后得到棱柱網(wǎng)格與長方體網(wǎng)格共存的有限元網(wǎng)格模型，如圖1所示。

圖1 穹頂幾何模型與網(wǎng)格劃分

1.2 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型建立

SIMP法[6，7]是拓撲優(yōu)化中構(gòu)建數(shù)學模型常用的一種基于材料密度的插值方法，其主要思想是通過定義每個單元具有獨立偽密度值（一個介于[0，1]區(qū)間的數(shù)），并將單元的偽密度作為設(shè)計變量，由偽密度的值來表征單元的存在情況。SIMP法中單元i的單元剛度矩陣表示為

式中，ρi是單元i的偽密度；p是懲罰因子，本文p=3；k0為實材料的單元剛度矩陣。

以圖1（a）穹頂簡化模型為基礎(chǔ)，在一定材料用量限情況下，以求獲得最佳的結(jié)構(gòu)力學性能，從而獲得穹頂結(jié)構(gòu)的材料優(yōu)化布局，本文研究以在材料一定用量限下，穹頂結(jié)構(gòu)剛度極大化為目標尋求材料最優(yōu)布局。由于結(jié)構(gòu)的剛度極大與柔順度極小是一個等價問題，而對于材料用量限可以用結(jié)構(gòu)的體積約束表述，所以以總體柔順度極小為目標，以體積為約束的建立穹頂結(jié)構(gòu)剛度極大化的拓撲化問題的數(shù)學模型建立，如下式：

式中ρ為單元設(shè)計變量向量，K（ρ）為全局剛度矩陣，U為全局位移向量，F(xiàn)為全局載荷向量，ui為單元位移向量，ki為單元剛度矩陣，ui為單元體積，ρi為單元設(shè)計變量（偽密度）為體積約束分數(shù)，ρmin為單元設(shè)計變量最小值（用來避免全局剛度矩陣奇異，一般取值ρmin=0.001），n為單元個數(shù)。

2 敏度分析

拓撲優(yōu)化一般需基于梯度來迭代更新設(shè)計變量向量ρ，因此需求得式所建立的數(shù)學模型目標函數(shù)對設(shè)計變量的敏度。引入拉格朗日乘子向量λ，由式（2）前兩式構(gòu)建拉格日方程如下：

將式（3）對設(shè)計變量向ρ求導，并對極值有：

對于伴隨方程有：

由式（5）求得 λ，并代入式（3），可求得公式（2）第一式目標函數(shù)對設(shè)計變量ρ的伴隨敏度為：

優(yōu)化問題（2）可通過優(yōu)化準則法、二次線性規(guī)劃法和移動漸近法等優(yōu)化算法進行求解[2]。本文采用優(yōu)化準則法實現(xiàn)對穹頂結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計。

3 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

穹頂結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化幾何模型和網(wǎng)格劃分如圖1所示，穹頂外徑為100 mm，厚度3 mm；使用的材料密度ρ=7 850 kg/m；楊氏模量E=2.0×1011Pa.結(jié)構(gòu)頂部最高點受壓力作用，約束結(jié)構(gòu)的底部端面，取體積約束分數(shù)為；目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)剛度極大化或柔順度極小化。優(yōu)化問題基于COMSOL3.5和COMSOL script3.5實現(xiàn)，兩種體積約束下獲得的拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖2所示。

圖2 拓撲優(yōu)化結(jié)果

4 優(yōu)化結(jié)構(gòu)驗證及分析

4.1 結(jié)構(gòu)對比

針對圖2所得的拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)，提取材料布局，并構(gòu)建全穹頂結(jié)構(gòu)模型，如圖3所示。

圖3 拓撲優(yōu)化材料布局結(jié)果提取

圖3 （a）穹頂結(jié)構(gòu)（用T2表示，表示在體積約束分數(shù)為0.2時得到的優(yōu)化結(jié)果）對應(yīng)拓撲優(yōu)化結(jié)果圖2（a），圖 3（b）穹頂結(jié)構(gòu)（用 T3 表示，表示在體積約束分數(shù)為0.3時得到的優(yōu)化結(jié)果）對應(yīng)拓撲優(yōu)化結(jié)果圖2（b）。為了對比拓撲優(yōu)化結(jié)果穹頂結(jié)構(gòu)材料布局的力學性能，設(shè)計了兩種桿寬一致的穹頂結(jié)構(gòu)，如圖4所示，圖 4（a）穹頂設(shè)計結(jié)構(gòu)（S2）的體積與圖 3（a）穹頂拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)（T2）體積接近，所有桿寬為3.6 mm；圖 4（b）穹頂設(shè)計結(jié)構(gòu)（S3）的體積與圖 3（a）穹頂拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)（T3）體積接近，所有桿寬為4.4 mm，兩種穹頂結(jié)構(gòu)緯向圍桿離穹頂?shù)锥嗣婢嚯x相同，經(jīng)向圍桿數(shù)量相同，且周向均布。

圖4 穹頂設(shè)計結(jié)構(gòu)

4.2 打印制作

利用太爾時代的UP2產(chǎn)品采用ABS材料打印制作，為了減少結(jié)構(gòu)內(nèi)部的空洞結(jié)構(gòu)，參數(shù)設(shè)置中采用最0.2 mm的層片厚度與最精細填充方式，得到的四種穹頂結(jié)構(gòu)實物如圖5所示。

圖5 穹頂結(jié)構(gòu)3D打印實物

4.3 受力試驗

對四種結(jié)構(gòu)分別用電子天秤稱量，獲得各自打印制作出來后實際的質(zhì)量。考慮到位移極小與剛度最大的等價性[8]，試驗時，在穹頂最高點加載壓力，以20 N為增量連續(xù)加載，測試其負載與位移的關(guān)系，最終得到圖5四種結(jié)構(gòu)的負載與位移關(guān)系如圖6所示，其中圖中每條數(shù)據(jù)線末端結(jié)點為結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂前的近似位移與受力關(guān)系。

圖6 力學試驗

根據(jù)零件荷載與位移的比值為剛度，剛度的倒數(shù)為柔度，對于圖5四種穹頂結(jié)構(gòu)，取各數(shù)值點力與位移比值的平均值為穹頂剛度為了便于比較并剔除結(jié)構(gòu)屈服后的受力試驗數(shù)據(jù)，取一定受力區(qū)間F?內(nèi)穹頂剛度作比較，假定剛度提高系數(shù)δ為拓撲結(jié)構(gòu)和設(shè)計結(jié)構(gòu)的差值與設(shè)計結(jié)構(gòu)的比值，圖5四種穹頂結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度對比如表1所示。

表1 四種穹頂結(jié)構(gòu)受力試驗數(shù)據(jù)對比表

從表1可知，拓撲優(yōu)化布局的質(zhì)量雖輕于設(shè)計布局的質(zhì)量，在結(jié)構(gòu)屈服前，經(jīng)拓撲優(yōu)化獲得的穹頂結(jié)構(gòu)的材料布局的剛度值明顯小于設(shè)計布局，對于體積分數(shù)接近＝0.2的拓撲結(jié)構(gòu)與設(shè)計結(jié)構(gòu)因材料布局較為相似，得到的剛度提高較小，而對于＝3，剛度提高較為明顯，達到了12.77%.對比結(jié)果，顯示出拓撲優(yōu)化獲得的桿結(jié)構(gòu)較設(shè)計結(jié)構(gòu)的桿細，使得相比設(shè)計布局，總承載能力有所下降。

5 結(jié)論

本文針對建筑工程中的穹頂結(jié)構(gòu)提出了應(yīng)用拓撲優(yōu)化方法進行優(yōu)化設(shè)計的方法。主要結(jié)論如下：

（1）結(jié)合建筑工程中穹頂結(jié)構(gòu)的力學性能要求，以簡化的穹頂幾何模型構(gòu)建用于拓撲優(yōu)化的物理模型，為獲得對稱且周期性的結(jié)果，采用自由網(wǎng)格與映射網(wǎng)格相結(jié)合的方式使得網(wǎng)格基本呈現(xiàn)對稱、周期分布，這種網(wǎng)格劃分方式有力地保證了在穹頂結(jié)構(gòu)有限元分析時獲得對稱且周期性的結(jié)果；

（2）應(yīng)用基于SIMP插值方法，建立以剛度極大或柔順度極小的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，推導目標函數(shù)對設(shè)計變量的伴隨敏度，利用優(yōu)化準則法進行拓撲優(yōu)化，獲得了在兩種體積分數(shù)約束下的拓撲優(yōu)化構(gòu)型，針對拓撲優(yōu)化構(gòu)型的材料分布進行結(jié)構(gòu)提取，構(gòu)建對應(yīng)的三維幾何模型。最終的優(yōu)化結(jié)果顯現(xiàn)出材料分布規(guī)律明顯，便于進一步的形狀優(yōu)化或制作。本文研究的只針對剛度極大化問題，結(jié)構(gòu)受力單一，而穹頂結(jié)構(gòu)實際性能要求復雜、工況繁多，但依然可以通過多目標函數(shù)處理方法進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，但此時模型的非線性增強，不利于獲得材料分布有規(guī)律且整齊的結(jié)構(gòu)。

（3）以與拓撲優(yōu)化構(gòu)型相近的用料量設(shè)計兩種桿系等寬的穹頂結(jié)構(gòu)，針對四種穹頂結(jié)構(gòu)采用3D打印制作實物模型。采用對穹頂頂部加壓，以驗證拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)與設(shè)計結(jié)構(gòu)的力學性能差別。對比試驗結(jié)果，實例展現(xiàn)經(jīng)拓撲優(yōu)化獲得的穹頂結(jié)構(gòu)剛度分別提升6.89%和12.77%.所以，應(yīng)用拓撲優(yōu)化設(shè)計穹頂結(jié)構(gòu)的構(gòu)型，可以有效的彌補基于經(jīng)驗設(shè)計的不足，也為穹頂結(jié)構(gòu)的形狀設(shè)計提供有力借鑒。