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    察其形 思其源 謀其法
    —— 對一道幾何最值問題解法的思考

    2018-07-31 09:50:42浙江省三門縣三門初級中學(xué)丁堅鋒
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年14期
    關(guān)鍵詞:通法共線曲柄

    ☉浙江省三門縣三門初級中學(xué) 丁堅鋒

    一、緣起

    2018年5月5日晚上,一位朋友發(fā)來一道數(shù)學(xué)題(見“原題呈現(xiàn)”)要我?guī)兔鉀Q,我便畫了一個圖發(fā)給他,如圖2,并在圖下方寫了“當O、E、C共線時,OC最大”.我本以為就此完事,不料,為把解法中的“理”說通,竟花去了1個小時.現(xiàn)將部分對話記錄如下:

    朋友:為什么這個位置最大?怎樣證明這三點共線時,OC就最大?

    朋友:E換成點D不也有這種關(guān)系嗎?為什么就要取中點E?

    筆者:因為AB在滑動時,OE是定值,OD是在變的.

    朋友:這個我懂,但解釋不了為什么E與O、C共線時,OC最大.

    筆者:關(guān)鍵有兩點:(1)找到運動中的不變量;(2)提取數(shù)學(xué)模型.

    朋友:你的解釋很抽象?。∥揖陀X得,用你的理由解決這個問題不夠嚴謹.沒有哪個定理或結(jié)論能直接用來解釋這個的吧?

    筆者:我猜你的困惑在于為什么選擇OE而不選擇OD去解決?

    朋友:我就是這個問題,怎么解釋當E在OC上時就達到最大,不要說OE是定值.

    筆者:選擇點E還是選擇D與定理無關(guān),這是一個解題策略問題,就好比選參照物.為什么不選D點,是因為OD在變,選擇這個變量對解題無用,所以我不選.那么,為什么選OE就可以呢,一方面它是定值,恰好CE也是定值(三個量中有兩個定值),另一方面OE、CE、OC剛好在一個三角形中,所以這個方法有可行性,然后找理論依據(jù)去證明.

    朋友:懂了,還是策略問題,這是初中對付這種動態(tài)問題的一種策略.

    我的這位朋友原先在初中教書,我本以為添幾條輔助線,畫個圖就可以了,沒想到的是他不上講臺講課了,把初中的一些知識和解題經(jīng)驗忘得差不多了.朋友的困惑在于為什么是AB的中點而不是其他的點與O、C共線時求得最大值.我驟然想起,我們的學(xué)生是否也會有類似的困惑,隨即反思教學(xué)中是否存在這樣的一些現(xiàn)象:(1)講題時憑教師自己的認知水平和解題經(jīng)驗講,與學(xué)生的認知和經(jīng)驗不能平等對接,出現(xiàn)學(xué)生似懂非懂、不懂裝懂的現(xiàn)象;(2)沒有講清楚這個問題中選擇點E的合理性,這類問題選中點解決是否都可行;(3)沒有講清楚問題的本質(zhì)特征、類似問題的區(qū)別,沒有著眼于通性通法,導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)方法的負遷移.這些現(xiàn)象正是導(dǎo)致學(xué)生“做過的題會做,沒做過的題不會做”的根本原因.

    二、思問題解決之源

    原題呈現(xiàn) 如圖1,射線OM⊥ON,△ABC中,AB=AC=10,CD⊥AB于D,且CD=8,若△ABC的頂點A與B各自在射線OM、ON上滑動(△ABC的形狀、大小不變),則點C到O的距離最大值為( ).

    圖1

    圖2

    圖3

    圖4

    分析:取AB的中點E,因為∠AOB=90°,AB=10,所以O(shè)E=5,因為AC=10,CD⊥AB于D,CD=8,所以AD=6,BD=4,DE=1,所以CE=,結(jié)合OE、CE、OC所構(gòu)成的三角形的三邊關(guān)系,可得OC的最大值=OE+CE=5+

    這個解法的關(guān)鍵是抓住了運動中的不變量OE、CE,當AB在運動時,OE、CE、OC這三者處于同一個三角形中,且存在一定的數(shù)量關(guān)系,通過研究它們的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系求出最大值.

    那么,為什么就要找AB的中點呢?尤其對于解題經(jīng)驗不豐富的學(xué)生來說,會不會顯得有點突兀?任何解法的產(chǎn)生都有它的緣由,而不是憑空出現(xiàn)的,有的是因為經(jīng)驗使然,有的是經(jīng)過探索偶然發(fā)現(xiàn)的.解題的途徑可能有多種,但是,解題過程中所經(jīng)歷的思考過程可能是相似的,波利亞在《怎樣解題》一書中指出,解題時要充分分析已知條件,擬定計劃,實施計劃,最后找到解題的思路.他的解題四步驟具有普適性,我們可以參照他的方法進行思路起源的分析.

    事實上,我們通過分析已知條件,從不同的角度可以得到一些有價值的結(jié)論:(1)△AOB是直角三角形,所以去聯(lián)系直角三角形相關(guān)的性質(zhì)(斜邊中線性質(zhì)),當AB在滑動時,OE的大小不變,如圖2;(2)注意到∠AOB=90°,所以想到以AB為直徑的圓,當AB在滑動時,這個圓的大小不變,如圖3;(3)由OE的大小不變,想到E的運動軌跡是一個圓,如圖4.從解題經(jīng)驗來看:(1)中點往往是解題的關(guān)鍵點,尤其當遇到直角三角形或等腰三角形時,自然地聯(lián)想到與中點相關(guān)的定理;(2)兩點間的距離最小值問題有關(guān)的數(shù)學(xué)模型有“兩點間線段最短”、“垂線段最短”、“曲柄連桿模型”等.然后,通過把從已知分析得到的結(jié)論與經(jīng)驗積累的解題策略相聯(lián)系,逐步消除與目標問題的差距,就能找到解題的途經(jīng).圖2、圖3、圖4中的方法都可以歸納為利用“曲柄連桿模型”進行解釋.“曲柄連桿模型”如圖5~7,圖5為曲柄連桿實物圖.如圖6,當N位于OM上時,OM最大;如圖7,當O位于MN上時,OM最小.這個模型的特征是“曲柄”中的兩條線段ON和MN是定長的,其中ON繞點O旋轉(zhuǎn).

    圖5

    圖6

    圖7

    所以,選擇AB的中點去解決這個問題是基于圖形本身的特征和性質(zhì),結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)模型,經(jīng)過嘗試性探究后,得到的一種可行的方法.那么,這是一種通法嗎?對于這類題來說,不是.

    三、謀解決問題之法

    筆者初步了解,這類題在中考中最早出現(xiàn)在2012年濟南市中考數(shù)學(xué)試題中,如例1,以后各地對此問題進行變式,如例2、例3.例2與例1在條件結(jié)構(gòu)上極其相似,解法上具有通性(找AB的中點),學(xué)生利用例1獲得的解題經(jīng)驗便能很快地解決;倘若例3中仍找AB的中點可能就解釋不通了,盡管當OC最大時,O、E(AB的中點)、C共線,但是其原理與例1是不一樣的.

    例1 如圖8,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當B在邊ON上運動時,A隨之在邊OM上運動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運動過程中,點D到點O的最大距離為( ).

    解:略.

    圖8

    圖9

    例2 如圖9,∠MON=90°,邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當B在邊ON上運動時,A隨之在邊OM上運動,等邊三角形的形狀保持不變,運動過程中,點C到點O的最大距離為( ).

    解:此略.

    例3 如圖10,在直角坐標系xOy中,已知正三角形ABC的邊長為2,點A從點O開始沿著x軸的正方向移動,點B在∠xOy的平分線上移動,則點C到原點的最大距離是( ).

    圖10

    圖11

    圖12

    分析:如圖10,若取AB的中點E,當AB在滑動時,OE的長度在變,OC≤OE+CE=OE+,只有當OE最大時,OC才能達到最大,但當E落在OC上時,從幾何直觀上看并不能確定此時的OE就是最大的.對比“曲柄連桿模型”的特征,我們應(yīng)先找到“曲柄”中哪一條柄在旋轉(zhuǎn),即找出這個定圓,聯(lián)系相關(guān)點O、A、B,確定△ABO的外接圓,如圖11,P是圓心,因為∠APB=2∠AOB=90°,所以O(shè)P=PB=PA=,PC=1+,所以當AB在滑動時,圓P位置改變,大小不變,OP、PC就是“曲柄”中的兩條“柄”,問題便可解決.

    解決這類題的關(guān)鍵是找到“曲柄連桿模型”中的兩條“柄”.進一步變式,如圖12,將例3中的△ABC改為普通三角形,其分析的原理是一樣的.我們注意到,當OC最大時,OC并不經(jīng)過AB的中點.

    那么,為什么例1例2中當O、E(AB的中點)、C共線時能得到OC最大值呢?這是因為∠AOB=90°,△ABO的外接圓圓心恰好是點E,這是一個特例.所以,僅僅告訴學(xué)生取中點,并沒有從問題根源來思考,容易被學(xué)生誤解成只要取中點就能解決問題,導(dǎo)致方法的負遷移.在教學(xué)中,應(yīng)該抓住問題的本質(zhì),先進行一般性方法的探究,掌握通性通法后,再去關(guān)注特例,這樣有利于學(xué)生良好思維的養(yǎng)成,解決問題能力的培養(yǎng).

    四、反思

    中點往往是一類問題解決的突破口,利用中點有關(guān)的性質(zhì)去探尋解決問題思路是值得嘗試的方法,但是,利用中點不是生硬的套用,而是從圖形特征出發(fā),充分分析已知條件后自然產(chǎn)生的知識應(yīng)用.如在上述問題中,取AB的中點僅在特殊情況下可行,但并不是解決這類問題的通法.教學(xué)中,要把隱含在特例背后的依據(jù)講清楚,才不會使學(xué)生產(chǎn)生錯覺,才能知一題會一類.

    數(shù)學(xué)解題能力的養(yǎng)成離不開經(jīng)驗的積累,經(jīng)驗中既有學(xué)習(xí)方法方面的,也有解題技巧方面的,教學(xué)中不能過分強調(diào)技巧,否則會固化學(xué)生思維,被經(jīng)驗所左右,在遇到新問題時,可能會因為“技”不對題,想不到技巧而一籌莫展.在解題教學(xué)中,使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣,這是發(fā)展學(xué)生思維的正道.所以,教會學(xué)生分析問題,重視解決問題的通法才是培養(yǎng)能力之根本.

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