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——對一類“定義特殊四邊形”求邊長的試題探析

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué) 沈岳夫

眾所周知，四邊形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，而教材中主要研究的特殊四邊形有平行四邊形、矩形、菱形、正方形.為了體現(xiàn)試題的公平性，也為了提高試題的效度和區(qū)分度，命題者巧妙地采用新定義特殊四邊形的形式呈現(xiàn)，而這類試題往往是以“給出定義→探究性質(zhì)→實(shí)際應(yīng)用”的形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生內(nèi)化約定的幾何定義，提取關(guān)鍵信息，利用定義的核心探究幾何的性質(zhì)，最后應(yīng)用性質(zhì)實(shí)現(xiàn)問題的解答.本文特遴選3道有關(guān)“定義特殊四邊形”求邊長的中考試題，供大家賞析.

一、從邊、角的視角定義特殊四邊形

例1（2017年浙江·紹興卷）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫作等腰直角四邊形.

（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°.

①若AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長；

②若AC⊥BD，求證：AD=CD.

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點(diǎn)P是對角線BD上一點(diǎn)，且BP=2PD，過點(diǎn)P作直線分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長.

圖1

圖2

思路剖析：（1）①根據(jù)題意，只要證明四邊形ABCD是正方形，即可求得BD=.

②連接AC、BD，只要證明△ABD≌△CBD，那么AD=CD成立.

（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件.

若EF與BC不垂直，

①當(dāng)AE=AB時(shí)，如圖3，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，則AE=AB=5.

②當(dāng)BF=AB時(shí)，如圖4，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，則BF=AB=5.因?yàn)镈E∥BF，可得DE∶BF=PD∶PB=1∶2，解得DE=2.5，所以AE=6.5.

綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5.

圖3

圖4

評注：此題從鄰邊及夾角的視角定義了“等腰直角四邊形”，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)概念—研究性質(zhì)—分類探析”數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)過程.此題考查學(xué)生將相似三角形的判定和性質(zhì)與其他知識(shí)綜合在一起解決問題的能力.第（1）問簡單易入手.第（2）問梯度明顯增大，需要學(xué)生真正理解、內(nèi)化“等腰直角四邊形”的定義，由于EF是經(jīng)過點(diǎn)P的動(dòng)直線，因此需要分類討論、縝密思考，這正是命題者布設(shè)的“陷阱”，也是拉分之處.因此，本題具有較好的效度和區(qū)分度.

二、從對角線的視角定義特殊四邊形

例2（2016年浙江·衢州卷）如圖5，我們把對角線互相垂直的四邊形叫作垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖6，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問：四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由.

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系.

猜想結(jié)論（要求用文字語言敘述）.

寫出證明過程（畫出圖形，寫出已知、求證）.

（3）問題解決：如圖7，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE，已知AC=4，AB=5，求GE的長.

思路剖析：（1）連接AC、BD，利用垂直平分線判定即可證明AC⊥BD.

圖5

圖6

圖7

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

如圖8，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E.求證：AD2+BC2=AB2+CD2.

證明：利用勾股定理即可證明AD2+BC2=AB2+CD2成立.

圖8

圖9

（3）如果考生不領(lǐng)會(huì)命題者的意圖，撇開垂美四邊形這條主線，忽視第（2）問的鋪墊，那么就會(huì)偏離解題方向而進(jìn)入歧途.如果考生能順勢而為，在圖9中尋找哪四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成垂美四邊形，通過觀察并猜想CE⊥BG，若能證明，就得到四邊形CGEB是垂美四邊形，再利用第（2）問的鋪墊，就能求出GE的長.在圖9中，連接CG、BE，可證△GAB≌△CAE（SAS），進(jìn)而得∠ABG+∠AME=90°，所以CE⊥BG，即四邊形CGEB是垂美四邊形.由（2）得CG2+BE2=CB2+GE2.由題意可得BC=3，CG=4，BE=5，進(jìn)而求得GE2=CG2+BE2-CB2=73，所以GE=.

評注：此題從對角線的視角定義了一個(gè)新概念“垂美四邊形”，以這個(gè)新概念為背景層層深入，梯度合理.第（1）問，謂之“起”.問題的起源，通過簡單的證明，加深對概念特征的理解.第（2）問，謂之“承”.承上啟下，通過畫圖、求證，既加深對概念的認(rèn)識(shí)，又為第（3）問的探究做了很好的鋪墊.第（3）問，謂之“轉(zhuǎn)”.峰回路轉(zhuǎn)，問題考查的能力、基本思想和呈現(xiàn)方式都發(fā)生了很大變化.解決第（3）問的難點(diǎn)在于會(huì)識(shí)別“垂美四邊形”，再結(jié)合第（2）問的鋪墊逆向思考，進(jìn)而計(jì)算解答.可見，第（3）問的設(shè)置是讓學(xué)生自主探究，不斷深入思考，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，對學(xué)生思維能力的考查又上了一個(gè)臺(tái)階.

三、從一組對角的視角定義特殊四邊形

例3（2014年浙江·嘉興卷）類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫作“等對角四邊形”.

（1）已知：如圖10，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°.求∠C、∠D的度數(shù).

（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

①小紅畫了一個(gè)“等對角四邊形”ABCD（如圖11），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立.請你證明此結(jié)論.

②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”.你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例.

（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，

∠ABC=90°，AB=5，AD=4.求對角線AC的長.

圖10

圖11

思路剖析：（1）利用“等對角四邊形”這個(gè)概念進(jìn)行直接計(jì)算.因?yàn)椤螦≠∠C，所以∠D=∠B=80°，∠C=130°.

（2）①如圖12，連接BD，容易證明CB=CD成立.

圖12

圖13

②不正確.舉一個(gè)反例即可，如圖13，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD.其實(shí)，只要借助輔助圓，構(gòu)造有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形，這些圖形在平時(shí)很常見，關(guān)鍵是考試時(shí)能否迅速檢索出積累的基本圖形.

（3）解答此題，要深刻領(lǐng)悟“等對角四邊形”的概念.

①如圖14，當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長AD、BC相交于點(diǎn)E，易得AE=10，進(jìn)而求得DE=6，CD=2，所以AC==2.

②如圖15，當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.

圖14

圖15

評注：此題是從一組對角的視角給定一個(gè)新定義“等對角四邊形”的探究型試題，通過一題多探，拾級(jí)而上，層層深入，為不同程度的學(xué)生展示自己的數(shù)學(xué)才華創(chuàng)設(shè)了探究平臺(tái).第（1）問通過計(jì)算等對角四邊形的內(nèi)角，使學(xué)生對等對角的概念加深了認(rèn)識(shí)；第（2）問與第（1）問相比，雖然表象發(fā)生了變化，但本質(zhì)不變，只要求學(xué)生對新概念有精準(zhǔn)理解；第（3）問是本題的精華，命題者巧妙地把等對角四邊形的概念隱藏在無圖的敘述中，考查學(xué)生理解新知、運(yùn)用新知的能力.此題匯集了三角形、勾股定理、四邊形等知識(shí)，滲透了轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，立意新穎.該題考查的角度多樣，三個(gè)問題在難度上逐步加大，對學(xué)生知識(shí)遷移、信息閱讀、自主探索和解決問題的能力都是一種挑戰(zhàn).這一系列探究在本質(zhì)上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，經(jīng)歷這些過程是學(xué)生獲取“四能”的根本途徑.

由以上幾例可以看出，以四邊形為背景的新定義型中考試題能較好地體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時(shí)，此類試題并不神秘，表面上是我們沒有見過的問題，但只要理解了新定義并緊扣新定義，就將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何問題.這類問題具有探究價(jià)值，對運(yùn)用新知識(shí)解決問題的能力提出了較高的要求，具有良好的效度和區(qū)分度.這要求我們在平時(shí)學(xué)習(xí)中夯實(shí)“四基”，注重能力和數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)及應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，以不變應(yīng)萬變.