基于數(shù)形結(jié)合思想的線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐

滕 旭，高敬華

(1. 云南大學(xué) 旅游文化學(xué)院，云南 麗江 674100； 2. 鄧州市穰東高級中學(xué)校，河南 鄧州 474100)

數(shù)學(xué)總體可以分為代數(shù)、幾何、解析幾何(又稱代數(shù)幾何)。解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題的學(xué)科，建立方程與曲線的關(guān)系，利用方程將圖形研究定量化，以數(shù)為工具，以形為目的，這是典型的數(shù)形結(jié)合。盡管代數(shù)和幾何研究的重點(diǎn)分別為數(shù)和形，但從未完全割裂。例如，代數(shù)中的實(shí)數(shù)與數(shù)軸、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)及其圖像、二元一次不等式表示平面區(qū)域等問題無不與圖形相關(guān)，幾何圖形中的角度、距離等須用數(shù)字表示。數(shù)形結(jié)合可以使抽象的代數(shù)問題直觀化、幾何問題定量化[1]。

線性代數(shù)的研究對象之一是線性方程組，主要是線性方程組解的判定、解的表示。解的判定工具有行列式和矩陣。通過行列式的計算和克萊姆法則可以判定方程組是否有唯一解，并可得到唯一解。利用矩陣的秩可以判定線性方程組解的3種情況，即有唯一解、有無窮多解、無解。線性方程組解的本質(zhì)是向量。通過研究向量的線性相關(guān)問題可以解決解的結(jié)構(gòu)和解的表示問題。許多學(xué)者對線性代數(shù)教學(xué)的幾何直觀化進(jìn)行了研究。王海俠、孫和軍、石霞研究了幾種變換的幾何意義，并通過MATLAB軟件給出了三元線性方程組解的幾何意義(注：未區(qū)分三元線性方程組無窮解的兩種情況)[2]。章曉研究了行列式的幾何意義，但未能給出克萊姆法則的幾何意義；借助直線、平面的關(guān)系研究了線性方程組解的判定問題，但未進(jìn)行詳細(xì)的推理論證[3]。韓瑞珠研究了線性相關(guān)及無關(guān)的幾何意義[4]。滕樹軍、韓旭里探討了線性代數(shù)教學(xué)幾何直觀化的必要性及其重要意義[5-6]。

筆者查閱了相關(guān)文獻(xiàn)，通過總結(jié)整理，給出線性代數(shù)中的抽象概念在二維、三維情況下的幾何解釋，從圖形直觀方面解釋線性代數(shù)的主要理論。

1 行列式的幾何意義及克萊姆法則的幾何解釋

克萊姆法則的幾何解釋：對于二元線性方程組

即

x1α1+x2α2=β，

圖1 二階行列式的幾何意義

圖2 二元線性方程組克萊姆法則的幾何意義

圖2中，

顯然，S1=|x1|S，即

對于三元線性方程組

即

x1α1+x2α2+x3α3=β，

Dj(j=1,2,3)是行列式D的第j列元素αj由常數(shù)列β替換得到的行列式。

圖3 三階行列式的幾何意義

圖4 三元線性方程組克萊姆法則的幾何意義

圖4中，

|C′P|=|x1|·|CC1|，

設(shè)H1，H2分別為點(diǎn)C1，P到平面OC的距離，顯然有H2=|x1|·H1。

顯然，V1=|x1|·V，即

將以上二維、三維的結(jié)論推廣。有n個方程的n元線性方程組

即

x1α1+x2α2+…+xnαn=β，

2 線性方程組解的判定理論的幾何解釋

對二元線性方程組而言，每個方程表示平面內(nèi)的一條直線，因此二元線性方程組有解的幾何意義是兩條直線相交或重合，無解的幾何意義是兩條直線平行。二元線性方程組

中國的政治文化由禮樂來擔(dān)當(dāng)，無異于將審美提升到為政治服務(wù)的高度了，這是中國傳統(tǒng)政治突出的特點(diǎn)。關(guān)于此，《樂記》有明確的表示?！稑酚洝氛撈氛f：“鐘鼓干戚，所以和安樂也?！薄皹分羷t無怨，禮至則不爭，揖讓而治天下者，禮樂之謂也?！敝袊糯鷮⒍Y樂與天地相配，《樂記·樂論篇》云：“樂由天作，禮以地制?！薄懊饔谔斓?，然后能興禮樂也?！甭?lián)系到良渚祭天禮地活動，我們發(fā)現(xiàn)，中國祭祀、禮樂活動的雛形當(dāng)在良渚已經(jīng)具備。

對三元線性方程組而言，每個方程表示空間內(nèi)的一個平面，因此三元線性方程組有解的幾何意義是3個平面有公共點(diǎn)，無解的意義是3個平面無公共點(diǎn)[3]。三元線性方程組

3個平面無公共點(diǎn)包括兩種情況，即至少存在兩個平面平行、兩兩相交且交線平行。

2) 3個平面兩兩相交且交線平行?任意兩個平面所確定的空間直線互相平行?l1∥l2?r(A)=2≠r(A,b)=3?方程組無解。

3個平面有公共點(diǎn)包括3種情況，即3個平面重合(公共平面)、兩兩相交且交于同一條直線(公共直線)、兩兩相交且交于一點(diǎn)(唯一公共點(diǎn))。

1) 3個平面重合?a11∶a21∶a31=a12∶a22∶a32=a13∶a23∶a33=b1∶b2∶b3?r(A)=r(A,b)=1

2) 3個平面兩兩相交且交于同一條直線?任意兩個平面所確定的空間直線重合?l1與l2重合?r(A)=r(A,b)=2?方程組有無窮多解且解向量組構(gòu)成直線，其秩為n-r=1。

3) 3個平面兩兩相交且交于同一點(diǎn)?任意兩個平面所確定的空間直線交于一點(diǎn)?l1與l2相交?r(A)=r(A,b)=3?方程組有唯一解。

將以上二維，三維的結(jié)論推廣，對于任意n元線性方程組

有解的充要條件是r(A)=r(A,b)。若r(A)=r(A,b)

3 線性方程組解的結(jié)構(gòu)的幾何解釋

二元線性方程組有無窮多解的幾何意義是兩條直線重合。

如圖5所示。

圖5 二元線性方程組全部解的幾何表示

三元線性方程組有無窮多解的幾何意義是3個平面交于一條直線或3個平面重合。

若3個平面交于一條直線，則r(A)=r(A,b)=2

如圖6所示。

圖6 三元線性方程組解的結(jié)構(gòu)之幾何意義1

如圖7所示。

圖7 三元線性方程組解的結(jié)構(gòu)之幾何意義2

將以上二維、三維的結(jié)論推廣。對于任意n元線性方程組

若有無窮多解，則其全部解η=η*+ξ。其中η*為原方程組的一個特解，ξ為原方程組導(dǎo)出組的全部解。

4 線性相關(guān)與線性無關(guān)的幾何解釋

對于二維向量來說，每個向量表示平面向量。

α1，α2，…，αn線性相關(guān)?存在兩個向量αs，αt共線?存在兩個向量αs，αt，有

αs=kαt

即

αs-kαt=0

成立?齊次線性方程組

x1α1+x2α2+…+xnαn=0

有非零解。特殊地，任意n(n>2)個二維向量，若其中兩個向量共線，則向量組線性相關(guān)，若任意兩個向量均不共線，根據(jù)平面向量基本定理，第3個向量必可由兩個不共線的向量線性表示，所以向量個數(shù)n大于向量維數(shù)時，向量組必線性相關(guān)[4-6]。

對于三維向量來說，每個向量表示空間向量。

α1，α2，…，αn線性相關(guān)?存在3個向量αs，αt，αp共面?存在3個向量αs，αt，αp，有

αs=k1αt+k2αp

即

αs-k1αt-k2αp=0

成立?齊次線性方程組

x1α1+x2α2+…+xnαn=0

有非零解。特殊地，任意n(n>3)個三維向量，若其中3個向量共面，則向量組線性相關(guān)，若任意3個向量均不共面，根據(jù)空間向量基本定理，第4個向量必可由3個不共面的向量線性表示，所以向量個數(shù)n大于向量維數(shù)時，向量組必線性相關(guān)。

將以上二維，三維的結(jié)論推廣，任意m維向量組線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組

x1α1+x2α2+…+xnαn=0

有非零解。當(dāng)n>m時，向量組必線性相關(guān)。

5 結(jié)束語

線性代數(shù)的概念比較抽象，教學(xué)中可以從二維、三維的角度給以幾何直觀，對于更高維的代數(shù)問題，直觀的幾何解釋不再存在。引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識，強(qiáng)化直覺思維能力，把低維下形成的認(rèn)識推廣，有助于他們理解抽象概念，取得較好的學(xué)習(xí)效果[5-6]。