智能轉(zhuǎn)化“有且只有”生成自然解法

江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) (215400) 朱建良

《數(shù)學(xué)課標(biāo)(2011)版》指出“注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑”.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)基于課標(biāo)要求和教材內(nèi)容，依據(jù)學(xué)情，因材施教，提供豐富的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)素材，幫助學(xué)生提升幾何圖形直觀(guān)和合情推理能力，筆者嘗試立足于幫助學(xué)生從函數(shù)觀(guān)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)觀(guān)點(diǎn)理解“有且只有”的數(shù)學(xué)涵義，在系列探究活動(dòng)中明白數(shù)學(xué)思維之道，優(yōu)化解題之術(shù)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在語(yǔ)言表達(dá)上嚴(yán)格要求準(zhǔn)確規(guī)范、準(zhǔn)確傳達(dá)意思，筆者嘗試以“有且只有”數(shù)學(xué)語(yǔ)言為幾何探究主線(xiàn)，以函數(shù)、方程等幾何核心知識(shí)和性質(zhì)為載體，結(jié)合拋物線(xiàn)問(wèn)題背景，由點(diǎn)到線(xiàn)，再及面，提煉共性，探求多題通解，嘗試衍生變式問(wèn)題，意在指向數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)展開(kāi)討論，請(qǐng)同行指正.

1.解讀內(nèi)涵，明確任務(wù)

我們初學(xué)幾何時(shí)，學(xué)習(xí)了幾何基本事實(shí)：“在平面上，過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)”， “在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直”等.“有且只有”是由“有一個(gè)”與“只有一個(gè)”復(fù)合而成的，其中“有一個(gè)”說(shuō)明對(duì)象是存在的，“只有一個(gè)”說(shuō)明對(duì)象是唯一的，所以“有且只有一個(gè)”說(shuō)明對(duì)象有“存在性”和“唯一性”.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言“有且只有”的相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題蘊(yùn)含了初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，如：函數(shù)、方程、距離與坐標(biāo)關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等，同時(shí)以“有且只有”為問(wèn)題情境的數(shù)學(xué)問(wèn)題突出了對(duì)學(xué)生運(yùn)算，圖形直觀(guān)判斷，演繹推理等多種能力的考查.

筆者在初中九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，嘗試以?huà)佄锞€(xiàn)問(wèn)題情境下的“有且只有”問(wèn)題為數(shù)學(xué)思維的載體，結(jié)合二次函數(shù)、方程、相似三角形、圓等核心知識(shí)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考：(1)解決此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)是什么？(2)關(guān)鍵是什么？(3)解決問(wèn)題運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)基本方法？運(yùn)用了哪些基本概念和原理？此類(lèi)問(wèn)題如何變式推廣？(4)如何在正確理解各變量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立合理的數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題？通過(guò)專(zhuān)題探究活動(dòng)，深入拋物線(xiàn)及相關(guān)問(wèn)題核心，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維品質(zhì).

2.剖析方法，揭示本質(zhì)

嘗試在課堂教學(xué)中運(yùn)用啟發(fā)性教學(xué)原則，引入“形”的觀(guān)察，給學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題帶來(lái)直觀(guān)的空間感受.引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法對(duì)“有且只有”意境的解釋?zhuān)瑥募?xì)節(jié)入手，深刻領(lǐng)悟“有且只有”所要滿(mǎn)足條件的內(nèi)涵，挖掘有效的轉(zhuǎn)化策略，自然、真實(shí)地展開(kāi)數(shù)學(xué)發(fā)散思維，喚起學(xué)生欲發(fā)現(xiàn)、想探究、思創(chuàng)造的愿望.

圖1

問(wèn)題1 如圖1，拋物線(xiàn)y=k(x+1)(x-3k)(k>0)，與x軸分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，連接BC，過(guò)A點(diǎn)作AE∥CB交拋物線(xiàn)于E點(diǎn)，若在直線(xiàn)AE上有且只有一點(diǎn)Q，連接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值？

問(wèn)題啟智：(1)如何由“有且只有一點(diǎn)Q”聯(lián)想幾何模型，轉(zhuǎn)化OQ⊥BQ？(2)如何從不同角度分析、聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)化？(3)如何捕獲圖形隱含的相似三角形，尋求圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖:對(duì)特定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言“有且只有”轉(zhuǎn)化在幾何圖形中，在“數(shù)形結(jié)合”的角度重新審視分析問(wèn)題，在建立數(shù)學(xué)模型，類(lèi)比轉(zhuǎn)化的探究過(guò)程中，提升學(xué)生的自主歸納和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的互譯轉(zhuǎn)化能力.

3．理清關(guān)系，講清道理

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，尋求問(wèn)題的解法，只能由學(xué)生自己感悟，學(xué)生在仔細(xì)觀(guān)察、思考中疏理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，由表及里，逐層深入，透過(guò)現(xiàn)象審視幾何圖形的直觀(guān)，剖析由特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，逐步弄清問(wèn)題的關(guān)鍵所在，明晰解題思路.

圖2

拓展如圖2，拋物線(xiàn)y=-x2+2x+3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，M為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，直線(xiàn)MD⊥x軸于D點(diǎn)，點(diǎn)N為線(xiàn)段MD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以N為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，NA=NG，等腰ΔNAG，G點(diǎn)落在直線(xiàn)CM上，若在直線(xiàn)CM上滿(mǎn)足條件的G，有且只有一個(gè)時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

問(wèn)題啟智：(1)如何構(gòu)建輔助圓？類(lèi)比轉(zhuǎn)化問(wèn)題？(2)“點(diǎn)G有且只有一個(gè)”，如何在“形”的描述上直觀(guān)刻畫(huà)？(3)如何合理分類(lèi)，避免漏解？

圖3

如圖3，“有且只有一個(gè)G點(diǎn)”還可理解為，以AN2為半徑作⊙N2，RtΔAGK中，有N2A=N2G=N2K，而A、N2、K三點(diǎn)一直線(xiàn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)N2(1,3)，K(3,6).

設(shè)計(jì)意圖：把所討論的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)量和位置上的鎖定，鎖定在輔助圓上，確保結(jié)果不漏解，由抽象到具體，直觀(guān)的輔助圓幫助學(xué)生充分感受特殊點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升了學(xué)生的理解能力.

4．類(lèi)比遷移，拓展延伸

由特殊動(dòng)點(diǎn)衍生特殊圖形面積問(wèn)題展開(kāi)探究，深刻理解“有且只有”的特定涵意，直觀(guān)感知由量變到形變的內(nèi)在規(guī)律，從而掌握如何確定量的關(guān)系特征，在形的“變化”中找到“不變”的特征量，以外顯尋求動(dòng)點(diǎn)發(fā)展內(nèi)涵的數(shù)學(xué)思維，再把此問(wèn)題類(lèi)比拓展，把探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)升華為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

圖4

問(wèn)題啟智：(1)如何把動(dòng)點(diǎn)P的特殊位置直觀(guān)轉(zhuǎn)化為不等式的討論區(qū)間？(2)如何理解動(dòng)點(diǎn)P“有且只有一個(gè)”與“有且只有兩個(gè)”的區(qū)別？(3)如何設(shè)未知數(shù)，用數(shù)量關(guān)系描述圖形面積的變化規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比探究拋物線(xiàn)背景下的特殊三角形的面積問(wèn)題，在對(duì)比疏理中解有所悟，理解“有且只有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P”的一般轉(zhuǎn)化思路，避免學(xué)生形成思維定勢(shì)，加深了學(xué)生對(duì)幾何圖形面積最值問(wèn)題與一元二次方程等知識(shí)的深層理解，有效訓(xùn)練了學(xué)生思維的敏捷性.

5．啟迪思維，探求規(guī)律

深入淺出，把抽象的問(wèn)題具體化，把復(fù)雜的問(wèn)題最大限度地簡(jiǎn)單化，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，通過(guò)學(xué)生歸納、猜想、推理證明，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué)分類(lèi)討論、特殊與一般、化歸的數(shù)學(xué)思想方法，挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)思維的深度和發(fā)散性，揭示問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角，學(xué)會(huì)靈活處理“有且只有”相關(guān)問(wèn)題.

圖5

問(wèn)題啟智：(1)如何借助圖形的直觀(guān)性，突破難點(diǎn)，理解“有且只有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q”？(2)如何聯(lián)系數(shù)學(xué)最值問(wèn)題構(gòu)造幾何模型，求解ΔQCA面積的最大值？(3)如何揭示此類(lèi)面積最值問(wèn)題的深層思維結(jié)構(gòu)？疏理出一般解題規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖:由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)衍生出分類(lèi)討論的特殊三角形面積問(wèn)題，演繹了用函數(shù)思想解決相關(guān)“有且只有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q” 問(wèn)題的策略，幫助學(xué)生深刻理解變化圖形的內(nèi)在特征，積累解題經(jīng)驗(yàn)，洞察問(wèn)題本質(zhì)，學(xué)會(huì)建模，善于轉(zhuǎn)化.

通過(guò)拋物線(xiàn)背景下動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的系列探究活動(dòng)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)上做文章，巧妙轉(zhuǎn)化，發(fā)展了學(xué)生的建模能力，幫助學(xué)生掌握了借助函數(shù)圖像使抽象的“有且只有”問(wèn)題形象化、直觀(guān)化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維可視化，解題過(guò)程條理化，因此“數(shù)形結(jié)合”是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)重視學(xué)生有效的思維活動(dòng)，探究活動(dòng)設(shè)計(jì)必須有一個(gè)專(zhuān)題，有一個(gè)明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，本案例設(shè)計(jì)了一個(gè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的探究活動(dòng)，為學(xué)生提供了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境和可供學(xué)生進(jìn)行有效活動(dòng)的拋物線(xiàn)背景的序列問(wèn)題，并運(yùn)用問(wèn)題意識(shí)激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望，在探究拋物線(xiàn)問(wèn)題中的特殊動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的變化規(guī)律過(guò)程中，幫助學(xué)生深刻、精準(zhǔn)理解“有且只有”的數(shù)學(xué)涵意，訓(xùn)練學(xué)生的分析、綜合、概括、判斷、推理等初步邏輯思維能力由低級(jí)向高級(jí)逐步提升，提高了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).