tan z,cot z,sec z,csc z冪級(jí)數(shù)展開式的幾種簡(jiǎn)明求法*

黃 煒

(寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 寶雞 721013)

0 引 言

冪級(jí)數(shù)的展開式在數(shù)學(xué)研究及工程計(jì)算等廣泛領(lǐng)域中有著極其重要的作用，人們對(duì)于sinz,cosz冪級(jí)數(shù)的展開式比較熟悉，應(yīng)用自如，但一般的高等數(shù)學(xué)書中都沒(méi)有tanz,cotz,secz,cscz函數(shù)在復(fù)數(shù)域上冪級(jí)數(shù)的展開式，是因?yàn)槠涓唠A導(dǎo)數(shù)不好求.即使在工具書[2-6]中查到公式，也感到陌生、困難，望而生畏，一知半解不知來(lái)龍去脈，更談不上理解；但這幾個(gè)冪級(jí)數(shù)展開式在數(shù)學(xué)研究，科學(xué)計(jì)算，工程應(yīng)用等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.本文借助于高階無(wú)窮小量在級(jí)數(shù)除法中的應(yīng)用及級(jí)數(shù)遞推公式中的待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法和工具，避開求高階導(dǎo)數(shù)，給出了tanz,cotz,secz,cscz函數(shù)在復(fù)數(shù)域上冪級(jí)數(shù)展開式的幾種簡(jiǎn)明方法，旨在促進(jìn)工程數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的融合，打通復(fù)雜計(jì)算的瓶頸，建立快速通道.

1 引 理

為了給出冪級(jí)數(shù)展開式幾種簡(jiǎn)明方法，需要下面的引理:

引理1[1]對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，|z|<∞，有

2 用級(jí)數(shù)除法求tan z,cot z,sec z,csc z的冪級(jí)數(shù)展開式

下面我們用級(jí)數(shù)除法求tanz,cotz,secz,cscz的冪級(jí)數(shù)展開式.

2.1 求tan z,cot z的冪級(jí)數(shù)展開式

其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)為伯努利數(shù).

(2)由于cotz函數(shù)在z=0鄰域有一階極點(diǎn)，故展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).

其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)為伯努利數(shù)，0<|z|<π.

(3)

2.2 求sec z，csc z的冪級(jí)數(shù)展開式

(1)求secz的冪級(jí)數(shù)展開式

其中En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)為歐拉數(shù).

(2)求cscz的冪級(jí)數(shù)展開式

其中Bn(B0=1,B1=-1,B2=1/6,…)為伯努利數(shù).

3 用待定系數(shù)法求tan z,cot z冪級(jí)數(shù)展開式

(待定系數(shù)法只能用于有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)(正冪項(xiàng))的情形).

3.1 求tan z在z=0的展開式是Taylor級(jí)數(shù)

其中最后一步用到了k+l=n. 比較方程兩邊級(jí)數(shù)的系數(shù)，即得

(1)

具體地n=0：a1=1.

……

3.2 求cot z冪級(jí)數(shù)展開式

由于cotz函數(shù)在cotz在z=0鄰域有一階極點(diǎn)，故展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).

其中最后一步用到了k+l=n. 比較方程兩邊級(jí)數(shù)的系數(shù)，即得

(1)

具體地n=0：a-1=1.

……

4 用待定系數(shù)法求sec z,csc z冪級(jí)數(shù)展開式

4.1 求sec z的冪級(jí)數(shù)展開式

secz在z=0的展開式是Taylor級(jí)數(shù).

由此可以求出前五項(xiàng)的系數(shù)：E0=1,E1=-1，E2=5,E3=-61,E4=1 385,E5=-50 521.

從上式有：

4.2 求csc z的冪級(jí)數(shù)展開式

cscz在z=0鄰域有一階極點(diǎn)的，展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).

zcscz·sinz=z，不妨記

5 用三角等式求csc z,sec z冪級(jí)數(shù)展開式

5.1 求sec z的冪級(jí)數(shù)展開式

secz在z=0的展開式是Taylor級(jí)數(shù).

=1+2tan2z

En(E1=1/6,E2=1/30,E3=1/42,…)為歐拉數(shù).

5.2 求csc z的冪級(jí)數(shù)展開式

cscz在z=0鄰域有一階極點(diǎn)的，展開式為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).

6 用Bernoulli數(shù)的母函數(shù)求csc z，sec z冪級(jí)數(shù)展開式

一般有如下的遞推公式：

由于

(3)

(4)

注意到：

(5)

馬上有Euler數(shù)與Bernoulli數(shù)間的關(guān)系：

(6)

由式(4)有

(7)

把式(7)中的z換成iz即得

立即有：

(8)

由tanz=cotz-2cot2z，可推得

ztanz=zcotz-2zcot2z

(9)

(10)

當(dāng)然，對(duì)于基本三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開還有其它種方法，在這里就不一一贅述了.