一種皮納衛(wèi)星MEMS固體微推力器陣列聯(lián)合姿態(tài)控制的高精度方法

楊博， 李嘉興

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100083)

皮納衛(wèi)星具有質(zhì)量輕、體積小、研制周期短及成本低廉等特點，能夠通過組成分布式星座完成大衛(wèi)星難以完成的工作[1]。其整個星群可以構(gòu)成“虛擬衛(wèi)星”，利用協(xié)同控制的方法完成通信、遙感、科學(xué)實驗等任務(wù)[2]。因此，皮納衛(wèi)星的發(fā)展將對未來軍民兩用有著重要而廣闊的應(yīng)用前景。皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制時主要研究的問題是角度機動時的快速性和指向穩(wěn)定時的精確性。

目前，皮納衛(wèi)星大多使用PID和改進(jìn)PID控制方法，而結(jié)合皮納衛(wèi)星本身成本低廉、體積小的特性研究高精度的控制算法依舊是學(xué)者們需要努力的方向。從不同角度研究解決小衛(wèi)星控制精度問題的方法有：Yang和Sun[3]針對小衛(wèi)星姿態(tài)控制的魯棒性和精度，采用線性矩陣不等式求解混合H2/H∞狀態(tài)反饋控制器的數(shù)值解，其控制效果兼具H2與H∞的特點；文獻(xiàn)[4]針對小衛(wèi)星的非線性耦合模型，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制響應(yīng)快、對外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)不敏感的強魯棒性[5-7]設(shè)計了滑?？刂坡?，并用飽和函數(shù)抑制抖振現(xiàn)象；Qiao和Guo[8]針對小衛(wèi)星的輸入延遲、擾動誤差以及模型等不確定問題，設(shè)計了兼有故障觀測器和擾動觀測器的復(fù)合容錯控制器；Bellar等[9]針對低軌噴氣小衛(wèi)星的機動最短時間和最少燃料消耗問題，設(shè)計了模糊脈沖寬度及頻率控制器。

衛(wèi)星姿態(tài)控制使用的執(zhí)行機構(gòu)主要有磁力矩器、反作用飛輪、噴氣、電推等，可以單獨或組合使用，而對于皮納衛(wèi)星采用多種執(zhí)行機構(gòu)聯(lián)合姿態(tài)控制問題近年來也有過一些研究和應(yīng)用。如Grassi和Pastena[10]針對SMART-1衛(wèi)星反作用飛輪故障時，提出了采用磁力矩器輔助姿態(tài)控制的方案，并結(jié)合以控制精度和能耗最優(yōu)為目標(biāo)的姿態(tài)控制算法；Queen和Silverberg[11]提出了采用飛輪和推力器聯(lián)合執(zhí)行的控制方案，其結(jié)合以燃料消耗和電源功耗最優(yōu)為目標(biāo)的聯(lián)合姿態(tài)控制算法；Hall等[12]針對姿態(tài)跟蹤的快速性和精度問題，提出了采用飛輪和噴氣推力器聯(lián)合控制方案；孫兆偉等[13-14]采用飛輪和磁力矩器聯(lián)合控制解決小衛(wèi)星大角度機動過程中的飛輪易飽和問題。盡管上述提出的控制執(zhí)行方案解決了一些小衛(wèi)星系統(tǒng)控制過程中的問題，但就應(yīng)用的執(zhí)行機構(gòu)的精度限制是難以實現(xiàn)皮納衛(wèi)星低成本下的高精度控制的。

MEMS固體微推力器(SPM)陣列是基于MEMS技術(shù)的固體推進(jìn)劑為推進(jìn)系統(tǒng)，通過MEMS技術(shù)在一塊芯片上集成若干個微推力器單元，具有集成度高、體積小、功耗低等優(yōu)點。推力器單元可單獨工作，也可以多個同時工作，能夠為皮納衛(wèi)星的高精度軌道修正和姿態(tài)調(diào)整提供所需的微小沖量和沖量矩，現(xiàn)在主流的微推力器能夠在一個“脈沖節(jié)”內(nèi)產(chǎn)生10-4～10-6N·s沖量的脈沖，微小的“脈沖節(jié)”在對皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制時可以看作連續(xù)控制。但其每個推力單元只能單次使用，同時裝配在衛(wèi)星上的MEMS芯片總數(shù)有限，故推力器消耗問題是必須考慮的。當(dāng)前各國也都在大力發(fā)展微推力芯片工藝，美國Honeywell中心和Princeton大學(xué)利用紅外景象儀中的相關(guān)技術(shù)，研究了擁有512×512個推力單元的MEMS兆單元推力器陣列[15]。隨著集成工藝技術(shù)的發(fā)展，推力單元的集成數(shù)量將會不斷增加，使得低成本的皮納衛(wèi)星實現(xiàn)高精度的控制成為可能。

MEMS固體微推力器陣列由于可以產(chǎn)生很小的沖量，故在衛(wèi)星控制時可以提供高精度的控制力及控制力矩，而對于轉(zhuǎn)動慣量很小的皮納衛(wèi)星，利用微推力器陣列即可以完成高精度姿態(tài)定向穩(wěn)定任務(wù)，以此減少對飛輪和磁力矩器的精度及成本要求，拓展皮納衛(wèi)星的應(yīng)用領(lǐng)域。

綜上分析，本文提出了將飛輪與MEMS固體微推力器陣列聯(lián)合執(zhí)行姿態(tài)控制的方案，并結(jié)合全局快速終端滑模控制律，同時采用粗、細(xì)2種控制模態(tài)，即在進(jìn)行姿態(tài)控制初期由飛輪輸出較大力矩進(jìn)行大角度控制粗調(diào)，而當(dāng)指向偏差到達(dá)一定精度后，則利用固體微推力器實現(xiàn)高精度的控制和穩(wěn)定。根據(jù)飛輪和MEMS固體微推力器的固有特性，研究建立了飛輪與固體微推力器2種執(zhí)行器切換的“能量最優(yōu)切換模型”，有效提高了微推力器的使用率，大大減少了其總消耗量。

1 皮納衛(wèi)星姿態(tài)運動模型

1.1 姿態(tài)誤差動力學(xué)模型

對于本體轉(zhuǎn)動慣量很小的皮納衛(wèi)星，不可忽略飛輪產(chǎn)生的角動量，故有皮納衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程建立如下[16]：

(1)

假設(shè)航天器要相對于某動參考系保持穩(wěn)定，此參考系相對于慣性系的期望角速度矢量在參考系下的分量列陣表示為(ωd)o∈R3，因此本體系相對于參考系的誤差角速度在本體系下的分量列陣表示為

(ωe)b=(ω)b-Lbo(ωd)o

(2)

式中：Lbo為從參考系到本體系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

將式(2)代入式(1)中，得到皮納衛(wèi)星的姿態(tài)誤差動力學(xué)方程[17]為

J-1((u)b+(d)b)

(3)

1.2 姿態(tài)誤差運動學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，基于誤差四元數(shù)的皮納衛(wèi)星姿態(tài)誤差運動學(xué)方程為

(4)

2 全局快速終端滑模控制律

終端滑?？刂坡梢呀?jīng)廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制，具有良好的魯棒性，能夠抵抗外界干擾，并能使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂?？紤]皮納衛(wèi)星執(zhí)行定向任務(wù)時，姿態(tài)角通常需要快速機動，以及空間中會受到攝動力矩的影響，因此設(shè)計了全局快速終端滑?？刂坡伞?/p>

2.1 控制律設(shè)計

結(jié)合線性與非線性滑模面各自的特點，設(shè)計了如下全局快速終端滑模面：

(5)

式中：α,β>0且p，q(q

對于二階非線性系統(tǒng)：

(6)

遞歸結(jié)構(gòu)的快速滑動模態(tài)可表示為

(7)

式中：α0,β0>0且p0，q0(q0

設(shè)計全局快速終端滑?？刂坡蔀?/p>

(8)

式中：φ、γ為控制律參數(shù)。

對式(4)求導(dǎo)得

(9)

將式(3)代入式(9)，不考慮干擾力矩時得

(10)

取s0=qe，將式(10)代入式(6)得

(11)

(12)

將式(11)、式(12)代入式(8)，得到皮納衛(wèi)星的全局快速終端滑模控制律為

(13)

(14)

定理1對于系統(tǒng)式(3)，選用全局快速終端滑模面式(14)和控制律式(13)，可以使得系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。

證明選取Lyapunov函數(shù)：

(15)

對式(15)求導(dǎo)得

(16)

由式(14)得

(17)

將式(10)代入式(17)得

(18)

將式(13)代入式(18)得

(19)

將式(19)代入式(16)得

(20)

證畢

2.2 有限時間收斂

由于終端滑模具有有限時間穩(wěn)定的特點，因此可以滿足皮納衛(wèi)星快速機動的任務(wù)。由式(19)得

(21)

(22)

解此一階非線性微分方程得

(23)

化簡得

(24)

當(dāng)s1=[0,0,0]T時，y=[0,0,0]T,t=ts，則

(25)

即

(26)

(27)

通過設(shè)計φ、γ、p、q，可使系統(tǒng)在有限時間ts內(nèi)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

3 雙模式分配策略

本節(jié)把第2節(jié)中控制律提供的總控制力矩根據(jù)能量最優(yōu)切換模型分配給飛輪與固體微推力器，再將固體微推力器的力矩分配給每個芯片執(zhí)行點火。

3.1 能量最優(yōu)切換模型

低成本的皮納衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量很小，采用飛輪做執(zhí)行機構(gòu)時，在力矩接近0附近時近似服從如圖1所示的力矩輸入輸出關(guān)系。圖中：uc為控制律給出的指令控制力矩；uw為飛輪輸出的實際控制力矩；M為飛輪精度允許情況下的最小輸出力矩。

圖1 飛輪力矩輸出示意圖Fig.1 Schematic of torque output of flywheel

圖1給出了飛輪最小力矩輸出限制，使得皮納衛(wèi)星的姿態(tài)控制精度受M所限制。當(dāng)皮納衛(wèi)星需求更高精度控制時，可由微推力器輔助作用。固體微推力器陣列與飛輪雙模式的切換是基于固體微推力器的總消耗量最少，即全局能量最優(yōu)原則進(jìn)行設(shè)計，同時按照固體微推力器輸出的總沖量矩最少建立全局最優(yōu)分界點。

全局能量最優(yōu)切換模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(28)

式中：u為控制律給出的指令控制力矩在3個軸上的分量；Twheel為分配后的飛輪指令控制力矩；Tmems為分配后的微推力器指令控制力矩。

定理2對于使用飛輪與MEMS固體微推力器陣列聯(lián)合姿態(tài)控制的皮納衛(wèi)星，利用式(28)進(jìn)行控制力矩分配時，固體微推力器燃料的總消耗量最少，達(dá)到全局能量最優(yōu)。

證明令h(t)為指令控制力矩絕對值隨時間的函數(shù)， 0≤h(t)≤M，只需證明h(t)≤M時固體微推力器指令控制力矩的總沖量矩最小。初始力矩h(t0)=M，控制狀態(tài)收斂后h(t2n)=0，h(ti)=K，i=1,2,…,n-1，h(t)在ti處連續(xù)可導(dǎo)。根據(jù)式(28)，當(dāng)h(t)

(29)

W=M(t1-t0)+H(t0)-H(t1)+

H(t2n)-H(t2n-1)=M(t1-t0)+H(t0)-

2H(t2i)-H(t2i+1))+H(t2n)-H(t2n-1)

求導(dǎo)得

故式(28)為能量最優(yōu)切換模型，即按式(28)分配飛輪和固體微推力器2種執(zhí)行機構(gòu)時，在達(dá)到同樣控制效果下，固體微推力器產(chǎn)生的總沖量矩最小，也即全局燃料消耗量最少。

證畢

3.2 固體微推力器執(zhí)行分配方案

以筆者團(tuán)隊前期研制的規(guī)格為10×10個推力單元的MEMS固體微推力器芯片(見圖2)為例，將其裝配在皮納衛(wèi)星4個側(cè)表面的4個角點處，利用每次點火產(chǎn)生的推力對質(zhì)心造成的力矩來進(jìn)行皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制。由于芯片面積小，可將每個芯片看作一個點，其點火一次可提供的推力即可唯一確定，如圖3所示，每個箭頭代表每個固體微推力器芯片所造成的推力。

固體微推力器在執(zhí)行時存在冗余，需要將固體微推力器指令控制力矩經(jīng)過執(zhí)行分配算法轉(zhuǎn)化為每個芯片的點火個數(shù)。同時，為避免對質(zhì)心造成力的作用而改變軌道，要求兩側(cè)對稱提供推力，以保證固體微推力器只對質(zhì)心產(chǎn)生力矩。建立每個芯片點火個數(shù)與提供的總力矩之間的關(guān)系方程：

(30)

圖2 10×10固體微推力器陣列Fig.2 10×10 solid propellant microthruster array

圖3 固體微推力器推力示意圖Fig.3 Schematic of thrust of solid propellant microthruster

式中：Tw·mems∈R3為固體微推力器實際作用的力矩；C為所有固體微推力器的單位推力矢量對皮納衛(wèi)星的力矩矩陣，di∈R3為第i個固體微推力器芯片在本體系中的位置矢量，ei∈R3為第i個固體微推力器點火一次的推力在本體系中的推力矢量；A∈Z8中每個元素對應(yīng)各芯片使用推力單元的個數(shù)。

根據(jù)圖3中固體微推力器芯片的安裝位置及序號順序，可計算C，T0∈R為每個推力單元點火一次時對本體軸造成的力矩。

(31)

固體微推力器執(zhí)行分配時的目標(biāo)是求解分配矩陣A，此問題經(jīng)驗證不能使用飛輪力矩分配時所用的偽逆法，而是求解整數(shù)規(guī)劃問題，并且要求A中元素盡可能小，這樣才能準(zhǔn)確控制每個固體微推力器的點火個數(shù)，并且保證總消耗量最小。

為使實際控制力矩盡可能接近其指令控制力矩，本文利用蒙特卡羅方法搜索實際力矩與指令力矩最接近的分配矩陣，同時考慮固體微推力器消耗量最小的條件。具體操作流程如下：

步驟1已知固體微推力器指令控制力矩Tmems，k=1。

步驟2在(0,1,…,[K/T0])中隨機產(chǎn)生一個8×1的整數(shù)分配矩陣Ak，[·]為取整符號。

步驟3將Ak代入式(30)，得到Ak對應(yīng)的實際控制力矩(Tw·mems)k，并計算

(32)

步驟4循環(huán)步驟2、步驟3，留下J1中取值最小時的Ak1,Ak2,…,Akm。

步驟5計算

(33)

步驟6取J2最小時的Aki作為最終的分配矩陣A。

式(32)的目標(biāo)是尋找力矩最接近期望的分配矩陣，再利用式(33)尋找這些矩陣中點火個數(shù)最少的作為最終結(jié)果，以達(dá)到能量最優(yōu)的目的。

4 仿真算例

皮納衛(wèi)星采用第3節(jié)雙模式分配策略實現(xiàn)高精度姿態(tài)控制的過程是：由控制律給出指令控制力矩，再根據(jù)式(28)所示的切換策略將指令控制力矩分解為飛輪和固體微推力器的指令控制力矩，固體微推力器指令力矩再分配到各個芯片執(zhí)行輸出。飛輪輸出力矩限制如圖1所示，初始條件和控制參數(shù)如表1所示，仿真時間為40 s。

表1 參數(shù)取值Table 1 Parameter value

注：Jwheel為飛輪的轉(zhuǎn)動慣量；[φ0θ0ψ0]為初始姿態(tài)角。

400 km高度軌道處，氣動干擾力矩可建模為

磁干擾力矩可建模為

式中：軌道角速率Ω0=0.001 131 rad/s。

4.1 僅用飛輪控制

當(dāng)僅用服從圖1所示的輸入輸出關(guān)系的飛輪做執(zhí)行機構(gòu)時，仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，由于飛輪的最小輸出力矩限制，使得皮納衛(wèi)星在穩(wěn)定階段中，控制力矩的超調(diào)造成姿態(tài)角和姿態(tài)角速率存在較大波動，經(jīng)統(tǒng)計得到姿態(tài)角精度為0.146 4°，姿態(tài)角速率精度為0.113 3(°)/s，只用飛輪作為執(zhí)行機構(gòu)難以滿足皮納衛(wèi)星高精度指向任務(wù)要求。

4.2 固體微推力器陣列與飛輪聯(lián)合控制

利用固體微推力器的微小沖量矩彌補飛輪的最小輸出力矩限制，以提高皮納衛(wèi)星的姿態(tài)控制精度，根據(jù)第3節(jié)所述的固體微推力器陣列與飛輪實現(xiàn)聯(lián)合控制的雙模式分配策略，結(jié)合式(28)能量最優(yōu)切換模型，以及式(30)固體微推力器分配方案，仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，在全局快速終端滑?？刂坡勺饔孟拢`差姿態(tài)角和誤差姿態(tài)角速率都快速收斂到0，并且始終保持穩(wěn)定。將表1的參數(shù)代入式(29)，可求得ts=10.897 3 s，與圖5中所顯示的收斂時間基本符合，說明控制器的控制有效，能使系統(tǒng)在大約10 s的有限時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，滿足皮納衛(wèi)星快速姿態(tài)機動的任務(wù)要求。

由圖5與圖4對比明顯看出，加入固體微推力器后的控制精度有所提高，曲線波動大大降低，仿真計算得到姿態(tài)角精度為0.045 7°，姿態(tài)角速率精度為0.006 2(°)/s，與僅用飛輪控制時相比精度提高了一個數(shù)量級，證明采用固體微推力器可以實現(xiàn)皮納衛(wèi)星高精度姿態(tài)控制的目的。

圖4 飛輪力矩限制時的誤差姿態(tài)角和誤差姿態(tài)角速率示意圖Fig.4 Error attitude angle and error attitude angular rate when flywheel’s torque is limited

4.3 固體微推力器陣列與飛輪的切換策略分析

從圖6可以看出，控制任務(wù)進(jìn)行的后期階段中，飛輪與固體微推力器交替使用，并且遵循了能量最優(yōu)切換模型式(28)，即先由飛輪作用，再由兩者共同作用，最后由固體微推力器陣列單獨作用的3個階段，達(dá)到了高控制精度。并經(jīng)統(tǒng)計，此過程中固體微推力器共消耗了158個。

圖5 加入固體微推力器后的誤差姿態(tài)角和誤差姿態(tài)角速率示意圖Fig.5 Error attitude angle and error attitude angular rate after adding solid propellant microthruster

圖6 加入固體微推力器后的實際控制力矩示意圖Fig.6 Actual control torque after adding solid propellant microthruster

如果不按照式(28)進(jìn)行分配，而是當(dāng)控制力矩低于飛輪最小輸出力矩后飛輪停用，直接開啟固體微推力器提供全部控制力矩，此過程相當(dāng)于使K=M，則此時的控制力矩示意圖如圖7所示。

從圖7中看出，在開始使用固體微推力器的前半段區(qū)間內(nèi)，沒有飛輪的力矩輸出配合，需要固體微推力器輸出較大的力矩，而后半階段與圖6差別不大，統(tǒng)計固體微推器消耗量增大到了308個。此時姿態(tài)角精度為0.041 3°，姿態(tài)角速率精度為0.004 7(°)/s。比較看出，本文提出的雙模式分配策略可以在保證高控制精度的同時，節(jié)約固體微推力器消耗量48.7%。

如果取不同組控制器參數(shù)(見表2)，同時改變K/M比值，分別進(jìn)行仿真并統(tǒng)計固體微推力器的消耗量，結(jié)果如表3所示，并繪制不同參數(shù)取值下固體微推力器消耗量與K/M取值的關(guān)系，如圖8所示。

圖7 K=M時的實際控制力矩示意圖Fig.7 Actual control torque when K=M

參 數(shù)第 1 組第 2 組第 3 組第 4 組第 5 組α00.80.8111β00.040.040.020.020.02p079999q057777φ0.80.80.80.81γ0.040.040.040.040.02p77799q55577

表3 各組參數(shù)下取不同K/M值時的固體微推力器消耗量Table 3 Consumption of solid propellant microthruster with different groups of parameter and different K/M

圖8 不同控制參數(shù)與K/M時固體微推力器消耗量示意圖Fig.8 Consumption of thruster with different control parameters and K/M

從圖8中可以看出，在取不同控制參數(shù)組合時，對應(yīng)的推力單元消耗量都不盡相同，但對于每一組參數(shù)中，當(dāng)且僅當(dāng)K/M=0.5時推力單元消耗量最少。因此，通過仿真也進(jìn)一步證明了第3節(jié)的分配策略中能量最優(yōu)切換點是在K/M取0.5時，即此時固體微推力器消耗量最低。

5 結(jié) 論

通過對本文提出的飛輪與固體微推力器陣列聯(lián)合執(zhí)行機構(gòu)實現(xiàn)皮納衛(wèi)星高精度姿態(tài)控制方法的深入研究，得到了以下幾點結(jié)論：

1) 用飛輪與固體微推力器陣列聯(lián)合執(zhí)行機構(gòu)提高皮納衛(wèi)星姿態(tài)控制精度是可行的。

2) 采用全局快速終端滑?？刂坡赡軌蚝芎玫亟鉀Q小轉(zhuǎn)動慣量皮納衛(wèi)星易受擾的快速收斂問題，并通過了Lyapunov穩(wěn)定性證明。

3) 飛輪與固體微推力器陣列的雙模式分配策略是基于能量最優(yōu)切換模型進(jìn)行的，其飛輪與固體微推器共同作用的過渡段對減少固體微推力器的力矩輸出、節(jié)約固體微推力器的消耗有重要作用。

4) 通過計算機仿真驗證了本文方法使皮納衛(wèi)星的控制精度提高，并且K/M=0.5時能量消耗最省，可節(jié)約固體微推力器消耗48.7%。