一題多解巧用正余弦定理

尚祎程

【摘 要】正、余弦定理是在三角形解決邊角關(guān)系問題中的重要定理。本文從一道習(xí)題出發(fā)，討論了應(yīng)用正、余弦定理的不同解法，有效地?cái)U(kuò)寬了解題思路，為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗(yàn)和借鑒。

【關(guān)鍵詞】正弦定理；余弦定理；一題多解

中圖分類號： G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）09-0176-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.09.084

Multiple solutions to a problem using the sine cosine theorem

SHANG Yi-cheng

（The First Middle School of Tai'an City， Shandong Province， Taian 271000， Shandong， China）

【Abstract】Sine and cosine theorems are important theorems for solving the problems of relationship between edges and corners in a triangle. This paper， starting from an exercise， discusses the different solutions using positive and cosine theorems， which effectively widens the idea of solving the problem and provides experience and reference for high school mathematics learning.

【Key words】Sine theorem； Cosine theorem； Multi-answer question

正、余弦定理在解三角形問題時可以將已知條件統(tǒng)一為邊或角的關(guān)系，通過推導(dǎo)得到相應(yīng)結(jié)果。在應(yīng)用正、余弦定理解題時，根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造不同邊角關(guān)系形式，能有效地找到解決問題的切入點(diǎn)，從而獲得不同的解法。

下面給出一個解題實(shí)例。

例：已知ΔABC中，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c，且a2=b（b+c），求證A=2B。

解法一：通過已知條件邊的等式，運(yùn)用正弦定理，構(gòu)造兩角的三角函數(shù)關(guān)系，尋找數(shù)量對應(yīng)關(guān)系。

因?yàn)?，由正弦定理，得到，根?jù)要證明的結(jié)論，觀察等式，若 ，結(jié)論得以證明。

由余弦定理，cosB=，由已知a2=b（b+c），可得

cosB===

符合要求，因?yàn)槿切蝺?nèi)角在（0，π），存在A=2B或A=π-2B，根據(jù)A+B+C=π及已知條件，均可得A=2B，結(jié)論得證。

解法二：已知條件中，只含有邊的關(guān)系，無角度關(guān)系，通過正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系，設(shè)法消掉無關(guān)項(xiàng)，證明結(jié)論。

對已知條件a2=b（b+c）進(jìn)行變形，變?yōu)閍2-b2=bc，應(yīng)用正弦定理，

可得sin2A-sin2B=sinBsinC，因?yàn)镃=π-（A+B），sinC=sin（A+B）

上式變?yōu)閟in2A-sin2B=sinBsin（A+B），對平方差進(jìn)行分解

（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinBsin（A+B），再進(jìn)行和差化積，

2sincos×2sincos=sinBsin（A+B）由倍角公式可得，

sin（A-B）sin（A+B）=sinBsin（A+B）

等式化簡，得sin（A-B）=sinB，因?yàn)槿切蝺?nèi)角在（0，π），存在A-B=B和A=π-（A-B），分類討論，可得A=2B，結(jié)論得證。

解法三：由結(jié)論通過公式變形，得到邊的關(guān)系，結(jié)合已知，應(yīng)用正、余弦定理，證明結(jié)論。

由結(jié)論A=2B可得sinA=2sinBcosB，根據(jù)正弦定理，得a=2bcosB，故選擇上式作為證明切入點(diǎn)。

由已知a2=b（b+c），結(jié)合余弦定理，可得cosB=，

則2bcosB=2b=，再根據(jù)已知得2bcosB=a

應(yīng)用正弦定理得，2sinBcosB=sinA，因?yàn)槿切蝺?nèi)角在（0，π），討論如解法一，故A=2B，結(jié)論得證。

解法一和解法三雖然形式上相似，但解題切入點(diǎn)不同：解法一利用了邊化角的方式，解法三采用是角化邊的方法。本例題靈活應(yīng)用了正、余弦定理，通過對已知條件和結(jié)論的恒等變形，形成不同的解題方法。

通過上述例題，可以發(fā)現(xiàn)，對于三角形中涉及的邊、角問題，根據(jù)所求結(jié)論和已知條件，選擇適合的形式進(jìn)行邊、角轉(zhuǎn)換，尋找對應(yīng)關(guān)系，能有效地解決問題。