考慮預(yù)測(cè)響應(yīng)值波動(dòng)的多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

汪建均, 屠雅楠

(南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

近年來(lái),隨著產(chǎn)品設(shè)計(jì)的復(fù)雜化以及顧客需求層次的多樣化,在產(chǎn)品或工藝過(guò)程的優(yōu)化設(shè)計(jì)中往往需要同時(shí)考慮多個(gè)質(zhì)量特性,因此多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)在持續(xù)性質(zhì)量改進(jìn)活動(dòng)中顯示出越來(lái)越重要的地位和作用[1]。多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)旨在尋求一組最佳的參數(shù)設(shè)計(jì)值,使多個(gè)質(zhì)量特性能夠同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的設(shè)計(jì)值。然而,在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的建模過(guò)程中,往往無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)模型的回歸系數(shù)。如果忽略模型參數(shù)的這種不確定性,試驗(yàn)結(jié)果將會(huì)產(chǎn)生誤差,甚至得出不科學(xué)的結(jié)果[2]。此外,在產(chǎn)品的生產(chǎn)過(guò)程中,存在多種噪聲因子的干擾,這些噪聲因子會(huì)對(duì)質(zhì)量特性的輸出結(jié)果造成很大影響,使得預(yù)測(cè)響應(yīng)值存在較大的波動(dòng),導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果難以有效地復(fù)現(xiàn)[3]。

目前解決多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的主要方法有以下幾種:滿意度函數(shù)法、馬氏距離法、多元質(zhì)量損失函數(shù)方法、貝葉斯后驗(yàn)概率法等[4]。滿意度函數(shù)法最早是由文獻(xiàn)[5]在1965年提出的,經(jīng)過(guò)眾多質(zhì)量學(xué)者的不斷改進(jìn)和完善,形成了一系列改進(jìn)的滿意度函數(shù)。其中,最常用的一種是由文獻(xiàn)[6]所提出的綜合滿意度函數(shù)。該滿意度函數(shù)法操作簡(jiǎn)單、易于理解,是使用最廣泛的多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。然而,傳統(tǒng)的滿意度函數(shù)往往忽略了響應(yīng)之間的相關(guān)性以及噪聲因子對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響[7],對(duì)響應(yīng)的預(yù)測(cè)效果以及優(yōu)化結(jié)果的可靠性考慮較少[8-9]。在這種情況下,通過(guò)上述滿意度函數(shù)法所得到的優(yōu)化結(jié)果往往是不可靠的,甚至?xí)a(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。文獻(xiàn)[10]提出了一種指數(shù)滿意度函數(shù),利用擬合優(yōu)度提高了優(yōu)化結(jié)果的可靠性,同時(shí)通過(guò)調(diào)節(jié)滿意度函數(shù)的形狀考慮了模型的預(yù)測(cè)能力。但是,該方法沒(méi)有考慮響應(yīng)之間的相關(guān)性。文獻(xiàn)[11]提出一種改進(jìn)的雙指數(shù)滿意度函數(shù),該方法引入了質(zhì)量損失函數(shù)來(lái)考慮響應(yīng)間的相關(guān)性。但是,該方法也存在一些不足,未考察響應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差,同時(shí)響應(yīng)的質(zhì)量損失難以有效確定。文獻(xiàn)[12]提出一種改進(jìn)的滿意度函數(shù)法,其主要優(yōu)勢(shì)在于將雙響應(yīng)曲面方法引入到滿意度函數(shù)中,能夠有效解決均值響應(yīng)與方差響應(yīng)之間的相關(guān)性問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]提出了改進(jìn)的滿意度函數(shù)模型,該方法同時(shí)將可控因子和噪聲因子引入到滿意度函數(shù),考慮了噪聲因子對(duì)多響應(yīng)優(yōu)化結(jié)果的影響。馬氏距離方法作為多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種常用方法,也引起廣大質(zhì)量學(xué)者的廣泛關(guān)注和重視。例如,文獻(xiàn)[13]提出的馬氏距離只考慮了響應(yīng)的方差-協(xié)方差結(jié)構(gòu),未考察各個(gè)響應(yīng)的相對(duì)重要性。為此,文獻(xiàn)[14]提出了加權(quán)馬氏距離,使優(yōu)化結(jié)果具有一定的可靠性。該方法既考慮了響應(yīng)的方差-協(xié)方差結(jié)構(gòu),還考慮了各個(gè)響應(yīng)在經(jīng)濟(jì)上的相對(duì)重要性。但是,該方法中的相對(duì)重要性受主觀因素的影響。如果權(quán)重設(shè)置不合理,該方法的優(yōu)化效果會(huì)受到較大的影響。此外,馬氏距離方法主要是通過(guò)響應(yīng)之間的方差-協(xié)方差結(jié)構(gòu)來(lái)考慮多響應(yīng)之間的相關(guān)性,但是通常忽視了響應(yīng)的預(yù)測(cè)能力和優(yōu)化結(jié)果的可靠性。多元質(zhì)量損失函數(shù)也是目前最為常用的多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法之一,也引起眾多質(zhì)量研究者的廣泛興趣。例如,文獻(xiàn)[15]提出的多元損失函數(shù),考慮了過(guò)程的經(jīng)濟(jì)性和響應(yīng)間的相關(guān)性。然而,該方法存在較大的局限性,僅僅適合解決望目質(zhì)量特性的問(wèn)題。為此,文獻(xiàn)[16]擴(kuò)展了文獻(xiàn)[15]的研究工作,將該方法的適用范圍擴(kuò)大到望大質(zhì)量特性和望小質(zhì)量特性問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]提出的多元質(zhì)量損失函數(shù),考慮了響應(yīng)的預(yù)測(cè)能力,但是忽略了響應(yīng)之間的相關(guān)性。因此,文獻(xiàn)[18]結(jié)合文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[17]提出的兩種方法,構(gòu)建了新的多元質(zhì)量損失函數(shù),該方法能夠同時(shí)考慮響應(yīng)之間的相關(guān)性以及響應(yīng)的預(yù)測(cè)能力。但是,該方法仍然存在缺陷,最主要的問(wèn)題是無(wú)法評(píng)估優(yōu)化結(jié)果的可靠性。文獻(xiàn)[19]提出一種新的質(zhì)量損失函數(shù),該方法能夠合理測(cè)算響應(yīng)偏離目標(biāo)值的程度。文獻(xiàn)[20]提出一種加權(quán)的質(zhì)量損失函數(shù),該方法同時(shí)考慮了二次損失的期望和方差。文獻(xiàn)[21]提出一種動(dòng)態(tài)多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型,該模型將多元偏正態(tài)分布和響應(yīng)曲面法結(jié)合起來(lái),建立了基于多元偏正態(tài)分布的期望損失函數(shù),最后利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。隨著生產(chǎn)工藝復(fù)雜程度的日益提高,整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程存在各種不確定性因素,盡管上述模型的理論基礎(chǔ)很完善,但是在各自的建模過(guò)程中沒(méi)有考慮模型參數(shù)不確定性和噪聲因子的共同影響,這些因素將使得預(yù)測(cè)響應(yīng)值產(chǎn)生較大的波動(dòng),因此上述模型難以精確地描述整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程。

針對(duì)上述問(wèn)題,一些學(xué)者提出了各自的研究方法。文獻(xiàn)[22]提出,如果在建模過(guò)程中忽視模型參數(shù)的不確定性,該模型可能無(wú)法得到合理的優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[23]提出了一種貝葉斯后驗(yàn)概率方法,該方法既考慮了過(guò)程分布的變化、試驗(yàn)數(shù)據(jù)間的相關(guān)性,同時(shí)還考慮了模型參數(shù)的不確定性,然后通過(guò)蒙特卡羅模擬方法計(jì)算多個(gè)響應(yīng)的后驗(yàn)抽樣值落在規(guī)格限內(nèi)的概率。文獻(xiàn)[24]考察了模型參數(shù)存在不確定性的多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題,結(jié)合貝葉斯方法開(kāi)展研究工作。文獻(xiàn)[25]將帕累托最優(yōu)策略引入多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì),該方法考慮了模型參數(shù)的不確定性問(wèn)題,其主要特點(diǎn)在于能夠有效地利用圖形展示這種不確定性對(duì)多響應(yīng)優(yōu)化結(jié)果和用戶決策的影響。文獻(xiàn)[9]提出利用置信區(qū)間優(yōu)化多響應(yīng)問(wèn)題,當(dāng)模型參數(shù)存在不確定性時(shí),該方法能夠給出更為合理的優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[2]提出一種基于置信區(qū)間的多元質(zhì)量特性滿意參數(shù)設(shè)計(jì)方法,該方法考慮了模型參數(shù)不確定性的影響,利用雙響應(yīng)曲面模型和置信區(qū)間求解滿足約束的相容性解集。文獻(xiàn)[26]提出一種新的損失函數(shù)方法,該方法不僅考慮了模型參數(shù)的不確定性,還引入了試驗(yàn)過(guò)程中存在的實(shí)施誤差,并通過(guò)實(shí)例證明該方法能夠提高優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)健性和可靠性。另外,實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中存在各種噪聲因子,這些噪聲因子使得實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程難以通過(guò)單一的響應(yīng)模型進(jìn)行精確的刻畫(huà)。正如著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box所說(shuō)的那樣“所有的模型都是錯(cuò)誤,但是有些模型是有用的”。因此,一些研究人員開(kāi)始關(guān)注如何通過(guò)組合建模方法以減少模型不確定性對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。例如,文獻(xiàn)[27]提出一種基于模型不確定性的響應(yīng)曲面建模方法,該方法將包容性檢驗(yàn)引入組合建模方法中,以解決模型不確定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[28]構(gòu)建了一種新的損失函數(shù),該方法結(jié)合位置和散度參數(shù)進(jìn)行建模,并考慮了模型不確定性對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[29]利用貝葉斯先驗(yàn)信息,評(píng)估預(yù)測(cè)響應(yīng)的后驗(yàn)分布,該方法考慮了建模過(guò)程中可能存在的各種噪聲因子對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[30]通過(guò)置信區(qū)間衡量預(yù)測(cè)響應(yīng)波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,該方法從置信區(qū)間端點(diǎn)選取最優(yōu)值作為響應(yīng)預(yù)測(cè)值,并利用圖形顯示預(yù)測(cè)響應(yīng)波動(dòng)的情況下優(yōu)化結(jié)果的變化。文獻(xiàn)[31]提出一種基于貝葉斯方法的遞階優(yōu)化算法,該方法利用滿意度函數(shù)求解初始解,再根據(jù)貝葉斯方法分析解的穩(wěn)健性,綜合考慮了過(guò)程波動(dòng)(可控因子波動(dòng)或存在噪聲因子)和各種誤差的影響。文獻(xiàn)[32]結(jié)合質(zhì)量損失函數(shù)和貝葉斯后驗(yàn)概率方法提出了一種新的多響應(yīng)優(yōu)化方法。該方法在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中同時(shí)考慮多響應(yīng)之間的相關(guān)性、模型參數(shù)的不確定性以及優(yōu)化結(jié)果的可靠性。然而,上述方法未能進(jìn)一步考慮噪聲因素以及模型參數(shù)的不確定性所導(dǎo)致的響應(yīng)預(yù)測(cè)值波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,即不同研究方法所獲得的優(yōu)化結(jié)果在試驗(yàn)可重復(fù)性上的差異。在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,如果忽略模型參數(shù)的不確定性,將難以精確地獲得生產(chǎn)過(guò)程輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系,從而無(wú)法確定最佳參數(shù)值;如果忽略噪聲因子的影響,將會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果具有偶然性,甚至出現(xiàn)較大的偏差。然而,如何同時(shí)考慮模型參數(shù)的不確定性以及生產(chǎn)過(guò)程的噪聲因子導(dǎo)致的預(yù)測(cè)響應(yīng)值波動(dòng)問(wèn)題,目前可行的研究方法還不多。

因此,針對(duì)上述的問(wèn)題,本文基于統(tǒng)一的貝葉斯多元回歸模型框架,首先,通過(guò)蒙特卡羅模擬抽樣得到各個(gè)響應(yīng)的后驗(yàn)抽樣值;然后根據(jù)帕累托最優(yōu)原則計(jì)算帕累托最優(yōu)前沿,并獲得相應(yīng)的多目標(biāo)優(yōu)化解集;最后,運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析方法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化解集進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析,選擇關(guān)聯(lián)度最大的作為理想的參數(shù)設(shè)計(jì)值。

1 基于貝葉斯多元回歸模型的帕累托最優(yōu)前沿

1.1 貝葉斯多元回歸模型

在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,假設(shè)有p個(gè)響應(yīng)和q個(gè)因子效應(yīng),則多響應(yīng)曲面回歸模型為

y=Bz(x)+e

(1)

式中,y為p×1的響應(yīng)矩陣;B為p×q的回歸系數(shù)矩陣;z(x)為q×1的因子效應(yīng)矩陣;e為p×1的隨機(jī)誤差矩陣,并且服從均值向量為0、方差-協(xié)方差矩陣為Σ的正態(tài)分布。

(2)

式中

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 利用貝葉斯后驗(yàn)樣本的帕累托最優(yōu)前沿

在數(shù)學(xué)上,一個(gè)多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題[35]可表示為

S={x|h(x)=0;g(x)≤0}

(8)

式中,h(x)為等式約束;g(x)為不等式約束;S為定義域集合。

目前,針對(duì)多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題,普遍接受的一種解釋是帕累托最優(yōu)概念,即多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題不是為了求解某個(gè)唯一的最優(yōu)解,而是針對(duì)響應(yīng)之間的沖突關(guān)系給出一組折中解。而每一個(gè)折中解在目標(biāo)空間中都對(duì)應(yīng)著一個(gè)帕累托最優(yōu)前沿點(diǎn),這些前沿點(diǎn)的集合構(gòu)成了帕累托最優(yōu)前沿解集[30]。另外,在這個(gè)解集中,所有的點(diǎn)都具有帕累托最優(yōu)性。

一個(gè)點(diǎn)x*具有帕累托最優(yōu)性,即不存在這樣的點(diǎn)x∈S,對(duì)于所有的r∈{1,2,…,n},都有fr(x)≤fr(x*),且至少有一個(gè)為嚴(yán)格不等式[36]。

假設(shè)試驗(yàn)考察的變量為x1和x2,響應(yīng)為y1、y2和y3,其均為望大質(zhì)量特性的響應(yīng)。如果在實(shí)際研究過(guò)程中,存在望小或者望目質(zhì)量特性的響應(yīng),可對(duì)數(shù)據(jù)做簡(jiǎn)單的處理(比如加負(fù)號(hào)),將其轉(zhuǎn)化為望大質(zhì)量特性的響應(yīng)。根據(jù)式(7)獲得響應(yīng)的貝葉斯后驗(yàn)樣本抽樣值后,第k(k=1,2,…,n)個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x(k)能夠達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率可以通過(guò)式(9)和式(10)近似地求得。

∈PF(i))

(9)

(10)

2 灰色關(guān)聯(lián)分析

我國(guó)學(xué)者鄧聚龍?jiān)?982年創(chuàng)建了灰色系統(tǒng)理論[37]?；疑P(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分,現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中。在灰色關(guān)聯(lián)分析理論中,判斷序列之間聯(lián)系是否緊密的依據(jù)為序列曲線幾何形狀的相似程度。如果曲線幾何形狀的相似程度高,那么序列之間的聯(lián)系就大,反之就小。早期主要以鄧聚龍教授提出的灰色關(guān)聯(lián)分析模型為代表,之后許多學(xué)者在其基礎(chǔ)上提出多種灰色關(guān)聯(lián)分析模型。

2010年,文獻(xiàn)[37]在廣義灰色關(guān)聯(lián)模型的基礎(chǔ)上提出灰色接近關(guān)聯(lián)度模型,灰色接近關(guān)聯(lián)度用于測(cè)量序列Xi和Xj在空間中的接近關(guān)聯(lián)程度。Xi和Xj之間越接近,那么其之間的接近關(guān)聯(lián)度ρij就越大,反之就越小。以灰色接近關(guān)聯(lián)度理論為基礎(chǔ),將多響應(yīng)優(yōu)化得到的m組帕累托解{Yi}作為比較序列{yi(1),yi(2),…,yi(n)},i=1,2,…,m,將由n個(gè)單目標(biāo)各自的最優(yōu)解組成的{Y0}作為參考序列{y0(1),y0(2),…,y0(n)}。令

(11)

根據(jù)式(11)可計(jì)算序列Yi和Y0的灰色接近關(guān)聯(lián)度為

(12)

式中,如果Yi和Y0長(zhǎng)度相同,那么有式(13)成立。

(13)

在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,灰色關(guān)聯(lián)分析法能夠?qū)⒍囗憫?yīng)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以灰色關(guān)聯(lián)度為目標(biāo)的單響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題,并通過(guò)計(jì)算m組比較序列與參考序列之間的關(guān)聯(lián)度來(lái)獲得最佳因子組合和最佳響應(yīng)目標(biāo)值。

3 結(jié)合帕累托最優(yōu)原則與灰色關(guān)聯(lián)分析的多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程中,難點(diǎn)之一是如何解決多個(gè)響應(yīng)之間可能存在的沖突問(wèn)題。目前解決這類(lèi)問(wèn)題的方法主要有兩種[38]:一種方法是選取其中一個(gè)響應(yīng)作為目標(biāo)函數(shù),然后將剩余的響應(yīng)作為約束條件,以此將多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解有約束的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題;另一種方法是選擇一個(gè)綜合的目標(biāo)函數(shù),然后求解該函數(shù)的最優(yōu)解,由此多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為單響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題。然而,上述兩種方法各自都存在一定的缺陷。選取其中一個(gè)響應(yīng)作為目標(biāo)函數(shù)或者選擇一個(gè)綜合的目標(biāo)函數(shù),這兩種方法在很大程度上都受到主觀因素的影響,而且不同的目標(biāo)函數(shù)往往會(huì)得到不同的優(yōu)化結(jié)果。因此,利用上述兩種方法進(jìn)行多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì),得到的優(yōu)化結(jié)果通常是不完整的。利用帕累托最優(yōu)原則的優(yōu)勢(shì),構(gòu)建多響應(yīng)優(yōu)化算法可以彌補(bǔ)上述方法的不足,從而能夠客觀地得出所有符合優(yōu)化目標(biāo)的參數(shù)值。故本文在貝葉斯多元回歸模型統(tǒng)一框架下,針對(duì)在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,模型參數(shù)的不確定性以及生產(chǎn)過(guò)程的噪聲因子導(dǎo)致的預(yù)測(cè)響應(yīng)值波動(dòng)問(wèn)題,首先采用帕累托最優(yōu)原則獲取一系列優(yōu)化的參數(shù)設(shè)計(jì)組合,然后利用灰色關(guān)聯(lián)分析方法,進(jìn)一步確定最佳的參數(shù)組合。所提方法的基本流程如圖1所示,具體步驟如下。

圖1 所提方法的多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.1 Flow chart of the proposed method for multi-response optimization design

步驟1采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn),根據(jù)試驗(yàn)條件,確定各個(gè)變量的試驗(yàn)區(qū)域。

步驟2構(gòu)建貝葉斯回歸模型統(tǒng)一框架,進(jìn)行模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。如果該模型通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn),則轉(zhuǎn)入步驟3,反之,需調(diào)整模型結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟4.1確定當(dāng)前的抽樣次數(shù)為m,如果m≤N,其中N為抽樣總次數(shù),則確定第m次模擬抽樣后n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的各個(gè)響應(yīng)后驗(yàn)抽樣值為

步驟4.2按照帕累托最優(yōu)原則確定初始的帕累托最優(yōu)前沿為

式中,1≤b≤i≤c≤j,此處令b=i=c=j=1。

步驟4.7得到第m次抽樣后的帕累托最優(yōu)前沿PF(m)。令m=m+1,轉(zhuǎn)入步驟4.1。

圖2 計(jì)算帕累托最優(yōu)前沿的算法流程圖Fig.2 Flow chart of the algorithm for calculating the Pareto optimality frontier

步驟5利用步驟4的結(jié)果結(jié)合式(9)和式(10),計(jì)算每一組參數(shù)值在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中能夠達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率。

步驟6根據(jù)步驟5的結(jié)果,選擇概率較大的m組參數(shù)值,利用其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)后驗(yàn)抽樣值進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度分析,并按照灰色接近關(guān)聯(lián)度進(jìn)行排序,以關(guān)聯(lián)度最大的為最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。在圖2的基礎(chǔ)上,結(jié)合前面5步的結(jié)果,灰色關(guān)聯(lián)分析的算法流程如圖3所示。

圖3 灰色關(guān)聯(lián)分析的算法流程圖Fig.3 Flow chart of grey relational analysis

步驟6.6得到ρ(s),其中s=1,2,…,m。

步驟6.7選擇ρ(s)最大的為最優(yōu)設(shè)計(jì)方案,優(yōu)化過(guò)程結(jié)束。

4 實(shí)例分析

4.1 實(shí)例背景

本試驗(yàn)旨在通過(guò)加拿大卡爾加里大學(xué)機(jī)械與制造工程系飛秒激光微納加工中心實(shí)現(xiàn)某衛(wèi)星芯片的微孔制造過(guò)程。該試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)以及數(shù)據(jù)收集工作系本文第一作者在加拿大卡爾加里大學(xué)從事博士后研究工作期間,與加拿大卡爾加里大學(xué)飛秒激光微納加工中心的研究人員共同完成。該飛秒激光微納加工中心主要由飛秒激光束發(fā)生器(femtosecond laser beam generator),微加工工作站(micro-machining workstation),工控制計(jì)算機(jī)(machining control computer)，測(cè)量?jī)x器(measuring instrument)和花崗巖平臺(tái)(granite platform)組成,具體實(shí)物如圖4所示。在該試驗(yàn)中,選擇直徑y(tǒng)1和圓度y2作為關(guān)鍵的質(zhì)量特性以反映某芯片微孔的幾何特性和加工精度,其中直徑為望目質(zhì)量特性,而圓度為望大質(zhì)量特性。此外,圓度與微孔的面積和主軸有關(guān),其具體的公式定義為

(14)

式中,通過(guò)圖像軟件Imagej分析微孔圖片,可以獲得式(14)中的微孔主軸和面積。影響上述兩個(gè)響應(yīng)的可控因素為平均功率x1(mw)、脈沖頻率x2(Hz)和切削速度x3(mm/s),3個(gè)變量的水平和編碼設(shè)置如表1所示。

圖4 飛秒激光微納加工中心Fig.4 Femtosecond laser micro/nano-machining center

參數(shù)水平-1.682-1011.682x115.9150100150184.09x2398500650800902x30.030.060.110.160.19

本次試驗(yàn)的目的是希望確定3個(gè)變量的最佳設(shè)置,從而使直徑y(tǒng)1的目標(biāo)值維持在21的水平上，并盡可能最大化圓度y2。本文采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)開(kāi)展相關(guān)試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)由實(shí)驗(yàn)人員通過(guò)實(shí)際的激光微鉆實(shí)驗(yàn)收集，結(jié)果如表2所示。

表2 中心復(fù)合設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果

4.2 確定貝葉斯多元回歸模型統(tǒng)一框架

在上述試驗(yàn)中,3個(gè)變量的可接受范圍均為-1.68～1.68,取值間隔為0.38,整個(gè)試驗(yàn)區(qū)域包含729個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中,假設(shè)回歸模型式(1)中的因子效應(yīng)向量為

利用最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì),計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

表4 模型y1和y2兩次擬合優(yōu)度對(duì)比

4.3 根據(jù)帕累托最優(yōu)原則確定帕累托最優(yōu)前沿

假設(shè)兩個(gè)響應(yīng)的目標(biāo)值分別為21和1,試驗(yàn)的模擬抽樣次數(shù)N為2 000次,根據(jù)式(3)～式(7)在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行蒙特卡羅隨機(jī)抽樣,得到各自響應(yīng)的后驗(yàn)抽樣值。由于在實(shí)際操作過(guò)程中,圓度y2不存在大于1的值。因此如果該響應(yīng)存在大量超過(guò)1的后驗(yàn)抽樣值,需要將對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)點(diǎn)刪除,最終試驗(yàn)區(qū)域中的待測(cè)試驗(yàn)點(diǎn)為603個(gè)。然后利用剩余試驗(yàn)點(diǎn)的后驗(yàn)抽樣結(jié)果在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)根據(jù)圖2進(jìn)行多響應(yīng)優(yōu)化。在R優(yōu)化代碼中,以矩陣的形式呈現(xiàn)隨機(jī)變量W和U的模擬抽樣結(jié)果。最后根據(jù)每次優(yōu)化得到的帕累托最優(yōu)前沿,根據(jù)式(9)和式(10)計(jì)算每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)能夠達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率,其研究結(jié)果如圖5所示。

圖5 按照帕累托最優(yōu)原則確定帕累托最優(yōu)前沿Fig.5 Determining the Pareto optimal front based on the Pareto optimal principle

圖5中的圓點(diǎn)為整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中所有分布在帕累托前沿上的試驗(yàn)點(diǎn)，即這些點(diǎn)在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中至少有一次出現(xiàn)在帕累托前沿上。每個(gè)圓點(diǎn)的大小和顏色與該點(diǎn)在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中能達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率有關(guān)，點(diǎn)越大，顏色越深，在該點(diǎn)處能達(dá)到帕累托最優(yōu)的可能性越大。另外，圖中的圓點(diǎn)大小不同，顏色深淺不一，這表明預(yù)測(cè)響應(yīng)值的波動(dòng)問(wèn)題對(duì)優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生了較大影響，這種波動(dòng)問(wèn)題主要來(lái)源于模型參數(shù)的不確定性以及生產(chǎn)過(guò)程的噪聲因子。由圖中點(diǎn)的分布位置可知，最有可能達(dá)到帕累托最優(yōu)的試驗(yàn)點(diǎn)主要分布在圖形的下方區(qū)域。

本例提取了整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中前8個(gè)最有可能達(dá)到帕累托最優(yōu)的試驗(yàn)點(diǎn)，這8個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)后驗(yàn)抽樣值變化見(jiàn)圖6。

圖6 8個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)響應(yīng)的箱形圖Fig.6 Boxplots of two responses on the eight test points

比較分析圖6中各個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)針對(duì)不同響應(yīng)的優(yōu)化效果可知,在上述多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)例中,如果僅考慮響應(yīng)y1上的優(yōu)化效果,則第294號(hào)、329號(hào)、372號(hào)和603號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)給出的結(jié)果明顯優(yōu)于其他試驗(yàn)點(diǎn)。如果僅考慮響應(yīng)y2上的優(yōu)化效果,則以上8個(gè)點(diǎn)與目標(biāo)值都存在一定的差距,第293號(hào)、327號(hào)、328號(hào)和372號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的優(yōu)化效果略高于其他試驗(yàn)點(diǎn)。因此,根據(jù)圖6可知,除了第373號(hào)試驗(yàn)點(diǎn),這些可重復(fù)性較高的試驗(yàn)點(diǎn)至少在一個(gè)響應(yīng)上能夠得到較好的優(yōu)化效果,這與帕累托最優(yōu)的定義一致。此外,表5給出了8個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)各自能達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率。

分析表5的優(yōu)化結(jié)果可知,在本文的多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例中,第372號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)能達(dá)到帕累托最優(yōu)的可能性相對(duì)較高,而第373號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的可重復(fù)性概率最低。圖6中第372號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)在兩個(gè)響應(yīng)上都能得到較好的優(yōu)化效果,而第373號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)關(guān)于兩個(gè)響應(yīng)的優(yōu)化效果相對(duì)較差,可見(jiàn)表5和圖6給出的結(jié)果一致,進(jìn)一步說(shuō)明了該優(yōu)化結(jié)果是可靠的。

表5 圖6中的試驗(yàn)點(diǎn)能夠達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率

4.4 基于灰色關(guān)聯(lián)分析的多響應(yīng)優(yōu)化

在上述試驗(yàn)的優(yōu)化過(guò)程中,運(yùn)用本文所提方法獲得了8組優(yōu)化結(jié)果。此處運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析方法,對(duì)表5中的8組結(jié)果進(jìn)行排序。為此,將本例中各個(gè)響應(yīng)的目標(biāo)值{21.000,1.000}作為參考序列,根據(jù)圖3計(jì)算每組解對(duì)應(yīng)的響應(yīng)后驗(yàn)抽樣值與參考序列之間的灰色接近關(guān)聯(lián)度,計(jì)算其平均值作為該組解與參考序列的灰色接近關(guān)聯(lián)度,按照此關(guān)聯(lián)度對(duì)8組解進(jìn)行排序,以關(guān)聯(lián)度最大的作為最優(yōu)設(shè)計(jì)方案?；疑P(guān)聯(lián)分析法的研究結(jié)果如表6所示。

表6 灰色關(guān)聯(lián)分析結(jié)果

結(jié)合表6的分析結(jié)果可知,第372號(hào)、329號(hào)和第294號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)度非常接近,這3個(gè)也是可重復(fù)性概率相對(duì)較高的試驗(yàn)點(diǎn)。其中,第372號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度略大于其余兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn),應(yīng)為本次試驗(yàn)的最優(yōu)結(jié)果,其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)響應(yīng)值分別為20.886 9和0.968 1。此外第603號(hào)和第373號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度較接近,而第327號(hào)、第328號(hào)和第293號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度差距不大。雖然前者在響應(yīng)y2上的優(yōu)化效果略低于后者,但是在響應(yīng)y1上的優(yōu)化效果明顯優(yōu)于后者。所以在表5中排名靠后的第603號(hào)和第373號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度略大于第327號(hào)、第328號(hào)和第293號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)?？梢?jiàn),針對(duì)預(yù)測(cè)響應(yīng)值存在波動(dòng)的多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題,運(yùn)用本文所提的方法,能夠從可重復(fù)性和關(guān)聯(lián)度兩個(gè)方面獲得較為滿意的結(jié)果。

5 結(jié) 論

在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,往往需要考慮預(yù)測(cè)響應(yīng)值波動(dòng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。本文在貝葉斯回歸模型的統(tǒng)一框架下,結(jié)合帕累托最優(yōu)策略和灰色關(guān)聯(lián)分析方法,提出了一種多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的新方法。該方法在多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中同時(shí)考慮了模型參數(shù)不確定性和生產(chǎn)過(guò)程中噪聲因子的影響,并結(jié)合貝葉斯后驗(yàn)概率方法計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)能夠達(dá)到帕累托最優(yōu)的概率,然后利用灰色關(guān)聯(lián)分析方法進(jìn)一步確定理想的參數(shù)值。另外,通過(guò)實(shí)例證明該方法對(duì)解決預(yù)測(cè)響應(yīng)值存在波動(dòng)的多響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題是有效的。

需要特別指出的是,本文中試驗(yàn)區(qū)域的選擇具有主觀性,該案例僅有3個(gè)變量,2個(gè)響應(yīng),試驗(yàn)區(qū)域較小,利用蒙特卡羅模擬抽樣方法和帕累托最優(yōu)策略能夠快速地得到帕累托最優(yōu)前沿。如何在變量和響應(yīng)個(gè)數(shù)增加時(shí)選擇合適的試驗(yàn)區(qū)域,有待進(jìn)一步地深入研究。此外,本文的研究基于貝葉斯多元回歸模型的統(tǒng)一框架,在模擬優(yōu)化過(guò)程中,假設(shè)各個(gè)響應(yīng)的模型結(jié)構(gòu)完全一致,如何利用SUR模型進(jìn)行多響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì),以考慮各個(gè)響應(yīng)模型的結(jié)構(gòu)對(duì)多響應(yīng)優(yōu)化結(jié)果的影響,這是今后需要研究的課題之一。另外,盡管SUR模型能夠更精確地?cái)M合響應(yīng)模型,但是在SUR模型的貝葉斯建模過(guò)程中其模擬響應(yīng)的抽樣速度非常緩慢,這也是未來(lái)研究過(guò)程中有待解決的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題之一。