以教材的一個常見函數(shù)為背景命制原創(chuàng)試題

安徽 張 威 蔣玉芳

我們知道原創(chuàng)試題是教師的一項(xiàng)重要的、經(jīng)常性的工作．原創(chuàng)一份高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試題，不僅能讓教師準(zhǔn)確地了解教學(xué)效果，還有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．每位教師原創(chuàng)試題的手段又是多種多樣的,對于筆者來說，原創(chuàng)的試題主要有兩個來源：一是通過教材的重要知識點(diǎn)新編試題；二是通過經(jīng)典的高考或模擬題進(jìn)行改編．本文主要介紹“通過教材的重要知識點(diǎn)新編試題”.以下是筆者通過教材上的一個重要函數(shù)進(jìn)行原創(chuàng)試題的一些感悟.

又當(dāng)x>1時，f(x)>0；當(dāng)0

又當(dāng)x>1時，f(x)<0；

當(dāng)00.

故大致的圖象如下：

我們的目標(biāo)是要證明:

由歸納假設(shè),我們得到了①,下面我們用分析法來證明②式.

只需證ln(k+1)2

因?yàn)閘nx≤x-1,

令x=(k+1)2,即ln(k+1)2≤(k+1)2-1,

也就是ln(k+1)2

學(xué)生反思過程中，對上題的思路過程進(jìn)行進(jìn)一步的整理和提煉，可以應(yīng)用上面題的一些思路，一些方法.對比兩題的結(jié)果，大家可以知道其實(shí)是同一個題型以不同的形式呈現(xiàn)給了學(xué)生，倘若學(xué)生停留在解決這個題，那只能是愚公移山，費(fèi)時費(fèi)力，這樣學(xué)生會后勁不足，學(xué)習(xí)動力欠缺，只有不斷反思思路過程,解題方法，才能舉一反三，思維敏捷，事半功倍.

數(shù)學(xué)經(jīng)典函數(shù)lnx≤x-1及其應(yīng)用同樣出現(xiàn)在2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷Ⅲ)理科數(shù)學(xué)中.

(作者單位：廣東省中山市第二中學(xué))

【點(diǎn)評】實(shí)數(shù)a的大小及正負(fù)決定該函數(shù)的單調(diào)性和最值，在原創(chuàng)和該函數(shù)有關(guān)的試題時，可以根據(jù)需要對a進(jìn)行賦值，使得數(shù)據(jù)或者其它方面更完美.

接下來筆者以該函數(shù)為背景,以函數(shù)零點(diǎn)問題和含參不等式問題為命題點(diǎn)進(jìn)行命題.

1.考查分離參數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想

【原創(chuàng)1】若函數(shù)g(x)=2lnx-mx(m∈R)存在兩個不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍是________.

2.考查分離函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想

【原創(chuàng)3】已知函數(shù)f(x)圖象與函數(shù)g(x)=-2ln(-x)+mx2+2的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，若函數(shù)y=f(x)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

【命題思路】此題是以【原創(chuàng)2】為背景，把函數(shù)對稱性與函數(shù)零點(diǎn)交匯考查，那么可能讀者會問，函數(shù)g(x)=-2ln(-x)+mx2+2是怎么想到的呢？其實(shí)很簡單，是在題目“若函數(shù)f(x)=2lnx-mx2有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.”基礎(chǔ)上填充交匯的知識點(diǎn)，即求函數(shù)f(x)=2lnx-mx2關(guān)于(0,1)的對稱函數(shù)即可.通過此題的命制思路，可進(jìn)一步命制考查軸對稱、奇偶性等試題.

【命題思路】了解此題的本質(zhì)為“設(shè)函數(shù)y=-mx2(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為g(x)，若方程g(x)=2lnx有兩個不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.”再根據(jù)【原創(chuàng)2】、【原創(chuàng)3】即可進(jìn)一步了解此題的來龍去脈.

3.考查二次函數(shù)型函數(shù)零點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合思想

【原創(chuàng)5】已知函數(shù)g(x)=8e(lnx)2-(2e+8)x|lnx|，f(x)=-2x2，則方程g(x)-f(x)=0的實(shí)數(shù)根個數(shù)是________.

【本題答案】4.

【原創(chuàng)6】已知函數(shù)g(x)=4e(lnx)2-(2em+4)x|lnx|+2mx2，若函數(shù)g(x)有5個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

1.考查分離函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想

【原創(chuàng)8】已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=-4ln(-x)-kx+2的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，若存在有且只有兩個整數(shù)x滿足不等式f(x)>kx2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

( )

【本題答案】D.

2.考查一元二次不等式、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想

【命題思路】利用一元二次不等式解法和函數(shù)圖象及性質(zhì)命制.

【本題答案】m>-2e.

【原創(chuàng)10】已知函數(shù)g(x)=4e(lnx)2-(2em+4)x|lnx|+2mx2，若關(guān)于x的不等式g(x)<0恰只含有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

綜上所述，命制新題時需要注意以下幾個方面：

(1)選擇命題點(diǎn)，只有命題點(diǎn)確定，才有命題的方向；

(2)構(gòu)造實(shí)質(zhì)性的基礎(chǔ)題目并研究其可行性，通過對基礎(chǔ)題目的研究，才能更清晰、更準(zhǔn)確、更完美的命制出需要難度的新題；

(3)填充需要的交匯的知識點(diǎn)，對于交匯知識點(diǎn)的填充，要根據(jù)題目難度、高考以及基礎(chǔ)題目的本身進(jìn)行填充；

(4)對題目進(jìn)行重組和變化基礎(chǔ)題目的形式，因?yàn)榛A(chǔ)題目一般很容易就能看出題目的本質(zhì)，所以需要對基礎(chǔ)題目和交匯知識點(diǎn)進(jìn)行重組和變化，使得題目的本質(zhì)被掩蓋，這樣更能考查學(xué)生的分析和解決題目的能力;

(5)進(jìn)一步對題目進(jìn)行打磨，主要從科學(xué)性、邏輯性、獨(dú)立性以及語言表達(dá)等方面做最后的審定和修改．