巧用“一題多解”滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

吉林 劉彥永

在傳統(tǒng)的接受式教學(xué)中，學(xué)生的思維往往習(xí)慣于求同性、定向性.“一題多解”恰恰是克服學(xué)生思維定勢(shì)的一種有效途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和靈活思維的有效方法.通過(guò)長(zhǎng)期“一題多解”的訓(xùn)練，學(xué)生可以從多角度、多途徑尋求解決問(wèn)題的方法，開(kāi)拓解題思路，并從多種解法的對(duì)比中選出最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提高，使思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性增強(qiáng)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開(kāi)具體的情境，只有在解決實(shí)際問(wèn)題中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)才能體現(xiàn)出來(lái)，沒(méi)有具體的情境，就無(wú)法判斷一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低.下面以一道高考試題的“一題多解”為載體，淺談在解題教學(xué)過(guò)程中如何滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其必要性和重要性.

一、試題呈現(xiàn)

試題是以單位圓為載體、向量為背景的最值問(wèn)題.平面向量是融數(shù)形于一體，是代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的交匯點(diǎn)，因而解決此類(lèi)問(wèn)題主要是根據(jù)向量的數(shù)和形的雙重特征，并以此為切入點(diǎn)尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，探究解題的思路和方法.

二、試題解法研究

利用化歸思想將向量形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，建立關(guān)于x+y的函數(shù)關(guān)系式，從函數(shù)的角度來(lái)解決問(wèn)題.

視角1：基本不等式

由(x+y)2≥4xy，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，所以x+y的最大值為2.

視角2：對(duì)稱(chēng)雙換元

令x=a+b,y=a-b，

代入x2+y2-xy=1得a2+3b2=1，

故a≤1，x+y=2a≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=0，即x=y=1時(shí)，x+y的最大值為2.

視角3:三角換元

當(dāng)α=60°時(shí)取等號(hào)(經(jīng)檢驗(yàn)符合題意)，故x+y的最大值為2.

視角4:判別式法

令x+y=n(n≥0)，則y=n-x，代入x2+y2-xy=1，

整理得3x2-3nx+(n2-1)=0，

Δ=9n2-12(n2-1)≥0，解得0≤n≤2，

故x+y的最大值為2(經(jīng)檢驗(yàn)符合題意).

【點(diǎn)評(píng)】將條件等式兩邊平方，化向量問(wèn)題為關(guān)于x2+y2-xy=1的代數(shù)問(wèn)題，再?gòu)亩鄠€(gè)角度進(jìn)行適當(dāng)處理，解決問(wèn)題，其中不等式取等號(hào)的條件必須加以檢驗(yàn).教師在試題講解過(guò)程中要滲透學(xué)生從多角度深刻剖析問(wèn)題.只有讓學(xué)生的思維在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，學(xué)生的思維在不斷的展開(kāi)中得到充分的訓(xùn)練和培養(yǎng).

視角1：三角換元

視角2：柯西不等式

也就是(x+y)2≤4，又x≥0,y≥0,即0≤x+y≤2．

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將向量坐標(biāo)化，再利用三角換元和柯西不等式求得最值.事實(shí)上，建系設(shè)C(cosα,sinα)可以直接得到視角1.解法2也可以從線性規(guī)劃和判別式等視角解決問(wèn)題，此處不再贅述.因此，教師要培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)律解題，思維線路短，過(guò)程簡(jiǎn)潔，大大提高解題的速度，“觸類(lèi)旁通”的“巧思”也就一定會(huì)自然產(chǎn)生.

解法4：如圖所示，連接AB交OC于點(diǎn)D.

因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以λ+μ=1.

所以x=nλ,y=nμ，x+y=nλ+nμ=n(λ+μ)=n.

要使x+y最大，必有線段OD最短，

則n=2，故x+y的最大值為2.

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)建立斜坐標(biāo)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，解法新、方法活，充分地體現(xiàn)了平面向量的代數(shù)和幾何的雙重特征.我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中可以滲透給學(xué)生敢于打破常規(guī)、勇于嘗試和探索的精神，讓學(xué)生在親身實(shí)踐中尋求變通，悟出其中的來(lái)龍去脈，掌握科學(xué)的解題規(guī)律和法則.

三、一點(diǎn)感悟

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”而想要學(xué)會(huì)解題，好的數(shù)學(xué)題目是關(guān)鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因?yàn)槠洫?dú)特的解題技巧，而是其中所蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想和方法.本文中的試題就是素材平樸，但求解過(guò)程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中見(jiàn)奇的好題.在日常教學(xué)中，教師精心選擇這樣極具代表性的一題多解題目作為練習(xí)，通過(guò)一題多解、多題一解的訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).正如波利亞說(shuō)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n教師能拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)展問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”