基于非光滑方程組的智能電網(wǎng)實(shí)時定價

王宏杰,高 巖

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093)

1 引 言

隨著科技的高速發(fā)展和生活水平的不斷提高,人們對電力的需求有了更高的要求.電力用戶希望電網(wǎng)是可靠的,安全的,經(jīng)濟(jì)的,高效的.用戶希望可以實(shí)時了解供電能力,電能質(zhì)量,電價狀況和停電信急,根據(jù)相關(guān)信急合理安排電器使用,避峰填谷;電力企業(yè)希望可以及時獲取用戶的詳細(xì)用電信急,合理安排生產(chǎn),并為用戶提供更多的增值服務(wù).現(xiàn)有的電網(wǎng)雖然已經(jīng)開始實(shí)施分段電價,但是現(xiàn)有的電價定價機(jī)制是基于較長時間段上的價格變化,例如按白天和夜晚,冬季與夏季劃分時間段,每個時段制定不同的電價.這種實(shí)時定價研究已有較長的歷史并取得了一系列的研究成果,但是顯然這種定價機(jī)制不能完全滿足用戶和電力企業(yè)對電網(wǎng)的多樣化需求.所以近年來具有現(xiàn)代先進(jìn)的傳感測量技術(shù),通訊技術(shù),信急技術(shù),計算機(jī)技術(shù)和控制技術(shù)的智能電網(wǎng)引起了各國的高度關(guān)注和研究.美國,歐洲等發(fā)達(dá)國家目前都在發(fā)展智能電力系統(tǒng),并且在智能電網(wǎng)領(lǐng)域取得了顯著的發(fā)展.相對于美國和歐洲,我國在智能電網(wǎng)的研究剛剛起步,研究還集中在智能電網(wǎng)定價機(jī)制和理念的研究上.所以智能電網(wǎng)短時段實(shí)時定價問題的研究對促進(jìn)智能電網(wǎng)的發(fā)展至關(guān)重要[1?4].

目前在智能電網(wǎng)實(shí)時定價問題上主要從兩方面進(jìn)行研究:一方面是從電力生產(chǎn)公司,電力銷售商等角度考慮的商業(yè)定價機(jī)制.例如,文獻(xiàn)[5,6]從供應(yīng)商和需求側(cè)管理方面利用博弈的方法建立和研究實(shí)時定價問題,通過動態(tài)和靜態(tài)的博弈使價格趨于更合理.這類優(yōu)化模型求解通常采用求均衡解的方法;另一方面是從公共產(chǎn)品角度考慮,追求社會效益的定價機(jī)制,根據(jù)社會效益最大化為目標(biāo)建立優(yōu)化模型,在總電量不超過發(fā)電能力前提下最大化用戶收益和最小化電力供應(yīng)商成本.文獻(xiàn)[7–11]采用了社會效益模型,分別通過對偶法,乘子法和分布式算法來解決優(yōu)化模型.利用乘子法,對偶法和分布式算法解決乘子問題,往往需要求解一系列無約束最小化問題,計算量大,數(shù)值不穩(wěn)定,而且在算法中更多的注重資源的優(yōu)化配置,電價被作為了資源配置的附屬問題.本文從社會效益定價機(jī)制方面出發(fā),利用互補(bǔ)理論將社會效益模型轉(zhuǎn)化為帶有影子價格的非光滑方程組,通過求解非光滑方程組來確定短時段的實(shí)時電價.該方法可以避免數(shù)值不穩(wěn)定,計算復(fù)雜等問題,并且電價作為重要變量被求出.

2 智能電網(wǎng)的社會效益模型

在電力市場中,不同用戶消費(fèi)的電能也不同,即使消耗等價等量的電能也可能會擁有不同的滿意程度.在本文中,采用效用函數(shù)來反映消費(fèi)者的電量消費(fèi)能力和這種偏好,即效用函數(shù)表達(dá)了用戶對電能消費(fèi)水平的滿意度.關(guān)于效用函數(shù),假定消費(fèi)者滿意度隨著使用電量的增加而增加直至達(dá)到飽和消費(fèi)的最大滿意度,并且滿意度不會出現(xiàn)負(fù)滿意的情況(即效用函數(shù)小于零的情況).根據(jù)社會效益模型[9,10],定義電力用戶的效用函數(shù)和社會效益函數(shù).其中效用函數(shù)為

是一個二次函數(shù),x代表電力用戶的電力消費(fèi)水平,它隨用戶與時間的不同而不同;α和ω是根據(jù)用戶在每個用電時段對用電量的不同要求和滿意情況選取的兩個非負(fù)參數(shù).α是預(yù)先給定的,并且滿足0＜α≤1的常數(shù);ω是隨著用戶和用電時段而改變的非負(fù)數(shù),如圖1.

圖1 用戶效用函數(shù)(α=0.5)Fig.1 The utility function for powers subscribers(α=0.5)

假設(shè)共有N個電力用戶和1個電力供應(yīng)商,每個用電周期分為K個時段.社會效益函數(shù)為

在電力系統(tǒng)中成本函數(shù)一般采用分段線性函數(shù)或二次函數(shù)表示[5?10],根據(jù)電力系統(tǒng)成本的常用計算方式,采用二次函數(shù)來表示成本,即

根據(jù)社會效益最大化,建立優(yōu)化模型如下

因?yàn)閷?shí)際生活中,在沒有突發(fā)事件的情況下用戶的實(shí)際消費(fèi)水平往往小于該時段其最大需求量,所以在模型中只考慮實(shí)際生產(chǎn)能力不超過該時段最大生產(chǎn)能力的情況.根據(jù)模型(4)可以通過在K個時段里分別求社會效益最大來解決,所以模型(4)可以轉(zhuǎn)化為下面K個子優(yōu)化問題,即

根據(jù)式(1)和式(3)的定義,可知式(5)是一個二次規(guī)劃問題.根據(jù)極值定理可以知道,對于二次規(guī)劃問題

其中f(x)為二次函數(shù),g(x)=(g1(x),g2(x),...,gm(x))T,gi(x)為N元函數(shù),x∈RN.

若x為問題(6)的一個最優(yōu)解,則存在λ∈Rm使得x和λ滿足下列KKT條件

式(8)與式(5)等價,并且式(8)中的λ按經(jīng)濟(jì)學(xué)上的解釋為電力資源的影子價格,所以可以通過式(8)來確定智能電網(wǎng)短時段的基礎(chǔ)電價λ.

3 算法構(gòu)造

近年來,互補(bǔ)問題的研究得到了極大的重視和發(fā)展,并且在力學(xué)、交通及經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.形如

的問題被稱為互補(bǔ)問題,其中x∈Rn,F:Rn→Rn.顯然,式(8)是一個互補(bǔ)問題.取x和F(x)的第i個分量xi和Fi(x),為了書寫方便,記第xi=a,Fi(x)=b.根據(jù)非線性互補(bǔ)理論[12,13]有

所以式(8)等價于方程組

由于函數(shù)ψ(a,b)=a?max((a?b),0)在a=b處是非光滑的,因而式(10)是一個非光滑方程組,無法使用傳統(tǒng)的牛頓法求解.目前解決這類問題常用的方法是非光滑牛頓法和光滑化牛頓法.非光滑牛頓法是利用廣義牛頓類型即利用Jacobi矩陣求解;光滑化牛頓法是通過構(gòu)造具有良好收斂性質(zhì)的光滑函數(shù)來逼近非光滑函數(shù)求解.通過以往的研究和數(shù)值驗(yàn)證,研究者們發(fā)現(xiàn)光滑化牛頓法具有良好的收斂性,并且在數(shù)值上比非光滑牛頓法更穩(wěn)定和有效.因此本文采用光滑化牛頓法來求解問題(10).

首先介紹光滑化基本思想,假設(shè)一個非光滑方程組

其中H(·):Rn→Rn是一個非光滑函數(shù).再假設(shè)有一序列光滑函數(shù)Hμk(·):Rn→Rn,且滿足

光滑化方法是希望通過求解光滑方程組Hμk(x)=0的解來逼近原方程組的解.

目前,構(gòu)造光滑逼近函數(shù)常用方法有二次函數(shù)法,密度法,極大熵法等[12,13].為了保證解的逼近,光滑逼近函數(shù)應(yīng)該滿足如下定義

定義1(光滑逼近函數(shù))[12]給定函數(shù)H(·):Rn→ Rn,稱光滑函數(shù)Hμ(·):Rn→ Rn,μ ＞ 0為H(·)的一致光滑逼近函數(shù),如果對任意x∈Rn,存在κ＞0,使得‖Hμ(x)?H(x)‖≤κμ,?μ＞0.

根據(jù)定義1和構(gòu)造光滑函數(shù)的二次函數(shù)法,首先構(gòu)造一個二次函數(shù)

下面證明函數(shù)ψμ(a,b)為ψ(a,b)的光滑逼近函數(shù).

定理1函數(shù)ψμ(a,b)為函數(shù)ψ(a,b)的一個光滑逼近函數(shù).

證明根據(jù)ψ(a,b)=a?max((a?b),0),可以得到

因?yàn)楫?dāng)?μ≤a?b＜0時,有

當(dāng)μ≥a?b≥0時,有

當(dāng)μ＜a?b或?μ＞a?b時,有|ψμ(a,b)?ψ(a,b)|=0.

綜上所述,當(dāng)取κ≥ 1/2時,對?μ＞0,有|ψμ(a,b)?ψ(a,b)|≤κμ成立.根據(jù)定義1,函數(shù)ψμ(a,b)為ψ(a,b)的一致光滑逼近函數(shù). 證畢.

函數(shù)ψμ(a,b)在區(qū)間[?μ,μ]內(nèi)的逼近情況如圖2所示.

圖2 非光滑函數(shù)ψ(a,b)與光滑逼近函數(shù)ψμ(a,b),在點(diǎn)a=b處的逼近情況,?=a?bFig.2 The approximation of nonsmooth function and smooth function at point a=b,? =a?b

根據(jù)定理1,可知光滑函數(shù)ψμ(a,b)具有良好的收斂性并且隨著參數(shù)μ減小逐漸逼近ψ(a,b),滿足光滑化方法對光滑函數(shù)的要求.因此根據(jù)ψμ(a,b)和式(10)中F(x,λ)的構(gòu)造方法,定義光滑逼近函數(shù)Fμ可以得到光滑方程組

而式(13)即為要求解的問題.為了書寫方便將變量x和λ記為變量X=(xT,λ)T.

因?yàn)槔脭M牛頓法解方程組(13),可以避免Hesse矩陣退化的情況,而且還可以同時求出變量和電價λ,所以本文選用擬牛頓法求解方程組(13).根據(jù)擬牛頓法的PEF修正迭代公式[12,13]有

因?yàn)橛脩羰褂秒娏坎荒苁秦?fù)值,為了確保λ是在變量x≥0時的影子價格,解方程組(13)時,只取x≥0時的解.

算法步驟如下:

步驟1取初始點(diǎn)X0≥0,其中參數(shù)λ0∈(0,100),取參數(shù)Lk,選取足夠小正數(shù)ε.令k=0,H0=In,μ=0.05;

步驟2判斷‖F(xiàn)μ(Xk)‖＜ε是否成立,若成立則停止迭代,Xk即為所求;否則轉(zhuǎn)步驟3;

步驟3令dk=?HkFμ(Xk),解優(yōu)化問題Min‖F(xiàn)μ(Xk+δdk)‖得到最優(yōu)解δk.Xk+1←Xk+δkdk,轉(zhuǎn)步驟4;

步驟4令Pk=Xk+1?Xk,Qk=Fμ(Xk+1)?Fμ(Xk),▽HkHk+▽Hk,k←k+1,轉(zhuǎn)步驟2.

4 仿真模擬

取ak=0.01,bk=0,ck=0,α=0.5,ω∈[1,4],μ=0.05,N=6.以24 h為一個用電周期,那么在用電周期中,總電量的使用情況是由低到高再到低,在仿真中Lk的取值符合這樣的形態(tài).通過仿真模擬,得到了每個時段的實(shí)時電價λ以及電量的最優(yōu)分配.同時,將新方法與固定電價方法進(jìn)行了比較.其中固定電價方法的定價公式[10]為λk=ωmax?Lkα/N.結(jié)果如表1～表4及圖3～圖6.

表1 基于非光滑方程組方法和固定電價方法的電價(1)Table 1 The electricity price based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(1)

表2 基于非光滑方程組方法和固定電價方法的電價(2)Table 2 The electricity price based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(2)

表3 基于非光滑方程組方法和固定電價方法的社會效益(1)Table 3 The social benefit based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(1)

表4 基于非光滑方程組方法和固定電價方法的社會效益(2)Table 4 The social benefit based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(2)

圖3 基于非光滑方程組方法的智能電網(wǎng)生產(chǎn)能力Fig.3 The power Capacity of smart grid based on non-smooth equations method

圖4 基于非光滑方程組方法的每時段總分配電量Fig.4 The total power distribution per time interval based on non-smooth equations method

圖5 基于非光滑方程組方法與傳統(tǒng)固定電價方法的社會效益Fig.5 The social benefit based on non-smooth equations method method and traditional fixed price method

圖6 基于非光滑方程組方法與傳統(tǒng)固定電價方法的短時段電價Fig.6 The short time interval price based on nonsmooth method and traditional fixed price method

從圖3和圖4可以看出,當(dāng)實(shí)際生產(chǎn)的電力資源被完全分配時,資源得到最優(yōu)配置.從圖5和圖6可以看出,與固定電價方法相比，新方法得到的社會效益要略高于固定電價方法,但是新方法計算的電價更低.這是因?yàn)槊總€用戶對電量消費(fèi)水平的滿意程度不同.固定電價方法傾向于平均分配電力資源,沒有考慮用戶的電量消費(fèi)水平滿意度;而新方法考慮了用戶的電量消費(fèi)水平滿意度,優(yōu)先分配滿意度高的用戶,所以在社會效益相近的情況下,利用新方法得到的電價更低.該結(jié)果與文獻(xiàn)[9,10]中的結(jié)果相符,所以利用新方法解決智能電網(wǎng)實(shí)時定價問題是有效可行的.

5 結(jié)束語

本文采用影子價格為智能電網(wǎng)實(shí)時定價的基礎(chǔ),首次將非光滑方程組應(yīng)用到智能電網(wǎng)實(shí)時定價問題.利用非光滑方程組解決實(shí)時定價問題的優(yōu)點(diǎn)在于能夠同時得到每個時段電力資源的最優(yōu)配置和實(shí)時基礎(chǔ)價格.在非光滑方程組中,實(shí)時價格是一個重要變量,不再是最優(yōu)配置問題的附屬變量.本文采用了修正擬牛頓法解非光滑方程組,優(yōu)點(diǎn)是速度快,收斂性好,數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定.通過仿真模擬結(jié)果可以看出,雖然新方法的實(shí)時價格要比固定電價的價格低,但是社會效益卻幾乎相同,而且新方法下的社會效益還比固定電價方法下的略高.所以新方法的實(shí)時定價更合理.通過數(shù)值結(jié)果也驗(yàn)證了利用新方法解決電量最優(yōu)配置和實(shí)時定價問題是可行的.本文對進(jìn)一步研究智能電網(wǎng)短時段實(shí)時定價機(jī)制提供了基礎(chǔ)理論依據(jù).