淺談數(shù)學(xué)中的逆向思維

韓長(zhǎng)安

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)該著重于促進(jìn)他們思維的提高和發(fā)展。學(xué)生思維能力發(fā)展的過程， 就是思維方法不斷更新的過程，思維的各種特性， 決定了思維具有多種法則。逆向思維就是一種有意義的學(xué)習(xí)法則。所謂逆向思維就是從正常思維出發(fā)點(diǎn)的另一端逆著原方向思維，它是學(xué)生思維發(fā)展和掌握學(xué)習(xí)方法提高運(yùn)算能力不可逾越的階段。學(xué)生在從小學(xué)到中學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，大多只習(xí)慣于按正向思維從單一方向去考慮問題和解決問題， 而按逆向思維方向去解決問題的能力顯得較為薄弱。因此本文對(duì)逆向思維的應(yīng)用及培養(yǎng)進(jìn)行了具體說明。

關(guān)鍵詞：逆向思維 思維方法 應(yīng)用 培養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而思維能力是雙向的，一般地，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多運(yùn)用的是正向思維。學(xué)習(xí)概念、公式、定理、法則等大多是正向思維的結(jié)果，概念、公式、定理、法則的正向應(yīng)用，導(dǎo)致我們形成思維定勢(shì)，只習(xí)慣正面思考問題，從而忽略了概念、公式等的逆向應(yīng)用，因而使學(xué)生缺少了應(yīng)變能力，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

逆向思維是指根據(jù)概念、原理、思維、方法及研究對(duì)象的特點(diǎn)，從問題相反或否定的方向思考，換一種新的角度分析解決新問題。逆向思維也叫求異思維，它是對(duì)習(xí)慣的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式。

逆向思維不僅在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用而且在對(duì)許多生活、生產(chǎn)中的問題進(jìn)行逆向思維時(shí)往往也能閃爍出智慧的光芒。因此，平時(shí)多重視對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，這有利于激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，在開發(fā)智力，培養(yǎng)能力方面都具有十分重要的意義。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將培養(yǎng)學(xué)生三大能力之一的“邏輯思維能力”改為“思維能力”雖然去掉兩個(gè)字，意義卻非同尋常，充分說明了人們已經(jīng)意識(shí)到了逆向思維的重要性。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生逆向思維和實(shí)踐能力，并要求教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理和交流等活動(dòng)，讓學(xué)生獲得必需的數(shù)學(xué)知識(shí)，會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)逆向思維去解決實(shí)際問題，使學(xué)生獲得進(jìn)行數(shù)學(xué)切身體驗(yàn)和能力[4]?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）的總目標(biāo)分為六個(gè)方面，與過去傳統(tǒng)的教學(xué)大綱規(guī)定的“教學(xué)目的”相比有著本質(zhì)的區(qū)別，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中“重知識(shí)內(nèi)容和結(jié)論，輕學(xué)習(xí)過程和方法，重知識(shí)與技能教學(xué)，輕情感、意志和價(jià)值的培養(yǎng)”的現(xiàn)象，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的逆向

思維[5]。

所謂逆向思維就是從正常思維出發(fā)點(diǎn)的另一端逆著原方向思維， 反映在逆解題中就是反向推理及逆向運(yùn)算， 它是學(xué)生思維發(fā)展和掌握學(xué)習(xí)方法提高運(yùn)算能力不可逾越的階段。逆向思維的應(yīng)用主要有一下幾種：

1.在概念教學(xué)中，注意概念、定義的逆用，探索解題捷徑

數(shù)學(xué)定義包含著兩個(gè)互逆的正確命題，設(shè)計(jì)一些逆用型習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生逆用定義求解數(shù)學(xué)間題，能加深對(duì)基本要領(lǐng)的理解，而且常常能使解題過程顯得簡(jiǎn)潔明快。

2.逆用公式、法則，提高解題技巧

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多的公式、法則，而且形式多變。如能對(duì)公式作適當(dāng)?shù)淖冃位蚰嬗霉?，不僅能使學(xué)生更牢固的掌握知識(shí)，而且能訓(xùn)練其運(yùn)用知識(shí)的靈活性，提高解題技巧。

例如：計(jì)算題 ，分析：如果該題按照常規(guī)方法，先通分再計(jì)算，十分復(fù)雜，這時(shí)利用逆向思維，即：利用 ， ， ， ， ，這樣，不用進(jìn)行通分，很容易得到結(jié)果。

3.逆向聯(lián)想尋求解題方法

題設(shè)條件是解題探求思路的主要依據(jù)。逆向思維是指從題設(shè)條件中去打開思路，尋求解決問題的方法。

4.逆用常規(guī)方法，開拓解題思路

所謂的常規(guī)方法，是我們習(xí)慣的順向思考的方法，有些問題用常規(guī)方法求解十分繁難。此時(shí)若從常規(guī)方法的反面去考慮，往往能開拓思路，迅速求解。

例如：池塘水面上生長(zhǎng)著一些浮萍，它們所占水面每天增加1倍，經(jīng)過100天，整個(gè)池塘的水面長(zhǎng)滿浮萍。經(jīng)過多少天池塘中的浮萍的面積為水面面積的一半？一些學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)都得到答案99天，但是很少有人能夠說明理由。如果這個(gè)題目利用逆向思維，就會(huì)很容易解答出來。

對(duì)于逆向思維的培養(yǎng)，主要提出以下幾個(gè)方面：

1.注重反例的應(yīng)用

重要的反例往往也會(huì)成為數(shù)學(xué)殿堂的基石，反例不僅在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力中占重要地位，同時(shí)在改正錯(cuò)誤觀點(diǎn)和開拓?cái)?shù)學(xué)新領(lǐng)域方面也起到了關(guān)鍵的作用。反例對(duì)于搞清楚一個(gè)似是而非的數(shù)學(xué)命題是常用的一種非常有效的解決辦法。

2.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆推求解的方法解決數(shù)學(xué)問題

對(duì)于某些特定結(jié)構(gòu)的應(yīng)用題，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考，從左后的結(jié)果出發(fā)，按照與原來相反的順序去推求初始條件，從而探求到解題思路。

例8 100個(gè)人排成一行，從1開始往下報(bào)數(shù)，報(bào)奇數(shù)的出行，留下的人再重新報(bào)數(shù)。這樣繼續(xù)下去……，最后留下一個(gè)人，問這個(gè)人第一次報(bào)數(shù)時(shí)報(bào)的數(shù)是多少？

分析：如果按照正向思維的方式進(jìn)行推理，過程會(huì)十分復(fù)雜。但是，如果在解這道題時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆推求解的方式，就非常簡(jiǎn)捷因?yàn)?，很明顯：最后留下的人一定在每次報(bào)數(shù)時(shí)都是報(bào)的偶數(shù)，所以，這人第一次報(bào)的數(shù)一定是2的冪而2的6次方是64， 2的7次方是128所以，最后留下的人第一次報(bào)的數(shù)應(yīng)該是64。

可以看出，利用逆向思維來思考某些數(shù)學(xué)問題的證明，可以使問題更加簡(jiǎn)化，思路更加清晰。

對(duì)于數(shù)學(xué)科目的講授，教師往往更加注重從正向思維的角度出發(fā)，這樣學(xué)生受定向思維的影響，考慮問題也傾向于從正向出發(fā)，解題中明顯反映出思維的呆板性。逆向思維不僅能夠加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要盡早，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中還會(huì)有很多地方可以應(yīng)用逆向思維，只要我們數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考，做一個(gè)有心人，將逆向思維有意識(shí)地貫穿到教學(xué)過程當(dāng)中去，就會(huì)幫助學(xué)生培養(yǎng)逆向思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)的仟?jiǎng)?wù)并不僅僅是培養(yǎng)做題的機(jī)器，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從而提高學(xué)生的整體素質(zhì)。希望我們數(shù)學(xué)教師能夠在日常教學(xué)當(dāng)中注意培養(yǎng)學(xué)生包括逆向思維能力在內(nèi)的各種創(chuàng)造性思維的能力，為素質(zhì)教育做出自己應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]黃映雪.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]辛京奇，王文娟.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版，2003.

[3]張楚廷.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]張大均.教育心理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1999.

[5]曹才翰.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：師大出版社，1999.