“波利亞解題理論”在幾何作圖題中的應(yīng)用

摘 要：?jiǎn)讨巍げɡ麃啠℅eorge Polya，1887-1985）是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)家，著名的數(shù)學(xué)教育家。波利亞致力于解題研究，將題解分為四個(gè)基本步驟：弄清題目、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧。在初中數(shù)學(xué)的幾個(gè)作圖題中同樣可以應(yīng)用這一思維方法解決問(wèn)題。本文筆者將結(jié)合一道幾何作圖題的分析過(guò)程闡述波利亞解題理論在教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：波利亞解題；幾何作圖；數(shù)學(xué)

對(duì)于尺規(guī)作圖，《課標(biāo)》的要求是：能夠運(yùn)用尺規(guī)完成基本作圖；能用基本作圖完成部分三角形和圓有關(guān)的復(fù)雜作圖；了解作圖的原理等。學(xué)習(xí)用波利亞解題理論分析幾何作圖題，可以提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)案例：

如圖1，已知△ABC。請(qǐng)作一個(gè)∠BDC，使得∠BDC=∠BAC。

師：本題的條件是什么？求的是什么？（第一步：弄清題目，搞清已知量、未知量）

生：條件只有一個(gè)△ABC，求作一個(gè)角等于已知角∠BAC。（學(xué)生審題）

師：求作的角有什么特點(diǎn)？（引導(dǎo)學(xué)生深入理解題意，挖掘深層次條件。）

生：∠BDC的兩邊上的點(diǎn)B和C就是三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)。（學(xué)生發(fā)現(xiàn)了隱含條件）

師：你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：以B、C兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，將∠A翻折過(guò)來(lái)就可以了得到一個(gè)角和∠BAC相等。（第二步：擬定計(jì)劃。學(xué)生想到了翻折）

師：你說(shuō)的“翻折”用尺規(guī)作圖如何實(shí)現(xiàn)？（提示學(xué)生用尺規(guī)執(zhí)行方案）

生：首先過(guò)點(diǎn)A作已知直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，在AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取ED=AE，連接BD，CD，那么∠BDC=∠BAC（如圖2）。（第三步：實(shí)施計(jì)劃。學(xué)生進(jìn)一步將擬定的計(jì)劃實(shí)施）

師：你能說(shuō)說(shuō)∠BDC=∠BAC的理由嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考作圖正確的原理，進(jìn)一步確定答案）

生：由作圖知：直線(xiàn)BC垂直平分AD，∵AC=DC，AB=DB，又∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC。

師：非常好！你從對(duì)稱(chēng)的角度作一個(gè)角等于已知角，并用全等證明它的正確性。

如果教師就題論題，可以認(rèn)為本題“做完了”，但卻沒(méi)有很好地鍛煉學(xué)生的思維，更忽略了波利亞解題理論中的最后一步：回顧。因此在每道題目結(jié)束后，一定要學(xué)會(huì)反思“本題是否有更好的解決方法”“我的方法是否全面”等問(wèn)題。對(duì)于本題，我和學(xué)生做了更深層次的探究。

師：大家想一想，還有沒(méi)有其他解決方法。

生：（思考后回答）可以作全等三角形！直接通過(guò)作三邊相等，作一個(gè)△BCD和△ABC全等。

師：把你的想法用幾何作圖的語(yǔ)言描述出來(lái)。（培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的幾何作圖語(yǔ)言描述問(wèn)題的習(xí)慣）

生：以B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，那么∠D=∠A（如圖3）。

師：非常好。按照你的思路可以確定幾個(gè)D點(diǎn)？

生（思考后回答）：三個(gè)！還可以以B為圓心，分別以AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以C為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，確定另外兩個(gè)D點(diǎn)（如圖4）。

師：請(qǐng)?jiān)偎伎迹菏遣皇侵挥腥齻€(gè)D點(diǎn)呢？

學(xué)生陷入沉思，因?yàn)閷?duì)于全等的情況學(xué)生比較好理解，也容易想到，但是如何過(guò)渡到更一般的情況，需要教師的啟發(fā)。

師：（拿出事先準(zhǔn)備好的紙板）∠ABC是一個(gè)可移動(dòng)的紙板，紙板移動(dòng)的過(guò)程中保證兩條邊始終經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，那么點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢？（通過(guò)動(dòng)態(tài)圖引發(fā)學(xué)生的思考，關(guān)聯(lián)已學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)）

生：應(yīng)該是個(gè)圓，不，應(yīng)該是一段弧。作△ABC的外接圓O，根據(jù)“弧所對(duì)的圓周角相等”，在優(yōu)弧BAC上可以找出無(wú)數(shù)個(gè)D點(diǎn)，使∠BDC=∠BAC（如圖5）。

師：優(yōu)弧BAC（除去端點(diǎn)）上的點(diǎn)D，均滿(mǎn)足∠BDC=∠BAC；反過(guò)來(lái)，是不是所有的D點(diǎn)都在優(yōu)弧BAC上？

生：應(yīng)該是吧？（不太確定自己的答案，思考后發(fā)現(xiàn)還有所遺漏）

生：不對(duì)，應(yīng)該還有一段和弧BAC對(duì)稱(chēng)的弧?？梢援?huà)△BCD2的外接圓上，優(yōu)弧BD2C（除去端點(diǎn)）上的所有點(diǎn)也滿(mǎn)足∠BDC=∠BAC（如圖6）。

至此，在老師的幫助和引導(dǎo)下，學(xué)生完成了全部的思考和作圖過(guò)程。

本題的解題思想恰好印證了波利亞的解題理論：“你要從不同的方面考慮問(wèn)題，而且尋找與你過(guò)去所獲知識(shí)之間的聯(lián)系”?！霸囍谀憧疾榈倪^(guò)程中認(rèn)出一些你熟悉的東西，試著在你認(rèn)清的東西里發(fā)現(xiàn)有用的東西”。教師要充分認(rèn)識(shí)到尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值，在教學(xué)過(guò)程中不能“草草了事”，而要嚴(yán)格作圖步驟，規(guī)范作圖語(yǔ)言，明確作圖原理，重視分析過(guò)程，只有這樣才能更好地提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞.怎么解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：張媛，江蘇省南京市，江蘇省南京市第九初級(jí)中學(xué)。