淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的滲透

摘 要：很多高中學(xué)生存在分類討論意識不強(qiáng)，不能自覺運(yùn)用分類討論思想解決問題，教師在教學(xué)中要重視向?qū)W生滲透分類討論思想。實(shí)踐證明，如果教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中能利用一切機(jī)會(huì)向?qū)W生滲透分類討論思想，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生了解幾種常見的需要進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)問題，利用例題、習(xí)題的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生分類討論，能不斷提高學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，能培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；滲透；常見的分類；解題教學(xué)

應(yīng)用分類討論思想有利于數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化、整體化，能促使學(xué)生全面、深入地研究問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性。高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)應(yīng)用分類討論思想解決的數(shù)學(xué)問題，小到填空題、選擇題，大到解答題都經(jīng)常見到它的身影，但是學(xué)生經(jīng)常因?yàn)榉诸愐庾R不強(qiáng)，考慮不夠全面而遺漏可能的答案，從而導(dǎo)致失分較多。究其原因，筆者認(rèn)為有兩方面：一是因?yàn)榉诸愑懻撍枷胧请y點(diǎn)問題；第二是因?yàn)榻處熢谄綍r(shí)的課堂教學(xué)中，沒有利用一切機(jī)會(huì)經(jīng)常向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的分類討論思想。因此教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何向?qū)W生滲透分類討論思想，顯得尤為重要。下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想。

一、 在教學(xué)過程中結(jié)合教材有意識地向?qū)W生滲透分類討論思想

分類討論思想貫穿于高中數(shù)學(xué)教材的許多部分，教師要充分挖掘高中數(shù)學(xué)教材，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類討論思想的滲透。如利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、直線的方程、任意角的三角函數(shù)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、計(jì)數(shù)原理等機(jī)會(huì)，逐步向?qū)W生滲透分類討論思想，使學(xué)生形成分類意識。現(xiàn)在以“指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性”學(xué)習(xí)和“兩個(gè)計(jì)數(shù)原理”學(xué)習(xí)為例，來看看如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想。在進(jìn)行“指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)時(shí)，可先讓學(xué)生舉出幾個(gè)不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，然后讓學(xué)生分組畫出它們的圖象，觀察所畫的圖象得出相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，最后引導(dǎo)全體學(xué)生根據(jù)各組所得的結(jié)果歸納為兩種情況：1. 當(dāng)01時(shí)，函數(shù)y=ax在（-∞，+∞）上遞增。通過分類討論使學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有了清晰、完整的認(rèn)識，同時(shí)強(qiáng)化了學(xué)生分類討論的意識。“分類加法計(jì)數(shù)原理”學(xué)習(xí)過程就是分類討論思想運(yùn)用的過程，例：把5種不同的顏色的花種在圖中5塊區(qū)域，每塊只能種一種顏色且相鄰的兩塊不能種同樣顏色的花，有多少種不同的種法？先讓學(xué)生自己解決，很多學(xué)生還不會(huì)意識到需要分類，直接按分步計(jì)數(shù)原理按12345的順序種花，通過引導(dǎo)，學(xué)生逐步意識到要對24是否同色進(jìn)行分類，分成同色和不同色兩類，有些同學(xué)還提出不同的分類方法：按種幾種顏色的花進(jìn)行分類分成3類；教師適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)總結(jié)讓學(xué)生體會(huì)到分類討論應(yīng)按一定標(biāo)準(zhǔn)分類，分類要做到不重不漏。

二、 在教學(xué)過程中讓學(xué)生逐步了解幾種常見的需要進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)問題

（一） 數(shù)學(xué)問題中涉及的有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，常需要進(jìn)行分類討論

如絕對值的概念是分類給出的，解答此類問題時(shí)經(jīng)常要根據(jù)絕對值的概念進(jìn)行分類討論。再比如等比數(shù)列的求和公式分兩種情況q≠1和q=1，解決此類問題時(shí)當(dāng)公比q不確定時(shí)常常進(jìn)行分類討論。

（二） 數(shù)學(xué)題目中出現(xiàn)的字母取值不同會(huì)使得結(jié)果不同，需要進(jìn)行分類討論

例如：已知f（x）=x2-2ax，x∈[1，3]，求f（x）的最小值g（a）。

本題中a的取值范圍不同就會(huì)導(dǎo)致f（x）的最小值發(fā)生改變，因此需要對a的取值情況進(jìn)行分類討論。

（三） 數(shù)學(xué)題目中出現(xiàn)的圖形的位置或形狀不能唯一確定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論

例如：已知F1，F(xiàn)2分別為圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2，則曲線C的離心率等于（ ）

A. 12或32B. 23或2C. 12或2D. 23或32

（四） 有些題目包含多種可能或多種情況的條件或結(jié)論，需要進(jìn)行分類討論

有些數(shù)學(xué)題目的條件包含多種可能，解題時(shí)需要考慮所有情況，運(yùn)用分類討論思想加以解決。有些數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況，解答時(shí)要全面羅列出來。

三、 在教學(xué)過程中利用例題、習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生分類討論，提高解題能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要結(jié)合教材向?qū)W生不斷滲透分類討論思想，讓學(xué)生樹立分類討論意識，更重要的是教師應(yīng)利用數(shù)學(xué)解題教學(xué)來引導(dǎo)學(xué)生合理、準(zhǔn)確地進(jìn)行分類討論，使學(xué)生較全面了解分類討論的原則、步驟，并且能自覺、靈活地運(yùn)用分類討論思想解決有關(guān)問題，提高解題能力。在以下四部分知識中分類討論思想應(yīng)用較為廣泛：

（一） 在函數(shù)和導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

例如：已知函數(shù)f（x）=lnx-c2x2+cx（c∈R），求f（x）的單調(diào)區(qū)間。

由求單調(diào)區(qū)間的步驟可知需對f′（x）=0的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類。

（二） 在數(shù)列中的應(yīng)用

例如：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0（n=1，2，3…），則q的取值范圍為 。

（三） 在排列、組合與概率中的應(yīng)用

例如：方程ay=b2x2+c中a，b，c∈{-3，-2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）

A. 60條B. 62條C. 71條D. 80條

（四） 在解析幾何中的應(yīng)用

在考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，當(dāng)直線的斜率不確定時(shí)，常分斜率是否存在進(jìn)行討論。

在解題教學(xué)時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)運(yùn)用分類討論思想解決問題的基本步驟：（1）確定分類對象；（2）按照標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類；（3）通過計(jì)算逐類分別討論；（4）歸納分類結(jié)果，得出答案。

高中學(xué)生分類討論的意識還不強(qiáng)，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要采取各種切實(shí)有效的措施逐步向?qū)W生滲透分類討論思想，使學(xué)生在潛移默化中掌握分類討論思想，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性。

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作者簡介：

林國本，福建省福州市，福建省福州市福清第二中學(xué)。