Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌接觸關(guān)系分析

季元進(jìn)， 任利惠， 周勁松

(同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院， 上海 201804)

Translohr有軌電車是一種采用中央鋼輪鋼軌導(dǎo)向的新型膠輪有軌電車系統(tǒng)，其中間的導(dǎo)向裝置由2個(gè)鋼制車輪斜置分布，在預(yù)壓彈簧的作用下使導(dǎo)向輪的踏面部分與鋼軌的兩側(cè)接觸，從而對(duì)車輛進(jìn)行導(dǎo)向控制(見(jiàn)圖1)。導(dǎo)向輪安裝時(shí)將輪緣部分放置在鋼軌的下部，保留一定間隙，不影響車輛正常行駛，且可以有效防止脫軌[1-2]。

上海張江的Translohr有軌電車經(jīng)過(guò)一段時(shí)間運(yùn)行后，導(dǎo)向輪的輪緣出現(xiàn)了明顯的磨損，同時(shí)在半徑25 m曲線上，導(dǎo)向軌的內(nèi)側(cè)軌腰部位出現(xiàn)嚴(yán)重的側(cè)磨現(xiàn)象[3-4]。文獻(xiàn)[3]結(jié)合實(shí)際線路的磨耗情況，用動(dòng)力學(xué)建模的輪軌簡(jiǎn)化等效力學(xué)模型，分析了不同速度、不同曲線下輪軌的接觸狀態(tài)。但是上述文獻(xiàn)的模型對(duì)輪軌簡(jiǎn)化成多點(diǎn)彈簧，預(yù)先定義的輪軌接觸點(diǎn)并不能反應(yīng)出實(shí)際接觸點(diǎn)的位置，更不能反映出輪軌蠕滑狀態(tài)。為了更真實(shí)地研究Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌之間接觸狀態(tài)和磨耗規(guī)律，需要對(duì)Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌接觸關(guān)系進(jìn)行更深入的分析。

目前對(duì)于輪軌幾何接觸的算法主要有2種：軸向切片法和跡線法。跡線法采用數(shù)學(xué)方法描述輪軌的幾何外型，依據(jù)空間位置的變化計(jì)算接觸點(diǎn)，這些點(diǎn)形成一個(gè)空間三維曲線，再利用二維方法即可求解[5]。軸向切片法是采用一定間隔的垂直于鋼軌截面的平面去切割車輪的外型，計(jì)算每個(gè)截面下輪軌的法向間隙，尋求所有截面下的最小間距即為此時(shí)的輪軌接觸點(diǎn)[6]。對(duì)于輪軌之間的多點(diǎn)接觸問(wèn)題，Piotrowski等提出了輪軌接觸虛擬滲透理論來(lái)分析輪軌多點(diǎn)接觸問(wèn)題，并研究了非剛體接觸條件下輪軌非橢圓接觸斑的方法[7]；還提出了條狀法，將接觸區(qū)域劃分為多個(gè)條狀單元，應(yīng)用Hertz接觸理論來(lái)計(jì)算多點(diǎn)接觸時(shí)輪軌法向力和切向蠕滑力[8]。舒興高等開(kāi)發(fā)了一個(gè)輪軌2點(diǎn)接觸的精確數(shù)值解法，由輪軌接觸區(qū)域的滲透量來(lái)確定2點(diǎn)接觸的存在條件和影響系數(shù)[9]。曾宇清等利用輪對(duì)的旋轉(zhuǎn)體特性，推導(dǎo)了輪對(duì)在不同投影下底部輪廓的計(jì)算公式，給出了輪軌三維接觸幾何關(guān)系的求解方法[10]。任尊松等結(jié)合接觸跡法，采用輪軌接觸距離的一階和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷發(fā)生輪軌多點(diǎn)接觸的條件[11]。利用輪對(duì)切片投影法計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)時(shí)，切片的間距直接影響到計(jì)算的精度，楊新文等利用接觸范圍不斷縮小的方法以精確找到接觸點(diǎn)[12]。

上述方法討論的輪軌外型，對(duì)于任意橫坐標(biāo)都有惟一確定的縱坐標(biāo)與其對(duì)應(yīng)，輪軌幾何外形之間具有確定的映射關(guān)系。對(duì)于Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪軌，其幾何外形在橫向和垂向坐標(biāo)上，并不具有上述一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，現(xiàn)有方法并不能直接應(yīng)用以解決這個(gè)非映射輪軌關(guān)系。

1 輪軌接觸幾何參數(shù)的計(jì)算

1.1 輪軌接觸求解思路

在輪軌空間幾何接觸的跡線法和軸向切片投影法中，都是將輪軌作剛性接觸處理，考慮車輪和鋼軌為剛體，沒(méi)有彈性。對(duì)于傳統(tǒng)輪軌系統(tǒng)的車輛，給定輪軌型面，對(duì)于每一組橫移量y和搖頭角α值，對(duì)應(yīng)惟一一組滿足剛性接觸條件的垂向位移z和側(cè)滾角φ值。自由度z、φ和其他接觸參數(shù)可通過(guò)文獻(xiàn)[6]所述的算法進(jìn)行迭代計(jì)算得到，它們都是關(guān)于y、α的函數(shù)，與y、α具有明確的一一映射關(guān)系。因此以自由度y、α為變量，可以創(chuàng)建一個(gè)輪軌二維接觸數(shù)表。

上述跡線法和軸向切片投影法針對(duì)傳統(tǒng)鐵路輪軌關(guān)系一般性研究是適用的，但并不適合Translohr有軌電車。Translohr有軌電車的導(dǎo)向軌為倒V形狀，一般情況下，左右導(dǎo)向輪的踏面在預(yù)壓力的作用下與導(dǎo)向軌的2個(gè)斜面接觸(見(jiàn)圖2(a))，當(dāng)橫向力較大時(shí)，一側(cè)導(dǎo)向輪的踏面和輪緣會(huì)與導(dǎo)向軌上斜面和下斜面接觸，另一側(cè)導(dǎo)向輪的踏面與導(dǎo)向軌上斜面接觸，呈現(xiàn)出三點(diǎn)接觸的狀態(tài)(見(jiàn)圖2(b))。另外，由于車輛的載荷由走行輪胎承受，施加在導(dǎo)向輪上的正壓力很小(約800 N)，當(dāng)導(dǎo)向輪受到較大的激擾時(shí)可能跳起，即出現(xiàn)導(dǎo)向輪與導(dǎo)向軌不接觸的狀態(tài)(見(jiàn)圖2(c))，或者左右導(dǎo)向輪與導(dǎo)向軌2個(gè)下斜面同時(shí)接觸的現(xiàn)象(見(jiàn)圖2(d))。

Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪相對(duì)導(dǎo)向軌存在垂向、橫向、側(cè)滾和搖頭4個(gè)自由度，造成兩者之間存在多種多點(diǎn)接觸狀態(tài)。使用假設(shè)剛性接觸處理這些接觸狀態(tài)是非常困難的。這是因?yàn)椋杭僭O(shè)剛性接觸中非獨(dú)立變量自由度為獨(dú)立自由度，輪軌之間的接觸狀態(tài)不再總是一種接觸狀態(tài)；即使當(dāng)4個(gè)獨(dú)立自由度的值確定時(shí)，也會(huì)在輪軌上形成一個(gè)或多個(gè)接觸區(qū)，使用假設(shè)剛性接觸不能找到某一特定自由度組合下形成的輪軌接觸區(qū)的位置。

根據(jù)Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌的幾何外形特點(diǎn)，本文運(yùn)用輪對(duì)切片投影法針對(duì)特殊輪軌型面接觸求解接觸點(diǎn)，通過(guò)坐標(biāo)變換，將導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌非映射的輪軌幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換成為映射關(guān)系。針對(duì)多點(diǎn)接觸問(wèn)題，本文借鑒輪軌接觸滲透量方法，將輪軌接觸按照彈性接觸方法處理。對(duì)于法向力部分的求解采用Hertz理論，而切向部分則參考Kalker簡(jiǎn)化理論模型，并應(yīng)用這一方法得到輪軌接觸多維度表。

1.2 輪軌接觸幾何參數(shù)計(jì)算

眾所周知，鋼軌在縱向上的外形輪廓是一樣的，類似Translohr的導(dǎo)向軌，在軌道坐標(biāo)系Oxyz中，部分橫坐標(biāo)y對(duì)應(yīng)2個(gè)縱坐標(biāo)z，不利于后續(xù)插值計(jì)算接觸點(diǎn)的位置。如果將軌道坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，這樣就可以把軌道坐標(biāo)系Oxyz切換到右軌道坐標(biāo)系Oxryrzr下，此時(shí)橫向和垂向是一一對(duì)應(yīng)的。

車輪與鋼軌定義有所不同，在車輪的坐標(biāo)系Gwx″y″z″中(圖4)，作x″=0的平面切割車輪的輪廓，交線即為車輪的主輪廓線。再用平面x″=xi″(i=1,2,…,n)分別切割車輪的外形，于是可以畫(huà)出n個(gè)輪廓外形。

從圖4中可以看出，在輪對(duì)坐標(biāo)系Gwx″y″z″中，切割車輪得到的輪廓線在靠近輪緣的位置，橫坐標(biāo)并非只有惟一確定的一個(gè)縱坐標(biāo)和其對(duì)應(yīng)，所以需要引入車輪坐標(biāo)系Gwx′y′z′，則車輪坐標(biāo)系與輪對(duì)坐標(biāo)系關(guān)系為

( 1 )

由于車輪在輪廓線上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以依據(jù)與主輪廓線上橫坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)求得

( 2 )

( 3 )

利用輪對(duì)軸向切片法計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)時(shí)，縱向間距的選擇對(duì)計(jì)算接觸參數(shù)的影響至關(guān)重要。文獻(xiàn)[12]研究發(fā)現(xiàn)，為平衡計(jì)算的精度和計(jì)算工作量，在做縱向劃分時(shí)只需要考慮主軸前后八分之一直徑的范圍。

2 輪軌力的計(jì)算

2.1 輪軌法向力的計(jì)算

為求解三維彈性接觸問(wèn)題，可根據(jù)上述4個(gè)獨(dú)立自由度值(y,α,z,φ)確定車輪外形與鋼軌外形的相對(duì)位置。為了描述車輪和鋼軌型面，將車輪和鋼軌離散成一些點(diǎn)，這些點(diǎn)可以通過(guò)樣條函數(shù)插值得到。通過(guò)求解車輪和鋼軌間距，確定輪軌可能接觸區(qū)的位置。在每個(gè)可能的接觸區(qū)，計(jì)算出車輪與鋼軌之間的法向最大壓縮量δ，見(jiàn)圖5。

當(dāng)已知法向最大壓縮量δ、接觸點(diǎn)處輪軌曲率半徑和材料彈性常數(shù)后，可利用Hertz接觸理論計(jì)算出產(chǎn)生此壓縮量對(duì)應(yīng)的法向力，法向力和壓縮量呈非線性關(guān)系，即

( 4 )

式中：P為輪軌法向力；Rwx、Rwy分別為車輪縱向和橫向曲率半徑；Rrx、Rry分別為鋼軌縱向和橫向曲率半徑；υ1，υ2分別為車輪和鋼軌的泊松比；E1、E2分別為車輪和鋼軌材料的彈性模量；G為材料剪切模量；m、n、K(e)是橢圓積分有關(guān)的參數(shù)，可以通過(guò)查表得到。

當(dāng)出現(xiàn)如圖6所示的多點(diǎn)接觸情況時(shí)，以一個(gè)x軸向的切片為例，踏面的外形函數(shù)為F(y)，鋼軌的外形函數(shù)為G(y)，則定義接觸點(diǎn)函數(shù)C(y)為

C(y)=F(y)-G(y)

( 5 )

求解接觸點(diǎn)的個(gè)數(shù)及區(qū)域，接觸定義域?yàn)閇a,b](a、b為鋼軌旋轉(zhuǎn)后的左右界限值)，因?yàn)樘っ嫱庑闻c鋼軌外形都是連續(xù)函數(shù)，則C(y)也是連續(xù)函數(shù)，對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)y(y≠y0)，均有C(y)C(y0)，則稱C(y0)是函數(shù)C(y)的一個(gè)極小值。求解函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)，找出導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)(駐點(diǎn))。確定接觸點(diǎn)個(gè)數(shù)的充分條件是：(1)求解C(y)的所有的極值點(diǎn)；(2)極值點(diǎn)的函數(shù)值小于0。但是極值點(diǎn)所在的位置并不是接觸點(diǎn)所在的位置，因?yàn)闈B透量是指法向最大壓縮量。因此求解函數(shù)C(y)所有的零點(diǎn)，即如圖6中所示的點(diǎn)(y1，0)、(y2，0)、(y3，0)、(y4，0)，再依據(jù)極值點(diǎn)的區(qū)域判斷接觸范圍為[y1，y2]和[y3，y4]。計(jì)算接觸范圍內(nèi)法向間隙C(y)最大值，輪軌法向力的求解方法與單點(diǎn)接觸一樣。

2.2 輪軌切向力的計(jì)算

2.2.1 輪軌蠕滑率

( 9 )

依據(jù)蠕滑率定義得到

(10)

2.2.2 輪軌蠕滑力

輪軌蠕滑力計(jì)算參考Kalker快速計(jì)算簡(jiǎn)化理論模型[13-14]。假設(shè)接觸區(qū)中的任一點(diǎn)作用力和該點(diǎn)的彈性位移有關(guān)，定義3個(gè)柔度系數(shù)分別為L(zhǎng)x，Ly和Lz，其中切向力的2個(gè)分量可以表示為

(11)

2.2.3 接觸數(shù)表

三維模型的掃描區(qū)域大，如果進(jìn)行實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)交互的動(dòng)力學(xué)仿真，則需要耗費(fèi)大量時(shí)間。本文采用的方法是創(chuàng)建一個(gè)可供插值的多維數(shù)表，通過(guò)存在的4個(gè)自由度(包括y、α、z和φ)的所有組合計(jì)算出四維數(shù)表。進(jìn)行數(shù)據(jù)插值時(shí)，輪對(duì)相對(duì)于軌道的位置與接觸斑處的壓縮量有直接對(duì)應(yīng)關(guān)系，壓縮量可由線性插值得到。而法向力是關(guān)于δ3/2的函數(shù)，橢圓半軸大小是關(guān)于δ1/2的函數(shù)，均與δ呈非線性關(guān)系，可將其分別轉(zhuǎn)為關(guān)于δ3/2和δ1/2的線性關(guān)系，有利于提高計(jì)算結(jié)果的精度。另外，為了更高效的插值計(jì)算，減小計(jì)算時(shí)間，也可以將左右導(dǎo)向輪踏面和輪緣接觸做成4個(gè)獨(dú)立的數(shù)表，依據(jù)輪對(duì)的y、α、z和φ，分別得到踏面和輪緣的接觸參數(shù)值。

3 算例

3.1 Translohr有軌電車的踏面和鋼軌廓型

圖9給出了Translohr有軌電車的輪軌外型。導(dǎo)向軌外形類似六邊形，其輪廓是由一段R100 mm、4段R5 mm、2段R65 mm的圓弧加直線段構(gòu)成。導(dǎo)向軌總寬度為49 mm，總高度為53.6 mm。導(dǎo)向輪的踏面主要由直線段、R50 mm和R5 mm曲線組成，車輪寬40 mm，輪緣高度為9 mm，輪緣厚度為7 mm。

本文采用基于MATLAB/SIMULINK建立的Translohr有軌電車的動(dòng)力學(xué)模型，整體車輛共計(jì)15個(gè)剛體，每個(gè)剛體具有浮沉、點(diǎn)頭、橫移、搖頭和側(cè)滾5個(gè)自由度，共計(jì)75個(gè)自由度[15]。

3.2 輪軌力計(jì)算結(jié)果

本文數(shù)表的輸入是y、α、z和φ，輸出是每個(gè)車輪上的接觸點(diǎn)個(gè)數(shù)、每個(gè)接觸區(qū)中心點(diǎn)處的坐標(biāo)、接觸角、法向力、接觸斑處的壓縮量、接觸橢圓的大小以及接觸斑處的曲率半徑。根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]簡(jiǎn)化模型的結(jié)果，輪對(duì)的橫向位移不超過(guò)160 mm。若以輪對(duì)質(zhì)心作為參考坐標(biāo)，則橫向計(jì)算范圍較大，增加計(jì)算量。輪軸的質(zhì)心高度是500 mm，為了減少計(jì)算范圍，將輪對(duì)參考坐標(biāo)系移動(dòng)到鋼軌10 mm以上的頂部。此時(shí)，輪軸橫向位移不超過(guò)3 mm，可確定y的范圍為-3～3 mm。車輛通過(guò)R25 m曲線時(shí)，輪對(duì)最大搖頭角0.14 rad，確定α范圍為-0.15～ 0.15 rad。輪對(duì)最大側(cè)滾角為0.32 rad，確定φ的范圍為-0.4～0.4 rad。最大垂直位移小于1 mm，確定z的范圍從0～1 m。4自由度的組合數(shù)目為60×30×10×80。

按照上述流程創(chuàng)建Translohr導(dǎo)向輪軌的接觸狀態(tài)和輪軌力數(shù)表。圖10～圖12給出了垂向位移為3 mm，側(cè)滾角為-0.15 rad，橫向位移為-3～3 mm，搖頭角度為-0.15～0.15 rad時(shí)接觸狀態(tài)和輪軌力的計(jì)算結(jié)果。圖10是左側(cè)車輪接觸狀態(tài)數(shù)表，表中0代表沒(méi)有接觸點(diǎn)，1代表存在1個(gè)接觸點(diǎn)，2代表存在2個(gè)接觸點(diǎn)。圖11是左側(cè)輪緣部分輪軌法向力數(shù)表，可看出處于對(duì)應(yīng)表1中2個(gè)接觸點(diǎn)的位置時(shí)，才會(huì)存在輪緣部分接觸。其他情況下，輪緣部分的輪軌法向力為零。圖12為左側(cè)踏面部分輪軌法向力數(shù)表，可看出對(duì)應(yīng)圖10中存在接觸點(diǎn)時(shí)，就有踏面部分接觸；沒(méi)有接觸點(diǎn)時(shí)，踏面部分的輪軌法向力為零。

3.3 輪軌力計(jì)算結(jié)果的應(yīng)用

將上述輪軌力的計(jì)算結(jié)果代入到參考文獻(xiàn)[3]的動(dòng)力學(xué)仿真模型，仿真分析車輛曲線通過(guò)性能。

圖13給出了車輛通過(guò)R25 m曲線的仿真結(jié)果(車速20 km/h)。從圖中看出：在出緩和曲線段時(shí)，內(nèi)側(cè)導(dǎo)向輪在踏面、輪緣、鋼軌之間都存在接觸力，說(shuō)明出現(xiàn)同時(shí)接觸狀態(tài)，而外側(cè)導(dǎo)向輪僅僅只在踏面部分存在接觸力，說(shuō)明處于踏面接觸狀態(tài)。仿真得到的輪軌接觸狀態(tài)與實(shí)際線路R25 m曲線處觀察到的磨耗現(xiàn)象是一致的。

圖14給出了車輛通過(guò)R40 m曲線的仿真結(jié)果(車速30 km/h)，從圖中看出，2個(gè)導(dǎo)向輪都只是在踏面部分存在接觸力，說(shuō)明處于踏面接觸狀態(tài)，此時(shí)不會(huì)出現(xiàn)側(cè)磨現(xiàn)象。仿真得到的輪軌接觸狀態(tài)與實(shí)際線路R40 m曲線處觀察到的磨耗現(xiàn)象是一致的。

4 結(jié)論

針對(duì)Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪軌在橫向和垂向坐標(biāo)上并非一一映射的特殊關(guān)系，提出求解非映射輪軌力的計(jì)算方法。首先通過(guò)坐標(biāo)變換，將導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌非映射的輪軌幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換成為映射關(guān)系，然后采用彈性輪軌接觸的滲透量法求解導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌多點(diǎn)接觸問(wèn)題。為了便于動(dòng)力學(xué)仿真，建立了Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌的多維度接觸狀態(tài)表格。應(yīng)用上述方法得到導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌的多維度接觸狀態(tài)表格，仿真計(jì)算車輛在不同半徑曲線上的輪軌接觸狀態(tài)。得到結(jié)果顯示輪軌接觸狀態(tài)與實(shí)際觀察到的磨耗規(guī)律是一致的。

本文提出的非映射輪軌力計(jì)算方法能夠解決Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌三維多點(diǎn)接觸問(wèn)題，該方法同樣可擴(kuò)展到其他復(fù)雜外形非映射關(guān)系下的輪軌關(guān)系求解問(wèn)題。