關于《基于空間映射的區(qū)間灰數關聯度模型》的注記＊

吳聲

（寧夏科技發(fā)展戰(zhàn)略和信息研究所，寧夏 銀川 750000）

1 引言

灰色關聯分析是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分[1-3]。自灰色關聯分析方法創(chuàng)立以來，不斷有研究者根據實際需要構造出一系列的灰色關聯度量化模型[1-8]。其中，文獻[3-8]針對不同情況，以實數序列為研究對象，建立了各具特點的灰色關聯模型。文獻[1]以區(qū)間灰數序列為研究對象，基于空間映射的思想，將區(qū)間灰數序列轉換成面積序列和坐標序列后，對兩者灰色關聯度進行融合，最終得出原區(qū)間灰數的關聯度。本文是針對文獻[1]中有關的問題而提出的一個商榷。

文獻[1]中的模型沿用了實數序列灰色關聯度的思想，能起到計算區(qū)間灰數關聯度的效果，但是，在對文章進行深入分析后發(fā)現，“面積序列和坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列信息量相等”這一說法并不成立。本文在對原文模型進行簡單介紹的基礎上，逐步分析原文中的證明過程，得出原文證明過程中的公式推導過程是正確的，但隨后的結論卻難以成立。之后，我們通過列舉反例再次論證了證明過程無法導出原文的結論。

圖1 區(qū)間灰數的灰數帶及灰數層

2 基于空間映射的區(qū)間灰數關聯度模型簡介

文獻[1]提出的基于空間映射的區(qū)間灰數關聯度模型為：

通過面積轉換和坐標轉換將區(qū)間灰數序列轉換為實數序列群，面積序列為灰數層的面積序列，公式如下：

式（1）中：

坐標序列為灰數層梯形中位線中點的縱坐標序列，為：

式（3）中：

在進行坐標轉換后，文獻[1]給出了面積序列與坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列相等的性質，然后分別用鄧氏關聯度計算面積序列和坐標序列的灰色關聯度，最后對兩關聯度進行融合得到對應區(qū)間灰數序列的關聯度。

3 對文獻[1]區(qū)間灰數關聯度模型性質的商榷

3.1 原模型性質的證明過程及商榷所在

3.1.1 原證明過程

為了方便討論問題，下面先對文獻[1]中所提關聯度模型具有“面積序列與坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列相等”的性質的證明過程作一簡述。

由式（2）可知：（bi＋1－ai＋1）＝2S（ti）－2S（ti－1）＋…＋（－1）i（b2－a2）＝A.

由式（4）可知：（bi＋1+ai＋1）＝4w（ti）－4w（ti－1）＋…＋（－1）i（b2＋a2）＝B.所以，可得：

即：

基于式（5）、式（6）、式（7），原文給出如下結論，即“從證明過程中可以發(fā)現，根據面積序列和坐標序列中的元素，可以推導出對應的區(qū)間灰數。因此，面積序列和坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列相等。”

3.1.2 商榷要點所在

經過分析研究，我們認為上述證明過程中的公式推導過程是正確的，但隨后的結論卻難以成立。由式（5）、式（6）可知，ai＋1與bi＋1的值并不能僅由面積序列和坐標序列推出，還必須知道a2、b2的值。所以，原文中給出“根據面積序列和坐標序列中的元素就可以推導出對應的區(qū)間灰數”的結論是不成立的。也就是說，面積序列和坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列并不完全相等。

圖2 灰數序列與面積序列、坐標序列的關系圖

3.2 原模型性質否證的一個示例

為了進一步說明文獻[1]中的模型并不具有“面積序列和坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列相等”的性質，現舉一反例予以更直觀的分析說明。如圖2所示，區(qū)間灰數序1，2，3） ，僅知道面積序列S＝（S（t1），S（t2））和中位線中點坐標序列 W＝（w（t1），w（t2）），以線段 w（t1）w（t2）為軸，將圖形a1b1b2b3a3a2旋轉180°得到圖形圖a1b1b2b3a3a2的面積序列和中位線中點坐標序列相同，但是，對應的區(qū)間灰數卻不同，即在已知面積序列和坐標序列條件下，并不能推出對應的區(qū)間灰數序列。該例驗證了文獻[1]中關于“面積序列和坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列相等”的這一說法并不成立的結論。

3.3 原文所提性質的必要性商榷

考慮到“灰色關聯分析的基本思想是，根據序列曲線幾何狀況的相似程度來判斷其聯系是否緊密，曲線越接近，相應序列之間關聯度就越大，反之就越小。”[4]也就是說，灰色關聯度是兩組曲線接近程度的一個量化值。而曲線的接近程度如何度量沒有客觀、統(tǒng)一的方法，只要符合灰色關聯四公理[3]，都應是可以接受的度量方法。針對區(qū)間灰數關聯分析的情形，我們同樣認為只要不違背灰色關聯四公理，都應該是可以接受的。也就是說，如果無特別需要，我們沒有必要強求人工構造的灰色關聯度模型在四公理之外再一定滿足其他性質要求，比如文獻[1]聲稱的性質要求。本文的示例也證明了這一點。

4 結論

本文從灰色關聯分析的基本思想出發(fā)，對文獻[1]的成果進行了分析研究，得出以下結論：①文獻[1]中所提模型符合實數序列灰色關聯分析的基本思想，能夠達到計算區(qū)間灰數關聯度的目的，模型是科學可用的。②文獻[1]中對其聲稱的“面積序列和坐標序列含有的信息量與原區(qū)間灰數序列相等”的性質的證明存在瑕疵，其所提模型并不具有該性質。③考慮到區(qū)間灰數關聯度的本質含義，我們認為人工構造的區(qū)間灰數關聯度模型并不一定需要具備上述性質。此外，在對文獻[1]商榷的基礎上，我們基于空間映射思想，引入白化權函數，建立了一個全新的區(qū)間灰數關聯度模型[10]。