軸承溫度區(qū)間預(yù)測與穩(wěn)定性分析

時保吉

(新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學院，河南 新鄉(xiāng) 453006)

滾動軸承服役期間的溫度變化狀態(tài)直接影響主軸系統(tǒng)的工作性能和使用壽命。摩擦熱使軸承溫升嚴重，熱膨脹會使軸承軸向移動、徑向伸長，改變主軸系統(tǒng)的剛度，進而影響主軸精度及后續(xù)加工質(zhì)量，嚴重情況下會使軸承損壞，整個傳動系統(tǒng)無法正常工作。由于滾動軸承向著低摩擦、長壽命、高轉(zhuǎn)速等方向發(fā)展，軸承溫度的實時運轉(zhuǎn)狀態(tài)逐漸成為用戶普遍關(guān)心的問題，只有掌握了在不同工況下軸承系統(tǒng)內(nèi)部的溫度區(qū)間分布及其穩(wěn)定性演變規(guī)律，才能對軸承進行合理的維修與預(yù)測[1-3]。

隨著對軸承溫度指標的不斷重視，有必要對其發(fā)熱機理、溫度波動及穩(wěn)定性進行分析探討。軸承溫度的區(qū)間波動直接關(guān)系到軸承工作期間能否充分發(fā)揮其性能，溫度時間序列伴隨有軸承性能本身的固有演變規(guī)律，從中可提取有用信息進行穩(wěn)定性變異分析，進而預(yù)測未來時間段內(nèi)軸承運轉(zhuǎn)性能有無故障隱患。所以，滾動軸承的工作溫度區(qū)間預(yù)測和穩(wěn)定性分析研究可及時發(fā)現(xiàn)軸承故障隱患且具有重要的現(xiàn)實意義[4-6]。同時還可以引導對設(shè)計方案、工藝流程或結(jié)構(gòu)材料進行合理的改進，提高軸承的壽命和可靠性[7]。

目前從軸承動力學角度研究滾動軸承的摩擦熱計算是研究重點[8-10]，而文中在軸承溫度試驗的基礎(chǔ)上，基于溫度性能數(shù)據(jù)的時間序列，通過灰自助法[11-13]建立軸承溫度區(qū)間預(yù)測模型，分析其隨時間演變的區(qū)間波動情況；基于模糊集合理論[14-15]進行軸承溫度穩(wěn)定性分析，將原始數(shù)據(jù)分段處理并評估每段時間數(shù)據(jù)序列的演變跡象，綜合討論軸承溫度的穩(wěn)定性變化情況。

1 數(shù)學模型

1.1 灰自助法

1.1.1 溫度的灰自助預(yù)測模型

設(shè)軸承工作溫度的時間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(n),…,x(N))，

(1)

式中：x(n)為溫度時間序列中第n個數(shù)據(jù)；N為總數(shù)據(jù)個數(shù)。從X中按一定規(guī)律，等概率可放回地抽樣，抽取N次，得到第1個自助樣本，該樣本包含N個數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B次，得到B個自助再抽樣樣本，表示為

Ψ=(Ψ1,Ψ2,…,Ψb,…,ΨB)，

(2)

Ψb=(ψb(1),ψb(2),…,ψb(N))，

(3)

式中：Ψb為自助樣本的第b個樣本。

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，設(shè)Ψb的一次累加生成序列向量為

Γb=(γb(1),γb(2),…,γb(n),…,γb(N)) ，

(4)

(5)

則灰色預(yù)測模型定義為

(6)

式中：c1，c2為待定系數(shù)。

設(shè)均值生成序列向量為

Zb=(zb(2),zb(3),…,zb(n),…,zb(N))，

(7)

zb(n)=(0.5γb(n)+0.5γb(n-1))；

n=2,3,…,N。

(8)

利用初始條件γb(1)=ψb(1)，得到灰微分方程的最小二乘解為

(9)

(10)

D=(-Zb,Ι)T，

(11)

Ι=(1,1,…,1)。

(12)

根據(jù)累減生成，則軸承溫度序列n+1時刻的預(yù)測值為

(13)

在n+1時刻有B個數(shù)據(jù)，可以構(gòu)成序列向量

(14)

由于B很大，因此可以用Y建立n時刻關(guān)于軸承溫度屬性x的頻率函數(shù)

Fw=Fw(x)，

(15)

式中：Fw為灰自助頻率函數(shù)或灰自助分布。

1.1.2 區(qū)間估計

當顯著性水平為α∈[0,1]，其置信水平為

P=(1-α)×100%。

(16)

置信水平為P時，根據(jù) (15) 式的頻率函數(shù)進行區(qū)間估計

[XL,XU]=[Xα/2,X1-α/2]，

(17)

式中：Xα/2為對應(yīng)頻數(shù)為α/2的參數(shù)值x；X1-α/2為對應(yīng)頻數(shù)為1-α/2的參數(shù)值x；XL為估計區(qū)間的溫度下限值；XU為估計區(qū)間的溫度上限值。

1.2 模糊關(guān)系穩(wěn)定系數(shù)求取

1.2.1 模糊等價關(guān)系及其意義

在進行軸承溫度性能穩(wěn)定性分析時使用的是模糊等價關(guān)系，然而在工程問題中得到的常常是模糊相似關(guān)系，因此，必須人為地將模糊相似關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槟：葍r關(guān)系。用模糊集合理論的傳遞閉包法可獲得軸承溫度時間序列的模糊等價關(guān)系，求解方法如下。

將軸承溫度數(shù)據(jù)分為m組，即每套軸承的溫度數(shù)據(jù)可分為m個樣本

Zi=(Zi1,Zi2,…,Zil,…,Zis)；

l=1,2,…,s；i=1,2,…,m，

(18)

從而構(gòu)成一個集合

(19)

式中：m為樣本數(shù)；s為每個溫度的樣本量；Zil為第i個樣本的第l個數(shù)據(jù)。

對于任意的模糊關(guān)系R，如果存在

T(R)=Rh-1=Rh=…；h=1,2,3,… ，

(20)

式中：T(R)為模糊等價關(guān)系，并按照上式依次可以求出，步驟為

第1步，求出R2=R○R；

第2步，求出R4=R2○R2；

……

第q步，直到求出R2q=Rq為止。其中，運算符“○”為矩陣的模糊運算M(∧,∨)，“∨”表示“或”運算取最大，“∧”表示“與”運算取最小。如A=(0.7,0.4,0.2)，B=(0.3,0.6,0.4)，則A○B(yǎng)T=(0.7∧0.3)∨(0.4∧0.6)∨(0.2∧0.4)= 0.3∨0.4∨0.2=0.4。

則Rq就是要求得的模糊等價關(guān)系T(R)，即模糊集合理論的傳遞閉包

T(R)=Rq，

(21)

且

(22)

其中，0≤αil≤1，

(23)

式中：αil表示軸承溫度原始數(shù)據(jù)中第i個溫度樣本Zi和第l個溫度樣本Zl的模糊等價關(guān)系，亦即Zi特征和Zl特征的符合程度，也叫模糊等價關(guān)系性系數(shù)。

αil的意義為：

1)若αil接近于1，則說明Zi和Zl這2個樣本的特征符合程度極高，兩者之間的變異程度小。

2)若αil接近于0，則說明Zi和Zl這2個樣本的特征符合程度極低，兩者之間的變異程度大。

3)特別地，當αil=1時，則說明Zi和Zl完全一樣，不存在任何的性能差異；當αil=0時，Zi和Zl毫不相干，兩者存在著明顯的變異。

據(jù)此可以進行軸承溫度穩(wěn)定性的診斷和分析。在實際工程中，αil=1和αil=0是幾乎不存在的。此時可以依據(jù)模糊數(shù)概念、最優(yōu)水平λ或λ水平截集來診斷軸承溫度退化情況存在的顯著性。

1.2.2 穩(wěn)定性判斷依據(jù)

在模糊集合論中，0和1可以分別表示事件的真和假2個極端狀態(tài)，0表示事件中的2個實體是毫無關(guān)聯(lián)的，1表示2個實體絕對的緊密關(guān)聯(lián)或關(guān)系絕對清晰，可以用λ水平或λ水平截集來診斷軸承溫度穩(wěn)定性變異存在的顯著性。

若αil>λ，

(24)

則溫度樣本Zi和Zl在λ水平下彼此之間不存在穩(wěn)定性變異。

若αil≤λ，

(25)

則溫度樣本Zi和Zl在λ水平下彼此之間存在明顯的穩(wěn)定性變異。

根據(jù)模糊集合理論，λ為研究對象從一個極端屬性過渡到另一極端屬性的邊界值。當λ=0.5時軸承的2個溫度樣本模糊性達到最大，介于較難分辨的真與假之間；當λ≥0.5時溫度樣本Zi和樣本Zl關(guān)系趨于清晰，相似度較高且兩者之間未發(fā)生穩(wěn)定性變異[16]。實際計算分析中一般令λ=0.4～0.5，當試驗數(shù)據(jù)較少時(如n≤200)，λ=0.4是真實可行的。所以，為軸承運轉(zhuǎn)更加安全可靠考慮，數(shù)據(jù)分析時取λ=0.5。

1.2.3 穩(wěn)定性演變的模糊特征

定義穩(wěn)定系數(shù)集合為

U=(u1,u2,…,uj,…,um-1)，

(26)

(27)

式中：uj為穩(wěn)定系數(shù)，即模糊等價關(guān)系αil的分段均值；m為樣本含量；j為各樣本采樣的時間先后順序，即時間序號。

根據(jù)穩(wěn)定系數(shù)uj判斷軸承溫度的性能演變跡象，當uj>λ=0.5，表明軸承工作期間溫度性能保持良好的運轉(zhuǎn)特性；uj﹤λ=0.5，表明軸承運轉(zhuǎn)期間穩(wěn)定性下降，溫度變化趨勢較為明顯(溫度快速上升)，即溫度發(fā)生顯著變異，應(yīng)當立即發(fā)出警報，停止軸承運行，及時檢查，尋找隱患，避免惡性事故發(fā)生。

2 試驗研究

以滾動軸承壽命強化試驗為例，試驗機型號為ABLT-1A，試驗電動機轉(zhuǎn)速為4 950 r/min，室溫為26 ℃，濕度為53%，施加徑向載荷為13.2 kN。試驗時間及軸承溫度信息由計算機控制系統(tǒng)自動累積顯示，溫度信號采集頻率為每10 min采樣1次，試驗一共進行2次，2套試驗軸承型號均為H7008C，分別標記為軸承A和軸承B。計算機累積采集50次信號，即試驗共進行500 min，所得滾動軸承溫度信號的時間序列如圖1、圖2所示。

圖1 軸承A溫度原始數(shù)據(jù)序列

圖2 軸承B溫度原始數(shù)據(jù)序列

由圖可知，滾動軸承溫度-時間序列呈現(xiàn)出明顯的隨機性，與時間的關(guān)系是非線性的。溫度灰自助預(yù)測模型的最大優(yōu)點是能有效地預(yù)報出該類具有明顯不確定性時間序列的區(qū)間波動，并將其穩(wěn)定性情況量化分析，進而準確地挖掘出滾動軸承性能退化的內(nèi)在演變機制。

2.1 區(qū)間預(yù)報

取前n=6 個數(shù)據(jù)，用灰自助法預(yù)報滾動軸承溫度變化的區(qū)間，并用剩余的 50-n=44 個數(shù)據(jù)檢驗靜態(tài)預(yù)報的可靠性，找到超出預(yù)報區(qū)間的個數(shù)，進而得到誤報率?；易灾ㄗ畲筇攸c是允許小樣本事件，且概率分布及趨勢變化均未知的乏信息問題。設(shè)置信水平P=97.73%,用灰自助法預(yù)報時，取B=10 000，N=6，預(yù)報結(jié)果見表1。

表1 2套軸承溫度區(qū)間預(yù)報分析

通過對上述軸承溫度的試驗研究發(fā)現(xiàn)，在無需概率分布的任何信息和數(shù)據(jù)個數(shù)很少的情況下，灰自助法可以真實預(yù)報軸承溫度參數(shù)的總體波動特征。由表1可知，在P=97.73%的置信水平下，使用灰自助法區(qū)間預(yù)報的上下限差值較小，軸承A的區(qū)間差值為1.52，軸承B的區(qū)間差值稍大，但僅為4.52，說明預(yù)報精度較高。

另外，在利用后44個數(shù)據(jù)進行模型驗證過程中，2套軸承超出預(yù)報區(qū)間的個數(shù)均極少,軸承A，B的超出個數(shù)分別為1和3，表明預(yù)測結(jié)果理想可靠，可用于工程實際中的在線監(jiān)測?；诨易灾ǖ膮^(qū)間誤報率最高僅為6.82%，最低為2.27%，即此次溫度區(qū)間預(yù)報的可靠程度在93.18%～97.73%，所以該方法進行軸承溫度區(qū)間預(yù)報時能夠保持較好的正確性與可靠性。

2.2 穩(wěn)定性分析

2.2.1 軸承A試驗案例

樣本個數(shù)為m=10，每個樣本的樣本含量為s=5，共有50個數(shù)據(jù)。

Z1=[40.9 41.2 41.9 41.6 41.6]，

Z2=[41.6 40.9 41.3 40.8 41.6]，

Z3=[41.2 41.8 41.4 41.2 41.5]，

Z4=[41.2 41.5 41.8 42.0 41.5]，

Z5=[41.4 41.4 41.6 41.8 41.6]，

Z6=[41.4 41.3 41.6 41.9 41.4]，

Z7=[41.6 41.5 41.6 41.9 41.7]，

Z8=[41.8 42.0 41.2 41.5 41.5]，

Z9=[41.8 41.1 41.3 41.6 41.8]，

Z10=[42.1 41.5 42.0 41.9 41.7]。

計算后得到模糊等價關(guān)系矩陣為

穩(wěn)定系數(shù)集合為

U=[ 0.733 0.723 0.723 0.708 0.712 0.707 0.663 0.662 0.714]，

結(jié)果如圖3所示。

圖3 軸承A溫度序列的穩(wěn)定系數(shù)

由圖1軸承A溫度的原始數(shù)據(jù)分布可知，原始數(shù)據(jù)的一般規(guī)律基本符合均勻分布，每組數(shù)據(jù)之間的差異很小，即數(shù)據(jù)之間的關(guān)系為穩(wěn)定的(由原始數(shù)據(jù)直接得到)。

為準確量化這一穩(wěn)定性特征，根據(jù)模糊集合理論得到軸承A的穩(wěn)定系數(shù)u(圖3)。由圖1可知，隨著j的變化，uj的變化很小，且uj min=0.662>λ=0.5，即軸承運轉(zhuǎn)期間溫度沒有明顯的增大趨勢，表明該時間段內(nèi)軸承服役狀態(tài)良好，各分組樣本之間保持良好的一致性。因此，軸承A各分組樣本之間不存在穩(wěn)定性變異，溫度保持穩(wěn)定的變化態(tài)勢，進而說明軸承保持著高度穩(wěn)定的運轉(zhuǎn)性能。

2.2.2 軸承B試驗案例

樣本個數(shù)為m=10，每個樣本的樣本含量為s=5，共有50個數(shù)據(jù)。

Z1=[37.8 36.6 35.9 36.5 37.6]，

Z2=[36.1 36.5 37.7 38.0 37.9]，

Z3=[37.7 37.8 38.2 37.2 36.5]，

Z4=[36.1 37.0 37.0 37.3 38.3]，

Z5=[38.2 38.0 37.6 37.1 36.5]，

Z6=[36.3 37.0 37.1 37.1 37.2]，

Z7=[37.4 36.6 37.6 37.0 36.8]，

Z8=[37.9 37.3 36.7 37.1 36.9]，

Z9=[36.9 37.2 37.4 37.3 37.7]，

Z10=[38.2 38.9 39.5 41.4 43.1]。

計算后得到模糊等價關(guān)系矩陣為

穩(wěn)定系數(shù)集合為

U=[ 0.633 0.660 0.636 0.615 0.620 0.577 0.552 0.479 0.366]，

結(jié)果如圖4所示。

圖4 軸承B溫度序列的穩(wěn)定系數(shù)

由圖2軸承B溫度的原始數(shù)據(jù)分布可知，數(shù)據(jù)的一般規(guī)律為：前400 min軸承溫度的上下波動比較平穩(wěn)，分布趨勢雖然具有明顯的隨機性，但溫度都是在均值附近上下波動；后100 min軸承溫度明顯的非線性上升，此時軸承內(nèi)部可能存在故障隱患(由原始數(shù)據(jù)直接得到)。

為具體量化這一退化規(guī)律，各時間段的穩(wěn)定系數(shù)如圖4所示，穩(wěn)定系數(shù)呈現(xiàn)出下降態(tài)勢，表明軸承溫度序列逐漸趨于不穩(wěn)定：前7個穩(wěn)定系數(shù)均大于閾值0.5，后2個穩(wěn)定系數(shù)小于閾值0.5，則說明后兩段溫度序列已發(fā)生十分明顯的惡性變異，軸承B運轉(zhuǎn)已不再穩(wěn)定可靠，后100 min的溫度性能存在明顯的穩(wěn)定性變異，此時應(yīng)當立即發(fā)出警報，停止軸承運行。軸承運轉(zhuǎn)穩(wěn)定性的量化結(jié)果與原始數(shù)據(jù)直接分析結(jié)果保持良好的一致性。

2.3 小結(jié)

綜上，軸承溫度的區(qū)間預(yù)測準確度高、可靠性強、誤報率低，能較好地反映軸承溫度波動情況，有效預(yù)報出軸承未來工作狀態(tài)下的溫度信息，為實現(xiàn)軸承溫度的在線測量評估提供理論依據(jù)。另外，2套軸承的穩(wěn)定系數(shù)很好地識別出其溫度信號的演變規(guī)律，軸承A穩(wěn)定系數(shù)較高，運轉(zhuǎn)穩(wěn)定，溫度性能未發(fā)生變異；軸承B穩(wěn)定系數(shù)逐漸降低，最后兩小段低于0.5，運轉(zhuǎn)不穩(wěn)定，后100 min的溫度性能發(fā)生明顯變異，需要及時檢查，尋找隱患，避免惡性事故的發(fā)生。因此，所提出的灰自助法可以有效地預(yù)測軸承溫度區(qū)間波動狀態(tài)，模糊關(guān)系的穩(wěn)定系數(shù)可準確的監(jiān)控軸承溫度時間序列的退化狀況。

3 結(jié)論

1)基于灰自助法和模糊穩(wěn)定系數(shù)法提出的時間數(shù)據(jù)序列的溫度區(qū)間預(yù)測和穩(wěn)定性分析模型，可在研究對象的性能參數(shù)、先驗信息、概率密度、趨勢項均未知的情況下，準確預(yù)測軸承溫度區(qū)間波動和穩(wěn)定性變異狀況，從而實現(xiàn)對軸承組件在運轉(zhuǎn)期間溫度的狀態(tài)估計。

2)在溫度區(qū)間預(yù)報過程中，實時準確地預(yù)測出兩軸承溫度區(qū)間波動變化情況：軸承A的誤報率為2.27%，軸承B的誤報率稍高，但僅為6.82%，進而驗證了溫度預(yù)報方法的正確性與可靠性。

3)軸承A的uj min=0.662 >λ=0.5，說明該軸承工作期間保持良好的穩(wěn)定性，未發(fā)生性能變異；軸承B的uj min=0.366﹤λ=0.5，表明該時刻軸承運轉(zhuǎn)情況惡劣，運行狀況發(fā)生明顯變異，當立即發(fā)出警報，停止軸承運行，及時檢查，尋找隱患。

4)結(jié)合軸承溫度預(yù)測區(qū)間和穩(wěn)定系數(shù)變化曲線，可實時評估軸承溫度性能的演變過程，對軸承服役狀態(tài)實現(xiàn)動態(tài)的在線自我監(jiān)測。