牛頓第二定律在系統(tǒng)中的應(yīng)用

陜西 孫冬子 賈安娜

牛頓第二定律是牛頓運動定律的核心，同時也是高考考查的重點內(nèi)容，而在高中階段，我們經(jīng)常只將牛頓第二定律應(yīng)用于單個物體或由運動狀態(tài)相同的物體所組成的系統(tǒng)，而對于由運動狀態(tài)不同的物體所組成的系統(tǒng)我們更多地使用整體法、隔離法，那么對于此類系統(tǒng)能否應(yīng)用牛頓第二定律呢？本文將舉例說明。

如圖1所示，質(zhì)量為m1的長木板和質(zhì)量為m2的滑塊疊放在粗糙的水平面上，長木板與地面間動摩擦因數(shù)為μ，某時刻分別給長木板和滑塊一瞬時沖量，讓它們以不同的初速度開始運動，設(shè)運動過程中長木板和滑塊的加速度分別為a1和a2，長木板受到滑塊施加的摩擦力為f1,滑塊受到長木板施加的摩擦力為f2，分別以長木板和滑塊為研究對象，由牛頓第二定律得

圖1

m1a1=μ(m1+m2)g+f1

m2a2=f2

上面兩式左右相加得：

m1a1+m2a2=μ(m1+m2)g+f1+f2

由牛頓第三定律知f1與f2等大反向，因此有

m1a1+m2a2=μ(m1+m2)g

由上式得，系統(tǒng)所受合外力等于系統(tǒng)內(nèi)各物體質(zhì)量與其加速度乘積的矢量和。由此可見，牛頓第二定律同樣可以應(yīng)用于由運動狀態(tài)不同的物體所組成的系統(tǒng)。

【例題】如圖2所示，傾角為θ的固定光滑斜面上有一可自由滑動、質(zhì)量為M的木板，木板上站著一個質(zhì)量為m的人，求：

圖2

(1)為了使木板與斜面保持相對靜止，人運動的加速度；

(2)為了使人與斜面保持相對靜止，木板運動的加速度？

【解析】解法一：

(1)為了使木板與斜面保持相對靜止，人應(yīng)給木板施加沿斜面向上的摩擦力f，所以人應(yīng)加速向下跑。設(shè)人沿斜面向下加速度為a人，現(xiàn)分別對木板和人應(yīng)用牛頓第二定律。

木板和人受力如圖3甲、乙所示，有

圖3

木板沿斜面方向Mgsinθ=f

人沿斜面方向mgsinθ+f′=ma人

且f=f′

(2)為了使人與斜面保持靜止，木板應(yīng)給人施加沿斜面向上的摩擦力f′，所以人相對木板向上跑，而木板相對斜面加速下滑，設(shè)木板沿斜面向下的加速度為a木，現(xiàn)分別對人和木板應(yīng)用牛頓第二定律。

木板和人受力如圖4甲、乙所示

圖4

木板沿斜面方向Mgsinθ+f=Ma木

人沿斜面方向mgsinθ=f′

且f=f′

解法二：

(1)以人和木板組成的系統(tǒng)為研究對象，木板與斜面保持相對靜止，所以木板的加速度為零，為了使木板與斜面保持相對靜止，人應(yīng)加速向下跑，設(shè)人沿斜面向下加速度為a人，現(xiàn)對木板和人組成的系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律。

木板和人組成的系統(tǒng)受力如圖5所示，則對系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律有

圖5

(M+m)gsinθ=ma人

(2)同理，以人和木板組成的系統(tǒng)為研究對象，人與斜面保持相對靜止，所以人的加速度為零，為了使人與斜面保持相對靜止，人應(yīng)相對于木板向上跑，木板沿斜面加速下滑，設(shè)木板沿斜面向下加速度為a木，現(xiàn)對木板和人組成的系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律。

木板和人組成的系統(tǒng)受力如圖5所示

(M+m)gsinθ=Ma木

【變式】如圖所示，質(zhì)量為M′,傾斜角為θ，且上表面光滑的斜面體靜止在粗糙水平面上，斜面上有一質(zhì)量為M的長木板，長木板上站了一個質(zhì)量為m的人，求:

圖6

(1)當(dāng)人相對斜面加速向下跑時，長木板、斜面體相對水平面靜止，則斜面體受到的支持力和摩擦力分別為多大；

(2)當(dāng)人相對長木板向上跑時，人、斜面體相對水平面靜止，則斜面體受到的支持力和摩擦力分別為多大？

【解析】解法一：

圖7

水平方向有fx=ma人cosθ=(M+m)gsinθcosθ。

豎直方向有mg-fy=ma人sinθ

fy=mg-(M+m)gsin2θ

由于長木板、斜面體處于平衡狀態(tài)，所以將兩者看作一整體，由牛頓第三定律可知，人對整體有水平向右和豎直向下的作用力，大小分別與fx和fy相等，設(shè)斜面體受到水平面的支持力和摩擦力分別為f支和f摩，整體受力如圖8所示。由平衡關(guān)系可得

(M′+M)g圖8

水平方向有f摩=fx=(M+m)gsinθcosθ

豎直方向有

f支=fy+(M′+M)g

=(M′+M+m)g-(M+m)gsin2θ

圖9 圖10

fx=f木cosθ

fy=f木sinθ

圖11

豎直方向有

=(M′+M+m)g-(M+m)gsin2θ

解法二：

水平方向有f摩=ma人cosθ=(M+m)gsinθcosθ

豎直方向有(M′+M+m)g-f支=ma人sinθ

f支=(M′+M+m)g-(M+m)gsin2θ

(2)同理可得

水平方向有f摩=Ma木cosθ=(M+m)gsinθcosθ

豎直方向有(M′+M+m)g-f支=Ma木sinθ

f支=(M′+M+m)g-(M+m)gsin2θ