“假設(shè)”誠(chéng)可貴、“證明”價(jià)更高
——以一道典型力學(xué)試題的正解和錯(cuò)解為例

河北 周來(lái)友

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖所示，質(zhì)量為M=10.5 kg的物體靜止放在臺(tái)秤上，秤盤(pán)的質(zhì)量為m=1.5 kg，彈簧本身的質(zhì)量不計(jì)，勁度系數(shù)k=800 N/m，臺(tái)秤放在水平面上?，F(xiàn)給物體施加一個(gè)豎直向上的力F，使物體向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知力F在0.2 s內(nèi)為變力，0.2 s后為恒力，求F的最大值和最小值。(重力加速度g=10 m/s2)

此題乍一看，難度不大。但是，如果不認(rèn)真審題，不仔細(xì)研究已知條件，不能全面把握物體和秤盤(pán)的完整運(yùn)動(dòng)過(guò)程，解答此題未必會(huì)順利。下面，就讓我們一起對(duì)這道題的錯(cuò)解和正解情況進(jìn)行品讀，從中體會(huì)如何應(yīng)用假設(shè)法解答物理問(wèn)題。

二、錯(cuò)解點(diǎn)評(píng)

【錯(cuò)解一】由題意可知，彈簧在0.2 s這一時(shí)刻恢復(fù)原長(zhǎng)，此時(shí)，物體和秤盤(pán)恰好分離，物體或秤盤(pán)運(yùn)動(dòng)的位移就等于彈簧靜止時(shí)被壓縮的長(zhǎng)度，這一時(shí)刻秤盤(pán)和物體之間沒(méi)有彈力，此時(shí)F最大。

設(shè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可得

由整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)總重力等于彈力可得

(M+m)g=ks②

由①②聯(lián)立，解得a=7.5 m/s2

系統(tǒng)剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)力F最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×7.5 N=90 N

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到0.2 s時(shí)，力F最大(以后恒定不變)，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+7.5) N=183.75 N。

【點(diǎn)評(píng)】認(rèn)為在0.2 s這一時(shí)刻彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)經(jīng)不起推敲。照此說(shuō)法，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)秤盤(pán)所受彈力為零，速度為零，加速度也為零,則此時(shí)秤盤(pán)在自身重力的作用下，要從速度為零開(kāi)始向下做加速運(yùn)動(dòng)，而物體的加速度不變也不為零,速度還在均勻增加。這意味著物體與秤盤(pán)早就在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)之前早就已經(jīng)分離?？梢?jiàn)，當(dāng)兩者恰好分離的時(shí)刻，彈簧并沒(méi)有恢復(fù)原長(zhǎng)。

【錯(cuò)解二】當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到0.2 s時(shí)，秤盤(pán)和物體之間的彈力為零，此時(shí)彈簧的彈力等于秤盤(pán)的重力，物體與秤盤(pán)分離，此時(shí)F最大，物體做勻加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為

系統(tǒng)剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，力F最小，最小值為

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到0.2 s時(shí)，力F最大(以后恒定不變),最大值為

【點(diǎn)評(píng)】此種想法距離正確答案只有一步之遙，遺憾的是認(rèn)為物體運(yùn)動(dòng)0.2 s時(shí)，彈簧的彈力等于秤盤(pán)的重力。照此說(shuō)法，這一時(shí)刻秤盤(pán)所受合力為零，加速度也變?yōu)榱?，但物體的加速度并不為零。這意味著物體與秤盤(pán)早就在彈簧的彈力等于自身重力之前早就已經(jīng)分離。可見(jiàn)，兩者恰好分離的時(shí)刻，彈簧的彈力并不等于秤盤(pán)的重力。

以上兩種錯(cuò)解的原因主要是：對(duì)物體和秤盤(pán)在分離前、分離時(shí)、分離后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程所包含的受力情況、力的變化、運(yùn)動(dòng)的速度和加速度等每個(gè)要素如何變化根本不清楚。給人的感覺(jué)好像就是通過(guò)假設(shè)兩者分離的臨界狀態(tài)來(lái)解答本題。物理需要假設(shè)，但假設(shè)要有理有據(jù)，無(wú)根據(jù)的假設(shè)對(duì)解決問(wèn)題毫無(wú)意義。

三、正解分析

1.如果對(duì)物體不施加豎直向上的力F，設(shè)彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為x0，則系統(tǒng)受到豎直向上的彈力大小為kx0。由題意可知，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)(規(guī)定為0時(shí)刻，時(shí)間記為0),有kx0=(M+m)g成立。

2.現(xiàn)在給物體施加一個(gè)豎直向上的力F以后，由題中對(duì)F的限定可知，F(xiàn)必須保證使物體由靜止?fàn)顟B(tài)變?yōu)橄蛏献鰟蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，且物體的加速度始終為a。顯而易見(jiàn)，物體由靜止動(dòng)起來(lái)的同時(shí)秤盤(pán)也跟著動(dòng)起來(lái)，只要兩者不分離始終就可以看成是一個(gè)系統(tǒng)，故分離前秤盤(pán)運(yùn)動(dòng)的加速度也是a。

3.分離前，在豎直方向上，秤盤(pán)受到彈簧給的向上的彈力F彈、自身向下的重力mg、物體給的向下的壓力F2這三個(gè)力的作用，而物體則受到向上的力F、自身向下的重力Mg、秤盤(pán)給的向上的支持力F1這三個(gè)力的作用，且F1=F2。

4.顯然，在整個(gè)系統(tǒng)剛剛動(dòng)起來(lái)的瞬間，注意這一時(shí)刻速度可視為0，時(shí)間可記為0時(shí)刻，彈簧被壓縮產(chǎn)生的豎直向上的彈力可視為來(lái)不及減小，故其大小仍然等于系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的彈力，即等于系統(tǒng)的重力，此時(shí)刻彈力最大。所以，使物體(或系統(tǒng))剛好由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)起來(lái)的這一時(shí)刻，力F的值最小。找準(zhǔn)研究對(duì)象采用整體法或隔離法進(jìn)行受力分析，并由牛頓第二定律可得，最小值等于(M+m)a。請(qǐng)看下面的證明。

【證明一】用隔離法和整體法

在0時(shí)刻，kx0=(M+m)g，相互作用力F1=F2

由牛頓第二定律得

對(duì)物體：F+F1-Mg=Ma①

對(duì)秤盤(pán)：kx0-F2-mg=ma②

由①②相加可得，F(xiàn)=(M+m)a。

【證明二】用整體法

把物體和秤盤(pán)看成一個(gè)系統(tǒng)，由牛頓第二定律得

F+kx0-(M+m)g=(M+m)a

因?yàn)橄到y(tǒng)剛剛動(dòng)起來(lái)時(shí)kx0=(M+m)g

所以F=(M+m)a。

5.已知力F在0.2 s內(nèi)為變力，F(xiàn)在0.2 s內(nèi)究竟是逐漸變大還是逐漸變??？因整個(gè)系統(tǒng)向上運(yùn)動(dòng)，彈簧彈力因彈簧的伸長(zhǎng)會(huì)逐漸減小，而加速度a不變，所以對(duì)整個(gè)系統(tǒng)利用牛頓第二定律進(jìn)行分析可知，力F在0.2 s內(nèi)逐漸增大。

【證明】對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，由牛頓第二定律可得

F+F彈-(M+m)g=(M+m)a

因?yàn)閍、M、m、g是常數(shù)，所以F+F彈也是常數(shù)。又因?yàn)镕彈在不斷減小，所以F逐漸增大。

6.既然力F在0.2 s內(nèi)逐漸增大，而物體的加速度又始終保持不變，當(dāng)然包括在0.2 s內(nèi)物體所受合力的大小、方向始終保持不變，即使以后F變?yōu)楹懔?，物體和秤盤(pán)分離時(shí)也是如此。這就出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：在0.2 s內(nèi)，物體和秤盤(pán)之間的相互作用力F1(或F2)怎樣變化？再次利用牛頓第二定律進(jìn)行分析可知，F(xiàn)1(或F2)應(yīng)該是逐漸減小。

【證明】對(duì)物體，由牛頓第二定律可得

F+F1-Mg=Ma

因?yàn)閍、M、g是常數(shù)，所以F+F1是常數(shù)

又因?yàn)镕逐漸增大，所以0.2 s內(nèi)F1(或F2)逐漸減小。

7.分析至此，我們對(duì)已知條件“力F在0.2 s內(nèi)為變力，0.2 s后為恒力”進(jìn)行探討，而這也正是解答本題的關(guān)鍵所在。在0.2 s這一時(shí)刻將會(huì)是一種怎樣的情形呢？采用假設(shè)法并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析可知，物體和秤盤(pán)只能是在0.2 s這一時(shí)刻恰好分離；當(dāng)然，借助數(shù)學(xué)極限或是微積分的思想也能猜出此時(shí)刻兩者分離。除此之外別無(wú)二選，否則會(huì)和已知條件相悖；也會(huì)和前面得出的0.2 s內(nèi)F1(或F2)逐漸減小，力F在0.2 s內(nèi)逐漸增大這些結(jié)論相悖。為了叫大家對(duì)用假設(shè)法分析問(wèn)題引起足夠的重視，筆者仍想做以下陳述。

【證明】假設(shè)物體和秤盤(pán)在0.2 s這一時(shí)刻不分離，接下來(lái)我們分兩種情況展開(kāi)推理。

(1)設(shè)兩者在t0(t0<0.2 s)時(shí)分離。此時(shí)物體只受向上的力F和向下的重力Mg兩個(gè)力的作用，加速度為a。由牛頓第二定律可得，F(xiàn)=Ma+Mg。很顯然F是一個(gè)常數(shù)，這說(shuō)明力F在t0(t0<0.2 s)內(nèi)為變力，在t0(t0<0.2 s)及其以后為恒力。這和已知條件“力F在0.2 s內(nèi)為變力，0.2 s 后為恒力”相矛盾。故假設(shè)不成立。

(2)設(shè)兩者在t0(t0>0.2 s)時(shí)分離。同理可證假設(shè)不成立。

既然假設(shè)不成立，說(shuō)明兩者就在0.2 s這一時(shí)刻恰好分離。

8.在0.2 s之前，它們之間的相互作用力F1、F2是逐漸減小的，力F是逐漸增大的。因此，借助數(shù)學(xué)極限或是微積分的思想，不難猜出在0.2 s時(shí)，F(xiàn)1、F2減小到零，而F增大到最大。當(dāng)然，采用假設(shè)法并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析也會(huì)得到同樣的結(jié)論，證明從略。

分離時(shí)，物體只受豎直向上的力F和自身重力這兩個(gè)力的作用(注意加速度依然為a)，由牛頓第二定律不難得出，此時(shí)力F的最大值為M(g+a)。0.2 s后，力F以最大值為恒力大小,保持不變。

【證明】在0.2 s這一時(shí)刻，物體與秤盤(pán)恰好分離時(shí)，此時(shí)對(duì)物體，由牛頓第二定律可得，F(xiàn)-Mg=Ma，解得F=M(g+a)。

9.分離時(shí)，秤盤(pán)只受向上的彈力F彈和自身重力mg這兩個(gè)力的作用，分離后顯然如此。只是分離后，即0.2 s后，彈簧在逐漸伸長(zhǎng)，彈力在逐漸減小，則秤盤(pán)所受合力自然也逐漸減小，導(dǎo)致秤盤(pán)的加速度逐漸減小，以后會(huì)減小到零，那時(shí)速度達(dá)到最大；可在0.2 s以前，秤盤(pán)的加速度一直為a。因此，我們?nèi)匀唤柚跀?shù)學(xué)極限或是假設(shè)法等思想，不難得出在0.2 s這一時(shí)刻秤盤(pán)的加速度依然為a的結(jié)論，證明從略。

10.分離以后，即0.2 s以后，物體繼續(xù)向上做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。由于彈簧彈力在逐漸減小,因此秤盤(pán)一開(kāi)始也做向上的加速運(yùn)動(dòng)。隨著運(yùn)動(dòng)的持續(xù)進(jìn)行，當(dāng)秤盤(pán)第一次運(yùn)動(dòng)到彈簧彈力減小到等于自身重力時(shí)，合力、加速度第一次變?yōu)榱悖藭r(shí)速度第一次達(dá)到最大值，這個(gè)位置稱(chēng)為平衡位置。再后來(lái)，秤盤(pán)以平衡位置為中心，沿豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。而簡(jiǎn)諧振動(dòng)第一次瞬時(shí)停止的那一時(shí)刻，彈簧恰好恢復(fù)到原來(lái)的長(zhǎng)度。

值得一提的是：本題之所以做如此詳細(xì)的分析，目的有四個(gè)，一是全方位進(jìn)行審題，理解本題；二是要認(rèn)識(shí)到，解決物理問(wèn)題在很多情況下是需要假設(shè)的，但假設(shè)必須做到有理有據(jù)，有理論作支撐，有事實(shí)做后盾；三是要善于借助數(shù)學(xué)上的極限(無(wú)限逼近)、積分、反證法等數(shù)學(xué)思想，增加對(duì)“時(shí)刻”這一物理概念和常用的假設(shè)法的真正理解；四是真正理解“牛頓第二定律”這一重要物理規(guī)律。

四、正解點(diǎn)評(píng)

為了便于動(dòng)筆解答本題，我們把上面的分析過(guò)程，做一個(gè)簡(jiǎn)要總結(jié)：

使物體(或系統(tǒng))剛好由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)起來(lái)的這一時(shí)刻(零時(shí)刻，時(shí)間記為0)，kx0=(M+m)g依然成立，此時(shí)加速度為a，力F的值最小，最小值等于(M+m)a。

題設(shè)對(duì)F的限定條件，決定了物體和秤盤(pán)分離的臨界狀態(tài)就在0.2 s這一時(shí)刻。此時(shí)，兩者之間的相互作用力減小到零；兩者的加速度依然為a，即彈簧的彈力和秤盤(pán)的重力的合力使秤盤(pán)產(chǎn)生的加速度，等于拉力F和物體的重力的合力使物體產(chǎn)生的加速度；力F增大到最大值，以后不再變化，最大值是M(g+a)。

到此說(shuō)明，求出加速度a成為了解決問(wèn)題的關(guān)鍵。注意分離時(shí)，系統(tǒng)從靜止剛剛動(dòng)起來(lái)時(shí)(0時(shí)刻)到0.2 s這一時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)的位移s等于彈簧靜止時(shí)(零時(shí)刻)被壓縮的長(zhǎng)度x0減去0.2 s這一時(shí)刻彈簧被壓縮的長(zhǎng)度x。利用運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式和牛頓第二定律，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)、物體、秤盤(pán)等研究對(duì)象輪番探索，橫向、縱向比較反映物理規(guī)律的關(guān)系式子，即可求出加速度a，從而使問(wèn)題得到解決。

至于其他信息，比如0.2 s以后，秤盤(pán)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；彈簧恰好恢復(fù)到原來(lái)的長(zhǎng)度；彈簧的彈力等于秤盤(pán)的重力等等。這些信息和分析問(wèn)題有關(guān)，但和動(dòng)筆解題一點(diǎn)關(guān)聯(lián)沒(méi)有，不再累述。正因如此，我們的計(jì)算必須緊緊圍繞0.2 s這一時(shí)刻展開(kāi)作答。

【正解一】以位移公式為中心求解

設(shè)0.2 s這一時(shí)刻，彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為x，對(duì)秤盤(pán)，根據(jù)牛頓第二定律可得

kx-mg=ma①

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，由靜止剛動(dòng)起來(lái)時(shí)(0時(shí)刻)有

kx0=(M+m)g②

解得a=6 m/s2

剛運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6 N=72 N

0.2 s時(shí)，物體與秤盤(pán)恰好分離，此時(shí)F的值最大，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6) N=168 N。

【正解二】以整個(gè)系統(tǒng)為中心求解

設(shè)0.2 s這一時(shí)刻，彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為x，秤盤(pán)和物體運(yùn)動(dòng)位移是s，系統(tǒng)剛剛運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為x0,顯然x=x0-s。

0.2 s時(shí)，對(duì)物體，根據(jù)牛頓第二定律可得

F-Mg=Ma①

對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律可得

F+kx-(M+m)g=(M+m)a③

把①④代入③整理可得

0時(shí)刻，系統(tǒng)剛運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6 N=72 N

0.2 s時(shí)，物體與秤盤(pán)分離，F(xiàn)的值最大，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6) N=168 N。

【正解三】以彈力表達(dá)式為中心求解

設(shè)0.2 s這一時(shí)刻彈簧被壓縮的長(zhǎng)度變?yōu)閤，秤盤(pán)和物體運(yùn)動(dòng)位移是s，系統(tǒng)剛剛運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧被壓縮的長(zhǎng)度變?yōu)閤0,顯然x=x0-s。則0.2 s時(shí)彈力的大小為

0.2 s時(shí)物體與秤盤(pán)分離，對(duì)秤盤(pán)，根據(jù)牛頓第二定律可得

F彈-mg=ma②

由①②解得a=6 m/s2

0時(shí)刻，系統(tǒng)剛運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6 N=72 N

0.2 s時(shí)，物體與秤盤(pán)分離，F(xiàn)的值最大，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6) N=168 N。

五、結(jié)束語(yǔ)