“假設(shè)”誠可貴、“證明”價(jià)更高
——以一道典型力學(xué)試題的正解和錯(cuò)解為例

周來友

(河北省唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué)　064012)

一、問題呈現(xiàn)

如圖所示，質(zhì)量為M=1.50 kg的物體靜止放在臺(tái)秤上，秤盤的質(zhì)量為m=1.5 kg，彈簧本身的質(zhì)量不計(jì)，勁度系數(shù)k=800 N/m，臺(tái)秤放在水平面上.現(xiàn)給物體施加一個(gè)豎直向上的力F，使物體向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知力F在0.2 s內(nèi)為變力，0.2 s后為恒力，求F的最大值和最小值.

此題乍一看，難度不大.但是，如果不認(rèn)真審題，不仔細(xì)研究已知條件，不能全面把握物體和秤盤的完整運(yùn)動(dòng)過程，解答此題未必會(huì)順風(fēng)順?biāo)?下面，就讓我們一起對(duì)這道題的錯(cuò)解和正解情況進(jìn)行品讀，從中體會(huì)如何應(yīng)用假設(shè)法解答物理問題.

二、錯(cuò)解點(diǎn)評(píng)

錯(cuò)解一由題意可知，彈簧在0.2s這一時(shí)刻恢復(fù)原長，此時(shí)，物體和秤盤恰好分離，物體或秤盤運(yùn)動(dòng)的位移就等于彈簧靜止時(shí)被壓縮的長度，這一時(shí)刻秤盤和物體之間沒有彈力，此時(shí)F最大.

設(shè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可得

由整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)總重力等于彈力可得

(M+m)g=Ks②

由①②聯(lián)立，解得a=7.5 m/s2.

系統(tǒng)剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)力F最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×7.5N=90N系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到0.2秒時(shí)，力F最大(以后恒定不變)，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+7.5)N=183.75N

點(diǎn)評(píng)認(rèn)為在0.2 s這一時(shí)刻彈簧恢復(fù)原長經(jīng)不起推敲.照此說法，彈簧恢復(fù)原長時(shí)秤盤所受彈力為零，速度為零，加速度也為零.但此時(shí)秤盤在自身重力的作用下，要從速度為零開始向下做加速運(yùn)動(dòng)，而物體的加速度不變也不為零,速度還在均勻增加.這意味著物體與秤盤早就在彈簧恢復(fù)原長之前早就已經(jīng)分離.可見，當(dāng)兩者恰好分離的時(shí)刻，彈簧并沒有恢復(fù)原長.

系統(tǒng)剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，力F最小，最小值為

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到0.2秒時(shí)，力F最大(以后恒定不變),最大值為

點(diǎn)評(píng)此種想法距離正確答案只有一步之遙，遺憾的是認(rèn)為物體運(yùn)動(dòng)0.2 s時(shí)，彈簧的彈力等于秤盤的重力.照此說法，這一時(shí)刻秤盤所受合力為零，加速度也變?yōu)榱?，但物體的加速度并不為零.這意味著物體與秤盤早就在彈簧的彈力等于自身重力之前早就已經(jīng)分離.可見，兩者恰好分離的時(shí)刻，彈簧的彈力并不等于秤盤的重力.

以上兩種錯(cuò)解的原因主要是：對(duì)物體和秤盤在分離前、分離時(shí)、分離后的運(yùn)動(dòng)過程所包含的受力情況、力的變化、運(yùn)動(dòng)的速度和加速度等每個(gè)要素如何變化根本不清楚.給人的感覺好像就是通過假設(shè)兩者分離的臨界狀態(tài)來解答本題.物理需要假設(shè)，但假設(shè)要有理有據(jù)，無根據(jù)的假設(shè)對(duì)解決問題豪無意義.

三、正解分析

1.如果對(duì)物體A不施加豎直向上的力F，設(shè)彈簧被壓縮的長度為x0，則系統(tǒng)受到豎直向上的彈力大小為Kx0.由題意可知，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)(規(guī)定為0時(shí)刻，時(shí)間記為0),有Kx0=(M+m)g成立.

2.現(xiàn)在給物體施加一個(gè)豎直向上的力F以后，由題中對(duì)F的限定可知，F(xiàn)必須保證使物體由靜止?fàn)顟B(tài)變?yōu)橄蛏献鰟蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，且物體的加速度始終為a.顯而易見，物體由靜止動(dòng)起來的同時(shí)秤盤也跟著動(dòng)起來，只要兩者不分離始終就可以看成是一個(gè)系統(tǒng)，故分離前秤盤運(yùn)動(dòng)的加速度也是a.

3.分離前，在豎直方向上，秤盤受到彈簧給的向上的彈力F彈、自身向下的重力mg、物體給的向下的壓力F2這三個(gè)力的作用，而物體則受到向上的力F、自身向下的重力Mg、秤盤給的向上的支持力F1這三個(gè)力的作用，F(xiàn)1=F2.

4.顯然，在整個(gè)系統(tǒng)剛剛動(dòng)起來的瞬間，注意這一時(shí)刻可視為0時(shí)刻，速度可視為0，時(shí)間仍可記為0，彈簧被壓縮產(chǎn)生的豎直向上的彈力可視為來不及減小，故其大小仍然等于系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的彈力，即等于系統(tǒng)的重力，此時(shí)刻彈力最大.所以，使物體(或系統(tǒng))剛好由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)起來的這一時(shí)刻，力F的值最小.找準(zhǔn)研究對(duì)象采用整體法或隔離法進(jìn)行受力分析，并由牛頓第二定律可得，最小值等于(M+m)a.請(qǐng)看下面的證明.

證明一：用隔離法和整體法

在0時(shí)刻，Kx0=(M+m)g，相互作用力F1=F2.由牛頓第二定律得

對(duì)物體：F+F1-Mg=Ma①

對(duì)秤盤：Kx0-F2-mg=ma②

由①②相加可得，F(xiàn)=(M+m)a.

證明二：用整體法

把物體和秤盤看成一個(gè)系統(tǒng)，由牛頓第二定律得

F+Kx0-(M+m)g=(M+m)a，

因?yàn)橄到y(tǒng)剛剛動(dòng)起來時(shí)Kx0=(M+m)g，所以F=(M+m)a.

5.已知力F在0.2s內(nèi)為變力，F(xiàn)在0.2s內(nèi)究竟是逐漸變大還是逐漸變??？因整個(gè)系統(tǒng)向上運(yùn)動(dòng)，彈簧彈力因彈簧的伸長會(huì)逐漸減小，而加速度a不變，所以對(duì)整個(gè)系統(tǒng)利用牛頓第二定律進(jìn)行分析可知，力F在0.2s內(nèi)逐漸增大.

證明：對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，由牛頓第二定律可得

F+F彈-(M+m)g=(M+m)a，

因?yàn)閍、M、m、g是常數(shù)，所以F+F彈也是常數(shù).又因?yàn)镕彈在不斷減小，所以F逐漸增大.

6.既然力F在0.2s內(nèi)逐漸增大，而物體的加速度又始終保持不變，當(dāng)然包括在0.2s內(nèi)物體所受合力的大小、方向始終保持不變，即便以后F變?yōu)楹懔?，物體和秤盤分離時(shí)也是如此.這就出現(xiàn)了一個(gè)問題：在0.2s內(nèi)，物體和秤盤之間的相互作用力F1(或F2)怎樣變化？再次利用牛頓第二定律進(jìn)行分析可知，F(xiàn)1(或F2)應(yīng)該是逐漸減小.

證明：對(duì)物體A，由牛頓第二定律可得

F+F1-Mg=Ma，

因?yàn)閍、M、g是常數(shù)，所以F+F1是常數(shù).

因?yàn)镕逐漸增大，所以0.2 s內(nèi)F1(或F2)逐漸減小.

7.分析至此，我們對(duì)已知條件“力F在0.2 s內(nèi)為變力，0.2 s后為恒力”進(jìn)行探討，而這也正是解答本題的關(guān)鍵所在.在0.2 s這一時(shí)刻將會(huì)是一種怎樣的情形呢？采用假設(shè)法并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析可知，物體和秤盤只能是在0.2 s這一時(shí)刻恰好分離；當(dāng)然，借助數(shù)學(xué)極限或是微積分的思想也能猜出此時(shí)刻兩者分離.除此之外別無二選，否則會(huì)和已知條件相悖；也會(huì)和前面得出的0.2 s內(nèi)F1(或F2)逐漸減小，力F在0.2 s內(nèi)逐漸增大這些結(jié)論相悖.為了叫大家對(duì)用假設(shè)法分析問題引起足夠的重視，筆者仍想做以下陳述.

證明：假設(shè)物體和秤盤在0.2s這一時(shí)刻不分離，接下來我們分兩種情況展開推理.

①設(shè)兩者在t0s(t0<0.2)時(shí)分離.此時(shí)物體只受向上的力F和向下的重力Mg兩個(gè)力的作用，加速度為a.由牛頓第二定律可得，F(xiàn)=Ma+Mg.很顯然F是一個(gè)常數(shù)，這說明力F在t0s(t0<0.2)內(nèi)為變力，在t0s(t0<0.2)及其以后為恒力.這和已知條件“力F在0.2 s內(nèi)為變力，0.2 s后為恒力”相矛盾.故假設(shè)不成立.

②設(shè)兩者在t0s(t0>0.2)時(shí)分離.同理可證假設(shè)不成立.

既然假設(shè)不成立，說明兩者就在0.2 s這一時(shí)刻恰好分離.

8.在0.2 s之前，它們之間的相互作用力F1、F2是逐漸減小的，力F是逐漸增大的.因此，借助數(shù)學(xué)極限或是微積分的思想，不難猜出在0.2 s時(shí)，F(xiàn)1、F2減小到零，而F增大到最大.當(dāng)然，采用假設(shè)法并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析也會(huì)得到同樣的結(jié)論，證明從略.

分離時(shí)，物體只受豎直向上的力F和自身重力這兩個(gè)力的作用(注意加速度依然為a)，由牛頓第二定律不難得出，此時(shí)力F的最大值為M(g+a).0.2 s后，力F以最大值作為恒力不變.

證明：在0.2 s這一時(shí)刻，物體與秤盤恰好分離時(shí)，此時(shí)對(duì)物體，由牛頓第二定律可得，F(xiàn)-Mg=Ma，解得F=M(g+a).

9.分離時(shí)，秤盤只受向上的彈力F彈和自身重力mg這兩個(gè)力的作用，分離后顯然如此.只是分離后，即0.2 s后，彈簧在逐漸伸長，彈力在逐漸減小，則秤盤所受合力自然也逐漸減小，導(dǎo)致秤盤的加速度逐漸減小，以后會(huì)減小到零，那時(shí)速度達(dá)到最大；可在0.2 s以前，秤盤B加速度一直為a.因此，我們?nèi)匀唤柚跀?shù)學(xué)極限或是假設(shè)法等思想，不難得出在0.2 s這一時(shí)刻秤盤B加速度依然為a的結(jié)論，證明從略.

10.分離以后，即0.2 s以后，物體繼續(xù)向上做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng).而秤盤一開始也做向上的加速運(yùn)動(dòng)但不勻速，這是因?yàn)閺椈蓮椓υ谥饾u減小.隨者運(yùn)動(dòng)的持續(xù)進(jìn)行，當(dāng)秤盤第一次運(yùn)動(dòng)到彈簧彈力減小到等于自身重力時(shí)，合力、加速度第一次變?yōu)榱?，此時(shí)速度第一次達(dá)到最大值，這一時(shí)刻的位置稱為平衡位置.再后來，秤盤以平衡位置為中心，上下來回做簡(jiǎn)諧振動(dòng).而簡(jiǎn)諧振動(dòng)第一次瞬時(shí)停止的那一時(shí)刻，彈簧恰好恢復(fù)到原來的長度.

值得一提的是：本題之所以做如此詳細(xì)的分析，目的有三個(gè)，一是全方位進(jìn)行審題，理解本題；二是是叫人們認(rèn)識(shí)到，解決物理問題在很多情況下是需要假設(shè)，但假設(shè)必須做到有理有據(jù)，有理論作支撐，有事實(shí)做后盾；三是提醒大家要善于借助數(shù)學(xué)上的極限(無限逼近)、積分、反證法等數(shù)學(xué)思想，增加對(duì)“時(shí)刻”這一物理概念和常用的假設(shè)法的真正理解；四是真正理解“牛頓第二定律”這一重要物理規(guī)律.

四、正解點(diǎn)評(píng)

為了便于動(dòng)筆解答本題，我們把上面的分析過程，做一個(gè)簡(jiǎn)要總結(jié)：

使物體A(或系統(tǒng))剛好由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)起來的這一時(shí)刻(零時(shí)刻，時(shí)間記為0)，Kx0=(M+m)g依然成立，此時(shí)加速度為a，力F的值最小，最小值等于(M+m)a.

題設(shè)對(duì)F的限定條件，決定了物體和秤盤分離的臨界狀態(tài)就在0.2 s這一時(shí)刻.此時(shí)，兩者之間的相互作用力減小到零；兩者的加速度依然為a，即彈簧的彈力和秤盤的重力的合力使秤盤產(chǎn)生的加速度，等于拉力F和物體的重力的合力使物體產(chǎn)生的加速度；力F增大到最大值，以后不再變化，最大值是M(g+a).

到此說明，求出加速度a成為了解決問題的關(guān)鍵.注意分離時(shí)，系統(tǒng)從靜止剛剛動(dòng)起來時(shí)(0時(shí)刻)到0.2 s這一時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)的位移s等于彈簧靜止時(shí)(零時(shí)刻)被壓縮的長度x0減去0.2 s這一時(shí)刻彈簧被壓縮的長度x.利用運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式和牛頓第二定律，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)、物體、秤盤等研究對(duì)象輪番探索，橫向縱向比較反映物理規(guī)律的關(guān)系式子，即可求出加速度a，從而使問題得到解決.

至于其它信息，比如0.2 s以后，秤盤B做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；彈簧恰好恢復(fù)到原來的長度；彈簧的彈力等于秤盤的重力；等等.這些信息和分析問題有關(guān)，但和動(dòng)筆解題一點(diǎn)關(guān)聯(lián)沒有，不再累述.正因如此，我們的計(jì)算必須緊緊圍繞0.2 s這一時(shí)刻展開作答.

正解一以位移公式為中心求解

設(shè)0.2 s這一時(shí)刻，彈簧被壓縮的長度為x，對(duì)秤盤B，根據(jù)牛頓第二定律可得

Kx-mg=ma①

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，由靜止剛動(dòng)起來時(shí)(0時(shí)刻)有

Kx0=(M+m)g②

由①②③式可得

剛起動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6 N=72 N.

0.2 s時(shí)，物體A與秤盤B恰好分離，此時(shí)F的值最大，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6)N=168 N.

正解二以整個(gè)系統(tǒng)為中心求解

設(shè)0.2 s這一時(shí)刻，彈簧被壓縮的長度為x，秤盤B和物體A運(yùn)動(dòng)位移是s，系統(tǒng)剛剛啟動(dòng)時(shí)彈簧被壓縮的長度為x0,顯然x=x0-s.

0.2 s時(shí)，對(duì)物體A，根據(jù)牛頓第二定律可得

F-Mg=Ma①

對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律可得

F+Kx-(M+m)g=(M+m)a③

把①④代入③整理可得

0時(shí)刻，系統(tǒng)剛起動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6N=72N.

0.2s時(shí)，物體A與秤盤B分離，F(xiàn)的值最大，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6)N=168N.

正解三以彈力式子為中心求解

設(shè)0.2s這一時(shí)刻彈簧被壓縮的長度變?yōu)閤，秤盤B和物體A運(yùn)動(dòng)位移是s，系統(tǒng)剛剛啟動(dòng)時(shí)彈簧被壓縮的長度變?yōu)閤0,顯然x=x0=s.則0.2s時(shí)彈力的大小為

0.2 s時(shí)物體A與秤盤B分離，對(duì)秤盤B，根據(jù)牛頓第二定律可得F彈-mg=ma②

由①②解得a=6 m/s2.

0時(shí)刻，系統(tǒng)剛起動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值為

Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6N=72N.

0.2s時(shí)，物體A與秤盤B分離，F(xiàn)的值最大，最大值為

Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6)N=168N.

通過對(duì)這道試題的正誤解答及分析，我們理應(yīng)受到這樣的啟示：認(rèn)真審題，抓住最有價(jià)值的信息進(jìn)行大膽假設(shè)；準(zhǔn)確理解物理概念；選準(zhǔn)研究對(duì)象，利用最重要的物理規(guī)律對(duì)解決問題所涉及到的方方面面，進(jìn)行層層剖析；根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)過的數(shù)學(xué)、物理等知識(shí)，對(duì)問題做出合理的假并尋求理論支撐，進(jìn)行小心求證，這些才是解決物理問題的王者之道，正所謂“假設(shè)”誠可貴、“證明”價(jià)更高.