通過一道題將知識連成片、串成串

北京 公衍錄

通過對一道題的多求、多變等，將相關(guān)的知識點連成片、串成串，形成知識結(jié)構(gòu)，這無疑是習(xí)題教學(xué)中比較好的做法，下面以2016全國卷Ⅱ第23題為例加以說明。

【題目】如圖1，水平面(紙面)內(nèi)間距為l的平行金屬導(dǎo)軌間接一電阻，質(zhì)量為m、長度為l的金屬桿ab置于導(dǎo)軌上。t=0時，金屬桿在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運(yùn)動，t0時刻，金屬桿進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，且在磁場中恰好能保持勻速運(yùn)動。桿與導(dǎo)軌的電阻均忽略不計，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動摩擦因數(shù)為μ。重力加速度大小為g。求：

(1)金屬桿在磁場中運(yùn)動時產(chǎn)生的電動勢的大?。?/p>

(2)電阻的阻值。

【解析】(1)如圖2，在0～t0時間內(nèi)，對金屬桿受力分析，

根據(jù)牛頓第二定律得：F-μmg=ma①

設(shè)桿進(jìn)入磁場瞬間的速度為v，則v=at0②

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，E=Blv③

(2)桿進(jìn)入磁場后，還受水平向左的安培力F安=BIl⑤

由桿在磁場中做勻速直線運(yùn)動可知，

F-μmg-F安=0 ⑥

【點評】本題考查了共點力的平衡條件、牛頓第二定律、勻變速直線運(yùn)動等力學(xué)知識在電磁感應(yīng)問題中的應(yīng)用。

桿在磁場中的勻速運(yùn)動是一種典型的物理模型，下面借助此模型對該題進(jìn)行一題多求、一題多變的拓展變化。

一、一題多連

1.在原題中，當(dāng)桿進(jìn)入磁場以速度v勻速時，試證明在一段時間t內(nèi)，恒定拉力F對桿做的功W等于電路獲得的電能E電，也等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

【證明】桿勻速，受力平衡，拉力F=F安，因此拉力F對桿所做的功W等于桿克服安培力做的功，即W=F安x，又F安=BIl，x=vt，電動勢E=Blv，電荷量q=It，故W=BIlvt=EIt=Eq;

由焦耳定律Q=I2Rt，閉合電路的歐姆定律E=IR，電荷量q=It，故Q=EIt=Eq。

所以在一段時間t內(nèi)，恒定拉力F對桿做的功W等于電路獲得的電能E電，也等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

2.試用多種方法推導(dǎo)桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小E=Blv，式中v為桿進(jìn)入磁場做勻速運(yùn)動的速度。

【推導(dǎo)】方法一：由法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)

方法二：利用電動勢的概念推導(dǎo)

方法三：由桿中自由電子受力平衡推導(dǎo)

桿作為電源，由于其電阻忽略不計(內(nèi)電阻為零)，內(nèi)電壓為零，故桿兩端電壓(路端電壓)U等于電動勢E，因此電動勢為E=U=Blv。

方法四：由功能關(guān)系推導(dǎo)

通過拉力克服安培力做功將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能，又通過電流做功將電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。故拉力克服安培力做功的功率，等于電路中電流做功的功率，即P克安=P電，又P克安=F安v=BIlv，P電=EI，聯(lián)立解得：E=Blv。

或由純電阻電路，拉力克服安培力做功的功率，等于電路中的電熱功率，即P克安=P熱，又P克安=BIlv，P熱=I2(R+r)，E=I(R+r)，聯(lián)立解得：E=Blv。

或由拉力克服安培力做的功，等于桿(電源)中非靜電力做的功，即W拉=W非，又W拉=BIlx，x=vt，電荷量q=It，W非=qE，聯(lián)立解得：E=Blv。

3.推導(dǎo)電流的微觀表達(dá)式。

設(shè)桿中單位體積內(nèi)有n個自由電子，桿中所有自由電子均以速度ve相對桿做勻速直線運(yùn)動。桿的橫截面積為S，電子的電荷量為e，試推導(dǎo)桿中電流的微觀表達(dá)式為I=nveSe。

4.試證明桿受的安培力F安，等于桿中所有自由電子受水平向左洛倫茲力分力的總和f總。

【證明】電子以速率ve相對桿由a向b定向移動，由左手定則，每個電子受水平向左、大小為fx=eveB的洛倫茲力分力，桿內(nèi)總電子數(shù)N=nSl，所有電子受水平向左洛倫茲分力的總和f總=Nfx，又I=nveSe，聯(lián)立解得f總=BIl。又桿在磁場中勻速運(yùn)動時，受水平向左的安培力，F(xiàn)安=BIl，故f總=F安,得證。

5.試證明洛倫茲力不做功。

【證明】桿中電子受水平向左的洛倫茲力分力fx=eveB，其做功功率為Px=-fxv=-eveBv；桿中電子受沿桿的洛倫茲力分力fy=evB，其做功功率為Py=fyve=evBve，所以Px+Py=0，即洛倫茲力的兩個分力做功功率之和為零，故洛倫茲力不做功。

二、一題多變

【變式1】原題中，如果在桿勻速運(yùn)動的某一時刻、突然將拉力F撤去，經(jīng)過時間t桿停止運(yùn)動，則在從撤去拉力到桿停止運(yùn)動的過程中:

(1)桿的加速度的大小如何變化？

(2)流過回路某一橫截面的電荷量是多少？

(3)桿運(yùn)動的位移大小是多少？

(4)安培力對桿所做的功是多少？產(chǎn)生的焦耳熱、摩擦生熱各是多少？

【變式2】桿進(jìn)入磁場后，若在回路中磁感線穿過的面積為S時記作t=0時刻，從此時刻起，讓磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減少，則磁感應(yīng)強(qiáng)度Bt應(yīng)怎樣隨時間t變化(寫出Bt與t的關(guān)系式)，才能使回路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流？

【解析】解法一：從功的角度求解

解法二：從功率的角度求解

解法三：從力的平衡角度求解之一

如圖4所示，因為桿以速度v水平向右運(yùn)動，電子受到洛倫茲力沿桿方向的分力fy作用，方向由a端指向端b，大小fy=evB。

沿桿方向，電子還受到桿兩端電壓(路端電壓)形成的電場給的電場力作用，方向由b端指向a端，