混合矩陣的二次特征值反問題及其最佳逼近

周 碩，楊 帆

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

矩陣反問題在諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用[1～5].近年來，二次特征值反問題的研究十分活躍，尤其是對(duì)特殊結(jié)構(gòu)矩陣的研究[6～12]，更多合理的解決方案不斷提出[13～16].本文主要研究一類二次特征值反問題的對(duì)稱正交反對(duì)稱解和對(duì)稱正交對(duì)稱解.

本文提出并解決如下兩個(gè)問題：

1 問題I的解

設(shè)P是n階對(duì)稱正交矩陣，則存在n階正交矩陣U，使

(1)

由此可得

X1Λ2+C1X1Λ+K1X1=0

，

(2)

X2Λ2+C2X2Λ+K2X2=0

，

(3)

將公式(2)、公式(3)兩端同時(shí)取轉(zhuǎn)置，記為公式(4)和公式(5)

(4)

(5)

將原問題轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)矩陣方程組的求解問題

(6)

(7)

由矩陣的Kronecker乘積，方程組(6)等價(jià)于如下矩陣方程

(8)

方程組(7)等價(jià)于如下矩陣方程

(9)

其中：

C1=[x(1：k)，x(k+1：2k)，，x((k-1)k+1，k2)]，

K1=[x(k2+1：k(k+1))，，x((2k-1)k+1：2k)]，

C2=[y(1：n-k)，y(n-k+1：2(n-k))，，y((n-k-1)(n-k)+1)：(n-k)2]，

K2=[y((n-k)2+1：(n-k+1)(n-k))，，y((2(n-k)-1)(n-k)+1：2(n-k)2)].

2 問題Ⅱ的解

其中：Γ1=diag(Ξ1，In-k-r1)，Γ2=diag(Ξ2，Ik-r2)，

證明

的充分必條件是

同時(shí)成立.