矩形巷道塑性區(qū)寬度計算方法研究

許 彪，王長柏，劉陳林

(安徽理工大學土木建筑學院，安徽 淮南 232001)

關(guān)于巷道圍巖的彈塑性分析，許多學者應(yīng)用相關(guān)的屈服準則進行了大量的研究，如應(yīng)用較多的Mohr-Coulomb準則、統(tǒng)一強度理論及Drucker-Prager準則。Mohr-Coulomb準則[1-3]在計算中未考慮中間主應(yīng)力的影響，與巷道實際所處圍巖環(huán)境不符，因此其計算誤差較大，不利于工程應(yīng)用；統(tǒng)一強度理論[4-5]雖然考慮了中間主應(yīng)力的作用，但準則的表達式比較復(fù)雜，一些參數(shù)在實際圍巖中難以測定；Drucker-Prager 準則[6-7]實際上是平面應(yīng)變情況下，即洛德角為常數(shù)情況下的一個準則，所以它沒有反映材料三軸拉、壓強度不同的情況。

目前大多數(shù)研究成果都是針對圓形巷道，而對于矩形巷道的研究則相對較少，雖然圓形斷面形式的巷道具有良好的受力狀態(tài)，但是在考慮經(jīng)濟、施工和支護等多種因素的綜合作用下，矩形巷道在工程中的應(yīng)用程度又明顯高于圓形巷道[8-10]，所以研究矩形巷道具有較大意義。由熱力學定律可知，能量轉(zhuǎn)化是物質(zhì)物理過程的本質(zhì)特征，伴隨著材料的整個變形過程并體現(xiàn)了材料性質(zhì)的不斷變化[11-12]。因此，基于能量觀點提出的三剪能量屈服準則相對更加合理。

本文采用三剪能量屈服準則對矩形巷道圍巖進行分析，提出了一種計算矩形巷道塑性區(qū)寬度的新方法。

1 三剪能量屈服準則

三剪能量屈服準則在應(yīng)力空間和應(yīng)變空間分別有兩種形式[13]。其中在應(yīng)力空間中可表述為

(1)

三剪能量屈服準則的具體表達式，與MC準則相比，在應(yīng)力空間中，其屈服面不再是六角形的錐體，而是一個曲線形錐體表面，如圖1所示。

圖1 三剪能量屈服面示意圖

矩形巷道在掘進過程中，巷道兩幫為臨空區(qū)，水平應(yīng)力得以釋放，使得σy遠大于σx，同時由于主應(yīng)力σ1與σy、與σx與σ3之間的夾角較小[14]，可認為σ1=σy，σ3=σx。在平面應(yīng)變塑性區(qū)內(nèi)，中間主應(yīng)力σ2可近似取為[15]

(2)

可得

(3)

(4)

將式(3)、式(4)代入式(1)化簡得

(5)

2 理論分析

2.1 力學模型

由于水平矩形巷道長軸方向遠大于工作面寬度，故可簡化為軸對稱平面應(yīng)變問題。針對巖石力學經(jīng)典彈塑性分析存在的問題，假設(shè)巷道和其頂板是連續(xù)、均質(zhì)的各向同性的理想彈塑性體且巷道巖層與頂?shù)装彘g的摩擦系數(shù)、粘聚力相同[16]。建立如圖2所示力學分析模型。

圖2 矩形巷道力學模型

矩形巷道的開挖寬度為2a，巷道高度為H，不計支護阻力，巷道頂板的垂直方向原始地層壓力為p0， 水平方向的原始地層壓力為λp0， 側(cè)壓力系數(shù)λ=μ/(1-μ)。該力學模型沿巷道中心左右對稱，沿x軸上下對稱。

2.2 平衡方程

考慮到矩形巷道的對稱性，沿x軸正方向取塑性區(qū)一微小的單元體，如圖3所示。

圖3 塑性區(qū)微小單元體

所取單元體高度為H，寬度為dx，x軸和y軸的壓應(yīng)力分別為σx和σy。礦柱與頂板之間的摩擦阻力為c0+σytanφ0，考慮礦柱自身容重的影響，礦柱與底板之間的摩擦阻力為c0+(σy+ρ0gH)tanφ0，其中c0為接觸面粘聚力，φ0為接觸面內(nèi)摩擦角，ρ0為巷道巖層密度，摩擦力方向為x軸正方向。

根據(jù)單元體的應(yīng)力平衡條件，可得到x軸方向的平衡方程為

[2c0+(2σy+ρ0gH)tanφ0]=0

(6)

由式(6)化簡得

(7)

2.3 塑性區(qū)應(yīng)力分析

將式(5)代入平衡微分方程式(7)得一階齊次非線性微分方程

(8)

(0≤x≤xp) (9)

2.4塑性區(qū)寬度xp

矩形巷道開挖過程中會引起邊幫應(yīng)力重分布，在高應(yīng)力作用下，礦柱邊緣會出現(xiàn)塑性區(qū)[17]。經(jīng)典彈塑性理論認為應(yīng)力重新分布后的邊界條件如圖4所示，圖中x軸表示距離巷道邊幫的距離，y軸表示垂直方向的應(yīng)力值，xp為巷道塑性區(qū)寬度，p0為巷道原始垂直方向應(yīng)力。

圖4 巷道邊幫垂直應(yīng)力分布

根據(jù)彈性區(qū)應(yīng)力分布和邊界條件，邊幫彈性區(qū)的垂直方向的應(yīng)力σye沿x軸的方向的應(yīng)力方向的應(yīng)力分量為

(xp≤x≤+∞) (10)

巷道開采后，巷道頂板的巖層重量轉(zhuǎn)移到邊幫，因此由矩形巷道的對稱性得

(11)

將式(10)、式(11)代入式(9)整理得

(12)

式(12)為超階方程，可用Matlab編程求解。

3 算例與分析

已知某煤礦采用矩形巷道形式，根據(jù)現(xiàn)場實測和探明的地質(zhì)條件結(jié)果，煤層頂?shù)装宸謩e為石灰?guī)r和砂頁巖，工作生產(chǎn)高度H=4m，所受原始地層壓力p0=8.5MPa，礦層的粘聚力c=1.4MPa，內(nèi)摩擦角φ=30°，泊松比μ=0.2，礦石容重ρ0g=28kN/m3，抗拉強度Rt=14MPa，礦層與頂?shù)装褰Y(jié)合處的粘聚力c0=2MPa，內(nèi)摩擦角為φ0=32°，將以上參數(shù)代入式(12)中進行求解。

3.1 不同采場寬度下的塑性解

依托算例中某煤礦的相關(guān)參數(shù)，在原始地層壓力p0=8.5MPa情況下，選擇不同的采場寬度a，得到不同采寬下兩幫塑性區(qū)的寬度，具體結(jié)果如表1和圖5所示。

表1 塑性區(qū)寬度計算結(jié)果

圖5 塑性區(qū)寬度隨采場寬度的變化曲線

不同的采場寬度條件下，三剪能量屈服準則的計算結(jié)果與MC準則、DP3準則的計算結(jié)果變化趨勢基本一致，塑性區(qū)寬度都隨采場寬度的增大而增大。當采場寬度相同時，三種準則的計算結(jié)果存在差異，DP3準則解>MC準則解>三剪能量準則解。

3.2 巖石力學參數(shù)影響分析

使用單因素分析法，采場參數(shù)選取采寬12m，采高4m，進一步研究巖體力學參數(shù)對塑性區(qū)寬度的影響程度。分別取不同巖體內(nèi)聚力c、內(nèi)摩擦角φ、原始地層壓力p0代入三剪能量屈服準則、MC準則和DP3準則(MC內(nèi)切圓準則)中進行計算，結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 塑性區(qū)寬度隨內(nèi)聚力的變化曲線

圖7 塑性區(qū)寬度隨內(nèi)摩擦角的變化曲線

圖8 塑性區(qū)寬度隨原始地層壓力的變化曲線

由圖6可知，三種準則下的塑性區(qū)的寬度都是隨著內(nèi)摩擦角的增大而減小，而且減小趨勢不變，當內(nèi)摩擦角相同時，三者計算結(jié)果不同，其中三剪能量屈服準則的計算結(jié)果最小。由圖7可知，塑性區(qū)的寬度隨巖體的內(nèi)聚力的增大而減小，MC準則和DP3準則計算結(jié)果的差值基本不變，而MC準則與三剪能量屈服準則的計算結(jié)果的差值隨內(nèi)摩擦角的增大而逐漸增大。由圖8可知，巷道塑性區(qū)寬度隨原始地層壓力的增大而增大。

綜上，采用不同的屈服準則，計算所得巷道塑性區(qū)的寬度存在差異。三剪能量屈服準則比MC準則和DP3準則的計算結(jié)果偏小，說明其計算結(jié)果相對而言比較保守。

4 結(jié)論

(1)在考慮中間主應(yīng)力和應(yīng)力平衡的基礎(chǔ)上，基于三剪能量屈服準則，推導出了一種新的矩形巷道塑性區(qū)寬度的計算公式。

(2)開采寬度和巖體的力學參數(shù)對巷道塑性區(qū)寬度的影響不同，其中塑性區(qū)范圍隨開采寬度和原始地層壓力的增加而增大，隨巖體的粘聚力、內(nèi)摩擦角的增加而減小。

(3)不同的屈服準則對矩形巷道塑性區(qū)寬度計算具有不同的敏感性。通過分析可知，三剪能量屈服準則與MC準則、DP3準則的計算結(jié)果相近，但是DP3準則解>MC準則解>三剪能量屈服準則解。因此，在矩形巷道塑性區(qū)寬度計算時選取合適的屈服準則至關(guān)重要。