“用2、5、3倍數(shù)特征”解決問題的策略研究

吳恢鑾 施嬌娥

【摘 要】不同的學(xué)生解決同樣的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，由于他們的思維方式不同，可能會(huì)出現(xiàn)不同的解題策略。如整除問題，讓學(xué)生運(yùn)用“2、5、3倍數(shù)的特征”解決這個(gè)問題。發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)原因及正確解題策略，并分析學(xué)生解決問題的思維過程。對(duì)教學(xué)啟示如下：其一，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的水平差異和類型差異，實(shí)施差異教學(xué)。其二，關(guān)注思維類型差異，滲透有序思想。其三，加強(qiáng)對(duì)比，理清2、5、3倍數(shù)特征關(guān)系，在綜合性問題解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)求聯(lián)。

【關(guān)鍵詞】2、5、3倍數(shù)特征；解決問題；策略

一、問題提出

在同一年齡階段，不同的學(xué)生解決同樣的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，他們的思維方式可能會(huì)有較大的差異，因此可能會(huì)出現(xiàn)不同的解題策略。當(dāng)然解題策略既有共性又有獨(dú)特性。例如，在教學(xué)2、5、3倍數(shù)的特征之后，我們想了解學(xué)生是否會(huì)綜合應(yīng)用“2、5、3倍數(shù)的特征”來解決實(shí)際問題。在解決問題的過程中，有多少人會(huì)錯(cuò)，有多少人會(huì)對(duì)？出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因有哪些？解題正確的人所采用的解題策略又會(huì)有哪些？這些問題并不十分清楚。為此，筆者給出一個(gè)整除問題：在五位數(shù)25□4□的方格內(nèi)填什么數(shù)字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？試圖從學(xué)生的解題中，發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)原因及正確解題策略，并分析學(xué)生“用2、5、3倍數(shù)特征”解決問題的思維過程。通過此題的研究，能讀懂學(xué)生的思維差異，初步檢測教學(xué)成效，并根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)來設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)策略，進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)。

二、研究方法

（一）測試目的

本測試主要通過一道綜合的開放題，檢測學(xué)生學(xué)習(xí)了2、5、3倍數(shù)特征之后，是否能綜合應(yīng)用“2、5、3倍數(shù)特征”來解決問題。主要是想了解學(xué)生對(duì)“2、5、3倍數(shù)特征”的應(yīng)用能力水平及學(xué)生的解題策略和思維水平。試圖通過對(duì)學(xué)生解題思維水平的分析，了解教學(xué)成效，進(jìn)一步提出教學(xué)改進(jìn)建議。

（二）被試對(duì)象

選擇公辦、民辦小學(xué)四年級(jí)的兩個(gè)班，共59人。該校使用浙教版新思維小學(xué)數(shù)學(xué)教材。測試對(duì)象已經(jīng)學(xué)習(xí)了2、5倍數(shù)特征與3的倍數(shù)特征的內(nèi)容。

（三）測試內(nèi)容

所用問卷為本人根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“2、5、3倍數(shù)特征”相關(guān)知識(shí)與能力要求編制而成。測試具體內(nèi)容如下。

問題一：在五位數(shù)25□4□的方格內(nèi)填什么數(shù)字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？

你能寫出滿足條件的這些數(shù)嗎？請(qǐng)你寫一寫這些數(shù)。

問題二：剛才解決這個(gè)問題你是怎樣思考的？請(qǐng)寫一寫你的思考過程，越詳細(xì)越好。

（四）測試過程

在學(xué)生不知情的情況下，由數(shù)學(xué)老師組織進(jìn)行測試。在測試前，沒有給學(xué)生任何的解題提示，也沒有讀題，讓學(xué)生獨(dú)立解答，測試時(shí)間15分鐘。學(xué)生在解題過程中沒有任何的討論與交流，整個(gè)測試過程基本反映了學(xué)生獨(dú)立解答這一整除問題的水平。測試后，筆者對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行初步的整理，并選擇10名學(xué)生進(jìn)行個(gè)別訪談。

三、 結(jié)果分析

（一）從整體上分析，約有40%的學(xué)生能正確解答此題，且解題策略靈活多樣，思維呈現(xiàn)出較高的有序性

對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)：學(xué)生能正確解答這個(gè)問題的有24人，占40.7 %；解答錯(cuò)誤的有35人，占59.3 %。在正確解答的人數(shù)中，有83.3%的學(xué)生思維呈現(xiàn)出較高的有序性。解題正確的孩子，所采用的解題策略是多樣化的，主要有以下幾種策略：

具體分析如下。

1.分析思維型

“分析思維型”是指學(xué)生能嚴(yán)格依據(jù)“3的倍數(shù)特征”與“5的倍數(shù)特征”的定義，對(duì)問題做出正確的分析。采用這種策略的有8人，占13.6 %。下面是兩個(gè)學(xué)生的解答。

在圖1中，學(xué)生能分別從“3的倍數(shù)特征”和“5的倍數(shù)特征”的定義出發(fā)，先考慮滿足“5的倍數(shù)特征”，再考慮能同時(shí)滿足“3的倍數(shù)特征”，有順序地寫出這些五位數(shù)。圖2也是如此，只不過在分析滿足“3的倍數(shù)特征”的思維過程中，是用算式去表達(dá)的。

2.有序思維型

“有序思維型”是指先確定某個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和5整除，再選擇其中的一個(gè)數(shù)位進(jìn)行變換，依次增加3，使得各數(shù)位上的數(shù)字之和始終是3的倍數(shù)。采用這一策略的有3人，占5.1%。下面是兩個(gè)學(xué)生的解答。

在圖3中，學(xué)生先確定滿足“5的倍數(shù)特征”，然后思考如何滿足“3的倍數(shù)特征”。學(xué)生是通過先確定百位上的數(shù)可填1，再在這個(gè)基礎(chǔ)上，依次增加3，使得各數(shù)位上的數(shù)字之和仍是3的倍數(shù)。圖4也是如此，只不過學(xué)生對(duì)思考過程的語言描述不夠規(guī)范，如“先把另外的數(shù)加起來，再加上一個(gè)數(shù)，使和能被3整除，其他把加上的那個(gè)數(shù)順序加3”。其實(shí)這兩個(gè)學(xué)生的思維過程基本一致，都是根據(jù)改變其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，進(jìn)行逐個(gè)遞增的方法來思考的。

3.舉例推理型

“舉例推理型”是指學(xué)生在說明原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行舉例推理，起到歸納概括的作用。采用該策略的有3人，占5.1 %。下面是一個(gè)學(xué)生的解答。

在圖5中，學(xué)生能有序地寫出所有滿足條件的五位數(shù)。由定義出發(fā)陳述理由，并舉例：2+5+4+0=11，要使和能被3整除，應(yīng)該為12，又因?yàn)?2-11=1，所以百位應(yīng)該是1。同理，其他數(shù)位上的數(shù)也是如此。

4.分類討論型

“分類討論型”是指學(xué)生能夠?qū)栴}進(jìn)行合理的分類討論。該方法思維嚴(yán)謹(jǐn)，條理清晰，值得推廣。采用該策略的有10人，占16.9 %。下面是兩個(gè)學(xué)生的解答。

以上兩個(gè)學(xué)生的解題思路基本一致，都是先確定能被5整除的數(shù)的特征，也就是要先確定個(gè)位，分別有兩種情況：個(gè)位填5或0；再進(jìn)行分類討論，如果個(gè)位是0，那么百位就有3種填法，分別是1，4，7；如果個(gè)位是5，那么百位也有3種填法，分別是2，5，8，共6種。采用這一策略的學(xué)生思維靈活并嚴(yán)謹(jǐn)。這一方法值得推廣。

（二）從錯(cuò)誤作品上分析，學(xué)生對(duì)“2、3、5倍數(shù)特征”的理解呈現(xiàn)出水平差異

通過對(duì)學(xué)生測試題的分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤解題思維多樣化，學(xué)生在解決上述測試題時(shí)，主要有以下幾種典型錯(cuò)誤：

1.思維無序型

“思維無序型”是指思考問題思維混亂，理由離譜。出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的有3人，占5.1%。下面是一個(gè)學(xué)生的解答。

該生認(rèn)為寫出來的五位數(shù)必須是每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和等于7或是7的倍數(shù)。而他寫的數(shù)中，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和卻不全是等于7或是7的倍數(shù)，而為什么會(huì)認(rèn)為和7有關(guān)呢？這一問題在訪談中了解到，該生認(rèn)為能被3整除的數(shù)只要末位能被3整除就行，而對(duì)于自己寫的答案卻說不出任何理由。顯然，這個(gè)學(xué)生對(duì)3的倍數(shù)特征不理解，那么關(guān)于“3、5倍數(shù)特征的應(yīng)用問題”就更不用說了，已超過他的認(rèn)知水平。

2.思維狹隘型

“思維狹隘型”是指思考問題只從一個(gè)方面出發(fā)，不能多角度的思考。出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的有7人，占11.9 %。

下面是兩個(gè)學(xué)生的解答。

以上兩個(gè)學(xué)生的解答是錯(cuò)誤的，但似乎錯(cuò)的有理由。在圖9中，學(xué)生對(duì)3、5倍數(shù)特征都是了解的，也能根據(jù)特征來寫數(shù)。但學(xué)生思考問題的方向是單一的、狹隘的。如單純考慮能被3整除的數(shù)的特征，寫出25041、25044；再如單純考慮能被5整除的數(shù)的特征，寫出25145、25240、25345。從學(xué)生思考過程的描述中來看，沒有將既能被3整除又能被5整除的數(shù)的特征相結(jié)合，要同時(shí)滿足兩個(gè)條件，但學(xué)生卻忽略了。同樣，在圖10中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生寫出來的數(shù)只滿足5的倍數(shù)特征，從思維過程的描述中學(xué)生提到“前面的數(shù)則沒有要求”，完全忽略3的倍數(shù)特征，更不要說將兩者結(jié)合起來考慮了。

3.顧此失彼型

“顧此失彼型”是指思考問題能從不同的角度出發(fā)，但對(duì)問題做出最終的決策與判斷時(shí)，又因?yàn)轭櫫诉@一頭，而忘了那一頭，不能綜合考慮問題。出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的有2人，占3.3%。下面是一位學(xué)生的解答。

在圖11中，學(xué)生寫對(duì)了兩個(gè)數(shù)，但在思考問題的邏輯上出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生先把五位數(shù)25（ ）4（ ）中的萬位上、千位上及十位上的數(shù)相加，如：2+5+4=11，再在百位上填上4，認(rèn)為只要將所有數(shù)位上的數(shù)相加之和是3的倍數(shù)就行，最后一位個(gè)位上填0或5。通過訪談得知詳細(xì)思考過程如下：

該生的錯(cuò)誤比較特殊，他對(duì)概念的理解是清晰的，知道既要被3整除的數(shù)的特征（要看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和），又要被5整除的數(shù)的特征（要看個(gè)位是否為0或5），對(duì)知識(shí)本身的理解是沒有問題的；但在綜合思考的時(shí)候，沒有從個(gè)位先入手，只把除個(gè)位外的其余四個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加作為判斷依據(jù)，然后再判斷個(gè)位出現(xiàn)的0和5的兩種情況。

4.思維漏洞型

“思維漏洞型”是指思考問題能從不同的角度出發(fā)，能寫出符合條件的不同的五位數(shù)，思考方法是對(duì)的，但會(huì)有遺漏。出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的有23人，占39%。下面是兩個(gè)學(xué)生的解答。

在圖12中，學(xué)生能先從個(gè)位開始考慮，個(gè)位是0的情況下，寫出了又要同時(shí)滿足3的倍數(shù)特征的數(shù)25140、25440和25740；然后再考慮個(gè)位是5的情況，但學(xué)生卻只寫出了25245這一個(gè)數(shù)，有遺漏，考慮不全。在圖13中，學(xué)生卻只寫出了個(gè)位是5的情況下的滿足條件的三個(gè)數(shù)：25245、25545和25845。而個(gè)位是0的情況下卻沒去考慮。

四、建議與思考

針對(duì)本次測試的結(jié)果，筆者對(duì)教學(xué)改進(jìn)提出如下建議。

（一）關(guān)注學(xué)生思維能力的水平差異和類型差異，實(shí)施差異教學(xué)

蘇聯(lián)的克魯切茨基認(rèn)為，數(shù)學(xué)能力差異可分為類型差異和水平差異。數(shù)學(xué)能力的類型差異又可分為以下三類：分析型（傾向以言語——邏輯的關(guān)系來思考）、幾何型（傾向以視覺——形象的關(guān)系來思考）、調(diào)和型（兼具前兩種類型的特征）。那么在上述該問題中，如圖6（分類討論型），這類學(xué)生屬于分析型，他的語言邏輯成分占明顯的優(yōu)勢，他習(xí)慣用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言去描述。而錯(cuò)誤思維“顧此失彼型”（如圖11）這一類型的孩子恰恰屬于幾何型。這類孩子具有非常好的視覺形象成分，習(xí)慣于形象地解釋抽象的數(shù)量關(guān)系。在訪談中，我們可以看到他思維的獨(dú)創(chuàng)性。他們總是堅(jiān)持用視覺的圖示、表象和具體的概念進(jìn)行運(yùn)算（這里用加法算式去表征）。在圖5中，“舉例推理型”的思維類型所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)能力則更趨向于“調(diào)和型”。大多數(shù)能力強(qiáng)的孩子都屬于這種類型，他們的特征是在語言邏輯成分的主導(dǎo)作用下，保持語言邏輯成分和視覺形象成分的平衡發(fā)展。在圖5中，我們能看到該孩子邏輯表達(dá)能力強(qiáng)，而且會(huì)根據(jù)所表達(dá)的內(nèi)容進(jìn)行列舉，并推理概括。

數(shù)學(xué)能力的類型差異是沒有好壞之分的。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們一線教師要兼顧這三種類型差異的學(xué)生，在課堂實(shí)踐中，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生充分地進(jìn)行解題表征，讓更多的解題圖示都得以展示，促進(jìn)不同類型學(xué)生的發(fā)展，創(chuàng)設(shè)適合的教育，讓不同類型的學(xué)生都能獲得不同的發(fā)展。

而學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平差異是有好壞之分的，思維也有高低之分的。在教學(xué)實(shí)踐中，我們可以實(shí)施分層教學(xué)，也就是差異教學(xué)。如教師可以設(shè)計(jì)智慧A、B、C、D卡。（A卡層次最高，D卡層次最低）每一張卡上都有對(duì)2、5倍數(shù)特征的一些問題，也是一些提示。并明確告訴學(xué)生，如果A卡中你不能完成所有的題，你就需要看B卡或C卡，依次類推。智慧卡如下圖：

利用智慧卡，能滿足不同思維層次學(xué)生的需求，讓不同的學(xué)生思維得以發(fā)展，創(chuàng)設(shè)不同的問題情境，讓不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。

（二）針對(duì)學(xué)生解題的思想方法錯(cuò)誤，滲透“分類討論”思想

學(xué)生在用“2、5、3倍數(shù)特征”解決問題時(shí)，出現(xiàn)了幾種思維類型錯(cuò)誤。如思維無序型、思維狹隘型、顧此失彼型、思維漏洞型等，占總?cè)藬?shù)的59.3%。通過錯(cuò)例分析，大部分學(xué)生不能靈活運(yùn)用分類討論思想方法，思考問題無序混亂。該研究啟示我們：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透分類討論、有序思考的思想十分重要。所謂分類討論思想是指：面對(duì)比較復(fù)雜的問題，有時(shí)無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決。其實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之、各個(gè)突破、綜合歸納”。而有序思維是指思考和解決問題時(shí)遵循一定的順序、按照特定的線索和步驟去探索的一種思維方式。滲透“分類討論”思想，培養(yǎng)“有序思維”，可以優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，提高問題解決能力。可以從以下途徑開展。

其一，有序觀察，有序思考。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生有序觀察，使學(xué)生進(jìn)行有條理的思考，達(dá)到言之有序、思之有路的目的。例如圖3，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察：如果被5整除，個(gè)位可以是0，其他數(shù)位上的數(shù)字之和：2+5+4=11，12-11=1，所以百位可以是1。緊緊抓住被3整除的特性：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是3的倍數(shù)。于是可以有序累加，1+3=4，百位可以是4；4+3=7，百位可以是7。同樣個(gè)位換成5，也可以引導(dǎo)學(xué)生這樣有序思考。

其二，合理分類，有序思考。小學(xué)生的思維處于無序思維向有序思維的過渡階段。重視學(xué)生獲取知識(shí)的思維過程，合理分類，就是引導(dǎo)學(xué)生有序思維。例如在歸納能被2整除的數(shù)的特征時(shí)，可以讓學(xué)生分類思考，先思考個(gè)位都是2的兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，是否能被2整除；再思考個(gè)位是4、6、8等數(shù)是否都能被2整除，從而推導(dǎo)出2的倍數(shù)特征。

其三，有序操作，有序思考。操作是思維的基礎(chǔ)和源泉，學(xué)生的操作過程，其實(shí)就是他思考的過程。例如在教學(xué)2的倍數(shù)特征時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、操作再到驗(yàn)證的過程，理解2的倍數(shù)特征：給出像18，22，36這樣的數(shù)，利用實(shí)物圖請(qǐng)學(xué)生先猜測如果2個(gè)2個(gè)分，是否剛好分完。然后通過實(shí)際操作驗(yàn)證猜測。接著讓學(xué)生進(jìn)一步猜測當(dāng)5個(gè)5個(gè)分時(shí)，剛好分完，物體的個(gè)數(shù)應(yīng)該是幾，這些數(shù)的個(gè)位有什么特點(diǎn)。

（三）加強(qiáng)對(duì)比，理清2、5、3倍數(shù)特征關(guān)系；在綜合性問題解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)求聯(lián)

學(xué)生對(duì)概念的理解到應(yīng)用是有一個(gè)過程的。在教學(xué)過程中應(yīng)重視實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。概念的理解到應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是要經(jīng)歷由知識(shí)點(diǎn)—知識(shí)域—知識(shí)體系的求聯(lián)過程。那么在解決上述這個(gè)問題中，學(xué)生需要了解并掌握的知識(shí)點(diǎn)是“能被5整除的數(shù)的特征是個(gè)位上的數(shù)是0或5”；“能被3整除的數(shù)的特征是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除”。這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)并非孤立的，學(xué)生在學(xué)2、5倍數(shù)特征時(shí)，所采用的思考問題的方法是具有共性的，可通性的，都是從個(gè)位開始研究，進(jìn)行判斷。而在3的倍數(shù)特征的學(xué)習(xí)中，也會(huì)把這種思考問題的方式進(jìn)行遷移，發(fā)現(xiàn)個(gè)位是3、6、9的數(shù)不一定是3的倍數(shù)，于是就會(huì)另辟蹊徑，一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)又誕生了，知識(shí)點(diǎn)的誕生擴(kuò)充了知識(shí)域。

在教學(xué)時(shí)，我們要?jiǎng)?chuàng)設(shè)更多的綜合性問題情境。不僅要關(guān)注一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的豐厚，而且要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的知識(shí)鏈的求聯(lián)。當(dāng)要解決既能被3整除而又能被5整除的數(shù)時(shí)，我們就要把這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求聯(lián)，要把這一問題放到整個(gè)整除的知識(shí)體系中去研究。知識(shí)鏈的求聯(lián)是需要在綜合性問題解決中得以實(shí)現(xiàn)的。

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（浙江省杭州市天長小學(xué) 310000 浙江省杭州市崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校 310000）