基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“復(fù)數(shù)”教學(xué)設(shè)計

呂天璽　王光明

(天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院　300387)

1　引言

2018年1月16日，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)正式頒布，其中提出了六個反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心素養(yǎng)，優(yōu)化了課程結(jié)構(gòu)，更新了教學(xué)內(nèi)容．

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，首先要改變教學(xué)設(shè)計的思路，要在整體觀下進行主題單元式的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生宏觀認識數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法；其次要重視情境創(chuàng)設(shè)與問題設(shè)計，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解[1]．

“復(fù)數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容由選修課程調(diào)整為必修課程，《課標》要求教師從方程的解這一角度幫助學(xué)生認識復(fù)數(shù)，更加突出了數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對數(shù)系擴充的推動作用；新增加的“復(fù)數(shù)的三角表示”等選學(xué)內(nèi)容，不僅加深了學(xué)生對復(fù)數(shù)幾何意義的認識，而且溝通了“幾何與代數(shù)”、“函數(shù)”等不同主題學(xué)習間的聯(lián)系，對學(xué)生深刻認識復(fù)數(shù)，培養(yǎng)其邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到促進作用．

復(fù)數(shù)是中學(xué)課程里數(shù)的概念的最后一次擴充，學(xué)生在生活中很少接觸復(fù)數(shù)，所以對其很陌生且較難理解．近幾年高考對復(fù)數(shù)的考查基本圍繞復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，使得教師和學(xué)生對復(fù)數(shù)這部分內(nèi)容不夠重視，僅僅會使用公式進行簡單計算，特別是對數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的幾何意義認識較為模糊．

2　以“幾何意義”為線索的復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計

數(shù)系的擴充過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的客觀需求[2]．因此復(fù)數(shù)教學(xué)的落腳點不能僅定位于讓學(xué)生運用公式進行簡單的計算，而應(yīng)從數(shù)系的擴充過程中深刻認識復(fù)數(shù)[3]，為學(xué)生制定突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標：(1)經(jīng)歷體會數(shù)的發(fā)展過程，理解引入復(fù)數(shù)的必要性；(2)借助類比法，理解i的含義，了解從實數(shù)到復(fù)數(shù)的擴充；(3)從幾何意義的角度，理解復(fù)數(shù)分類、復(fù)數(shù)相等的含義，掌握復(fù)數(shù)的四則運算．

依據(jù)張景中院士關(guān)于“虛數(shù)不虛”的闡述[4]，提出新的教學(xué)設(shè)計思路，如圖1所示．以幾何意義為線索貫穿始終，從數(shù)學(xué)史出發(fā)，運用類比法生成復(fù)數(shù)的概念，同時完成數(shù)系的擴充，并對其進行分類，討論復(fù)數(shù)相等的充要條件，最后再回歸到復(fù)數(shù)的幾何意義，引出復(fù)數(shù)的四則運算．

圖1

2.1　回溯歷史，引發(fā)認知沖突

關(guān)于數(shù)的概念，人們最早是從認識自然數(shù)開始的．每一次數(shù)系的擴充除了有實際生活的需要[5]，更重要的是數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的促進：方程x+1=0在自然數(shù)集無解，導(dǎo)致數(shù)系擴充至整數(shù)集；方程2x-1=0在整數(shù)集無解，導(dǎo)致數(shù)系擴充至有理數(shù)集；方程x2-2=0在有理數(shù)集無解，導(dǎo)致數(shù)系擴充至實數(shù)集[6]．

16世紀之前，人們認為：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當Δ<0時，方程無解．方程為什么無解？如何使方程有解呢？

問題1：求使和為10，積為40的兩個數(shù)[7]．(意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹，《大術(shù)》)

顯然方程存在解x=4，這是為什么？

問題3：已知x、y滿足x2+y2=2，xy=2，求x+y、x、y[9]．(德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨)

通過上述三個問題，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)家之路，思考問題總結(jié)發(fā)現(xiàn)：確實存在一種數(shù)，它們的和或者積為實數(shù)．從而提出一種猜測：Δ<0時，一元二次方程存在根，但不是實數(shù)．

2.2　類比實數(shù)，研習數(shù)系擴充

如圖2所示，數(shù)軸上的任意一點B都唯一對應(yīng)實數(shù)b(設(shè)b>0)，將實數(shù)b乘-1得到實數(shù)-b，那么-b在數(shù)軸上就對應(yīng)點B關(guān)于原點O的對稱點B′，也可以看作是將點B繞原點O旋轉(zhuǎn)180°所得．將實數(shù)-b乘-1又得到實數(shù)b，也可以看作是將點B′繞原點O旋轉(zhuǎn)180°所得．兩次旋轉(zhuǎn)從代數(shù)的角度看，就是(-1)×(-1)=1．

圖2　實數(shù)的幾何意義

如果將b×(-1)所對應(yīng)的點看作是將點B繞原點旋轉(zhuǎn)180°所得，那么b×(-1)=b×i×i所對應(yīng)的點就可以看作將點B繞原點連續(xù)作兩次順時針(或逆時針)旋轉(zhuǎn)90°所得，如圖3所示．

圖3　i的幾何意義

問題5：將一個實數(shù)乘-1后，其對應(yīng)的點仍然落在數(shù)軸上，那乘i后對應(yīng)的點落在何處？如果將數(shù)軸上每個點對應(yīng)的實數(shù)都乘i會發(fā)生什么？

通過問題5引導(dǎo)學(xué)生循序漸進的發(fā)現(xiàn)“新數(shù)”已經(jīng)無法在一維的數(shù)軸上表示．如圖4所示，不妨取實數(shù)乘i后沿逆時針旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點落在過原點垂直于數(shù)軸的直線上，最終產(chǎn)生一條過原點且垂直于原數(shù)軸、正方向向上的新數(shù)軸．

圖4　新數(shù)軸的產(chǎn)生

也就是說，僅僅依靠一條實數(shù)軸是不能理解i的含義的，因此引入一條新數(shù)軸．原數(shù)軸稱為實軸，新數(shù)軸稱為虛軸．任意一個實數(shù)b所對應(yīng)的點B都在實軸上，bi所對應(yīng)的點都在虛軸上．

問題6：在實軸上任取一點P，將其向右平移1個單位長度，只需將點P所對應(yīng)的實數(shù)加1即可．請類比實軸上點的移動，說明bi所對應(yīng)的點向上平移1個單位長度得到哪個點？向右平移1個單位長度呢？

如圖5所示，取實數(shù)b，向右平移1個單位長度，得到b+1，再乘i，得到(b+1)i．學(xué)生發(fā)現(xiàn)上下平移與i有關(guān)，而左右平移與i無關(guān)．因此，bi所對應(yīng)的點向右平移1個單位長度得到bi+1=1+bi所對應(yīng)的點．

圖5　軸上點的平移

這樣，不但實軸與虛軸上的點可以表示，而且實軸與虛軸所在平面上的每一個點都可以用a+bi(a、b∈R)這樣的數(shù)表示，這個平面稱為復(fù)平面．

像這樣，形如a+bi(a、b∈R)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R)．其中a與b分別稱為復(fù)數(shù)的實部與虛部，i稱為虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集C={a+bi|a、b∈R}．

通過類比實數(shù)的幾何意義，解決了負數(shù)開方問題，而且引入的虛數(shù)i和實數(shù)之間仍然滿足實數(shù)集的運算法則：加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律．這樣就自然、合理地將數(shù)系擴充至復(fù)數(shù)系，并且討論了復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)唯一對應(yīng)復(fù)平面上的點Z(a，b)．

2.3　數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用幾何意義

問題7：請結(jié)合上述所學(xué)知識，談一談為什么從實數(shù)集到復(fù)數(shù)集是數(shù)系的擴充？

一方面，復(fù)數(shù)集的運算滿足實數(shù)集的運算法則，數(shù)系的擴充具有合理性；另一方面，通過復(fù)數(shù)幾何意義的討論，可以發(fā)現(xiàn)實軸上的點都唯一對應(yīng)著實數(shù)，因此是數(shù)系的擴充．也就是說，對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)，當b=0時，a+bi就是實數(shù)，因此復(fù)數(shù)集中包含實數(shù)．其他情況如下表所示．

表　復(fù)數(shù)的分類

當a=0且b=0時，z=0也屬于實數(shù)，因此復(fù)數(shù)的分類可以用圖6表示．

圖6　復(fù)數(shù)的分類

問題8 ：請根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，闡述兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義(復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)一一對應(yīng))得知，兩個復(fù)數(shù)相等就是所對應(yīng)的點重合，則有實部對應(yīng)相等，虛部對應(yīng)相等．即復(fù)數(shù)z1=a+bi(a、b∈R)與z2=c+di(c、d∈R)相等的充要條件是a=c且b=d．教師在教學(xué)過程中，要強調(diào)復(fù)數(shù)之間不能比較大小，只能說相等或不等．因為對于任意兩個實數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上都具有“序”的概念，所以實數(shù)可以比較大?。欢我鈨蓚€復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)不具有“序”的概念，因此復(fù)數(shù)不能比較大小．

圖7　復(fù)數(shù)的幾何意義

問題9：向量是指既有大小又有方向的量．對于復(fù)數(shù)z=a+bi，其模長決定大小，那什么決定方向呢[11]？

可以用向量與坐標軸所夾的角度確定方向．類比直線的傾斜角，定義向量方向與實軸正方向所夾的角為該復(fù)數(shù)的幅角，若向量終點位于實軸或?qū)嵼S上方，則幅角為正；若向量終點位于實軸下方，則幅角為負．

圖8　復(fù)數(shù)的三角表示形式

如圖8所示，設(shè)復(fù)數(shù)的模長為r、幅角為θ，易知a=r·cosθ，b=r·sinθ，則復(fù)數(shù)的三角表示形式為z=r(cosθ+i·sinθ)．

2.4　融合提升，算盡加減乘除

復(fù)數(shù)的運算仍然滿足實數(shù)系的運算法則，依此類比實數(shù)運算得到復(fù)數(shù)的四則運算．設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi(a、b∈R)與z2=c+di(c、d∈R)，則有

z1±z2=(a±c)+(b±d)i，

z1×z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，

復(fù)數(shù)的幾何意義是一一對應(yīng)平面向量和復(fù)平面內(nèi)的點，那么復(fù)數(shù)的加減法運算就可以用向量的加減法來表示，也可以用對應(yīng)點表示．此處給出復(fù)數(shù)加法的幾何意義．

圖9　復(fù)數(shù)的加法

圖10　cz1的幾何意義

圖11　z1i的幾何意義

圖12　復(fù)數(shù)乘法的幾何意義

對于復(fù)數(shù)的除法，類比根式除法的分母“有理化”，只需利用共軛復(fù)數(shù)將分母“實數(shù)化”，轉(zhuǎn)化為乘法運算即可，此處不討論其幾何意義．

3　教學(xué)目標制定與教學(xué)設(shè)計實施要突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有連續(xù)性、階段性和整合性等特點，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計要突出其特點，強化單元教學(xué)目標為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所做出的獨特貢獻，以教學(xué)目標為指向，結(jié)合教學(xué)任務(wù)設(shè)計教學(xué)過程，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展，使學(xué)生會用現(xiàn)成的套路解決不現(xiàn)成的問題[13]．

以“復(fù)數(shù)”為載體的知識學(xué)習，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

首先，通過回顧數(shù)的發(fā)展歷程，讓學(xué)生感受到復(fù)數(shù)是真實存在的，而不是人們憑空想象的，它是經(jīng)過理性思考后所發(fā)現(xiàn)的一類新數(shù)，理解復(fù)數(shù)的引入十分必要，這樣建立在達成教學(xué)目標(1)基礎(chǔ)上的教學(xué)才能更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

其次，由于i的抽象性導(dǎo)致學(xué)生較難理解其含義，運用類比法從實數(shù)系擴充到復(fù)數(shù)系，將實數(shù)乘-1轉(zhuǎn)化為實數(shù)乘i2，對應(yīng)將一次旋轉(zhuǎn)化為兩次相同的旋轉(zhuǎn)，其實這也是若干個小的推理的連續(xù)呈現(xiàn)．既巧妙地化解了難點，達成了教學(xué)目標(2)，又突出了邏輯推理[14]．通過此過程得到數(shù)學(xué)結(jié)論，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴謹性，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的理性精神，在數(shù)學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[15]．

新思路下的教學(xué)設(shè)計突出表現(xiàn)的就是“幾何意義”的重要性，數(shù)系的擴充(復(fù)數(shù)的概念)、復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的四則運算都可以用復(fù)數(shù)的幾何意義直觀解釋．這樣“以形釋數(shù)”的方法將抽象的數(shù)學(xué)可視化、具體化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用直觀的圖形說明抽象的數(shù)學(xué)知識，解決實際問題與數(shù)學(xué)問題，找到圖形與圖形、圖形與數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

數(shù)學(xué)運算是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，體現(xiàn)著一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．復(fù)數(shù)的幾何意義能幫助學(xué)生更好地認識復(fù)數(shù)的四則運算法則，提高數(shù)學(xué)運算能力．這種理解意義下的數(shù)學(xué)運算才能反映學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性[16]，幫助學(xué)生更好地達成教學(xué)目標(3)．如果想提高學(xué)生的運算能力，還需教師在教學(xué)中全方位、深層次、多角度的鍛煉學(xué)生邏輯思維，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

從本質(zhì)上講，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與以人為本或以學(xué)生發(fā)展為本的理念是一致的．在教學(xué)中落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，既要在歷史背景下傳承，又要在時代精神中創(chuàng)新，兩者的有機結(jié)合才能將其落實到位．