關(guān)注基礎(chǔ)和思維習(xí)慣　合理引導(dǎo)學(xué)生思考

王保東

(北京市密云區(qū)教師研修學(xué)院　101500 )

1　引子

筆者最近聽(tīng)了一節(jié)普通校的高三二輪復(fù)習(xí)課，題目是《立體幾何綜合五——折疊問(wèn)題》.對(duì)教師在例題講解環(huán)節(jié)中的提問(wèn)方式和引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題，這些問(wèn)題在當(dāng)前的教學(xué)中帶有普遍性.

(Ⅰ)求證：OM∥平面ABD；

(Ⅱ)求證：平面ABC⊥平面MDO；

(Ⅲ)求三棱錐M-ABD的體積.

授課教師先要求學(xué)生讀題，并完成如下小測(cè)題：

(1)在菱形ABCD中，求∠AOB=________,∠AOD=________,BD=________,AC=________,OM=________.

(2)在三棱錐B-ACD中，求∠AOB=________,∠AOD=________,OD=________,OM=________,∠DOM=________.

(3)寫(xiě)出線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理.

(4)寫(xiě)出錐體體積公式，柱體體積公式，寫(xiě)出求體積的經(jīng)驗(yàn).

8分鐘后，教師找?guī)讉€(gè)學(xué)生核對(duì)小測(cè)題答案，對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行了講解，然后要求學(xué)生自己解答例題第一問(wèn)，大部分學(xué)生都能順利解答.接著教師帶領(lǐng)大家思考第二問(wèn)，教師提示：

然后就讓學(xué)生自己動(dòng)手做題了，結(jié)果10分鐘后還有許多學(xué)生沒(méi)有找到解題思路，教師只好自己把求解過(guò)程講解一遍.

對(duì)上述教學(xué)過(guò)程，筆者有如下思考：

1.安排課前小測(cè)，有復(fù)習(xí)舊知、了解學(xué)情，為后續(xù)解決問(wèn)題搭臺(tái)的作用.但本節(jié)課已是二輪復(fù)習(xí)中立體幾何的最后一節(jié)課，有關(guān)垂直的判定定理和體積公式絕大多數(shù)學(xué)生都應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題了，占用上課時(shí)間測(cè)試，會(huì)沖淡教學(xué)重點(diǎn)，完全沒(méi)有必要.另外，對(duì)小測(cè)中的度量問(wèn)題直接核對(duì)答案，也沒(méi)有起到了解學(xué)情的目的.

2.整節(jié)課圍繞一道綜合性很強(qiáng)的例題(模擬題或高考題的形式)組織教學(xué)，沒(méi)有體現(xiàn)出二輪復(fù)習(xí)“新”在何處，是以教師經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，沒(méi)有反映學(xué)生的實(shí)際狀況.第一問(wèn)大多數(shù)學(xué)生3分鐘就完成了，說(shuō)明線面平行不需要在課上再?gòu)?fù)習(xí).舍掉第一問(wèn)，學(xué)生有更充分的時(shí)間研究第二問(wèn)的面面垂直問(wèn)題.

由上述教學(xué)過(guò)程可見(jiàn)，雖然經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的教育改革，教師的教育理念和教學(xué)方式等都發(fā)生了巨大變化，但教師不顧學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，提出的問(wèn)題深一腳淺一腳，一旦超出學(xué)生思維水平，學(xué)生不能給出回答，教師就自己開(kāi)講，并不顧及學(xué)生是否能夠理解.教學(xué)實(shí)踐中，違背學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的情況仍然比較普遍.如何改變這種狀況呢？

章建躍博士提出，“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的基本保證”，其中理解學(xué)生，就是要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律，使教學(xué)更適合學(xué)生，因材施教，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成．具體針對(duì)一堂課而言，既要理解當(dāng)前的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，這是確定教學(xué)出發(fā)點(diǎn)的依據(jù)；又要把握當(dāng)前知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“距離”及相互作用(正遷移和負(fù)遷移)，這是確定教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程干預(yù)強(qiáng)度的依據(jù)．在踐行“三個(gè)理解”的實(shí)踐中，筆者在“理解學(xué)生”上摸索了一種“試水深”的方法，就像一個(gè)人要涉水過(guò)河，要想順利過(guò)河，必須先知道水有多深，這就要先找一個(gè)辦法試一試水深.教學(xué)也是如此，要想知道學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維習(xí)慣，就得先設(shè)計(jì)一些問(wèn)題，讓學(xué)生答一答，反饋一下才行，下面以一個(gè)案例來(lái)說(shuō)明如何“試水深”．

2　試水深發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

案例含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式解法舉例

本節(jié)課重點(diǎn)研究|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.

為了“試水深”，筆者先讓學(xué)生舉出一個(gè)含一個(gè)絕對(duì)值的不等式，并給出它的解法．預(yù)設(shè)有五種解法，即利用絕對(duì)值不等式的公式求解；用絕對(duì)值的幾何意義求解；平方變形求解；利用函數(shù)圖象求解；分類(lèi)討論去絕對(duì)值求解.

學(xué)生給出了很多例子，筆者選擇|x-6|>3讓全班學(xué)生進(jìn)行解答.學(xué)生給出了四種解法，其中如下兩種解法對(duì)“含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式”的解決有重要意義.

解法一利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合．許多學(xué)生先畫(huà)出一個(gè)數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出實(shí)數(shù)±3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，將x-6看成一個(gè)整體，如圖2所示.由|x-6|>3，可知點(diǎn)“x-6”在-3和3的兩側(cè)，進(jìn)而得到x-6的范圍，化簡(jiǎn)可確定x的范圍．但學(xué)生上課的做法與預(yù)設(shè)還是有出入.

圖2

從學(xué)生的思維過(guò)程看，他們利用換元，把|x-6|>3轉(zhuǎn)化成|y|>3，利用|y|>a(a>0)的解集求解問(wèn)題，得到了正確答案，但這種解法對(duì)研究“含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式”的解作用不大.通過(guò) “試水”發(fā)現(xiàn)，學(xué)生知道|a|的幾何意義，卻不明白|a-b|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)“a”和“b”之間的距離，這會(huì)對(duì)本課的后續(xù)學(xué)習(xí)造成障礙．于是筆者立即調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)|a-b|的幾何意義進(jìn)行再認(rèn)識(shí)：

(1)|x|的幾何意義是什么？

生：點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離.

(2)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是0，能把這個(gè)距離用x和0的運(yùn)算再表示一下嗎？

生：0-x或x-0，即|x-0|.

師：因此，|x|是|x-0|的簡(jiǎn)化，大家不要小看這個(gè)表示，它在認(rèn)識(shí)絕對(duì)值的幾何意義中有重要作用.

(3)|a-b|的幾何意義是什么？由此，你能給出|x-6|>3的新解法嗎？

在學(xué)生自主研究的過(guò)程中，提醒學(xué)生注意，研究不等的問(wèn)題，經(jīng)常從相等開(kāi)始，可以先在數(shù)軸上找到方程|x-6|=3的根3和9,3和9把數(shù)軸分成3部分，將x分別“發(fā)放”到3個(gè)部分，進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖3所示，易得x>9或x<3.

圖3

解法二按學(xué)生的說(shuō)法叫“分情況討論”.筆者用實(shí)物投影儀展示了A同學(xué)的做法：因?yàn)閨x-6|>3，所以x-6>3或-x+6>3，得x>9或x<3.

看到學(xué)生的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，筆者意識(shí)到學(xué)生對(duì)如何分類(lèi)討論和如何表示討論過(guò)程存在一定問(wèn)題，這是必須先解決的.于是，筆者先請(qǐng)A同學(xué)說(shuō)說(shuō)自己的想法.

生A：當(dāng)x-6>0時(shí)，|x-6|=x-6>3；當(dāng)x-6<0時(shí)，|x-6|=6-x>3.再化簡(jiǎn)就行了.

追問(wèn)：大家認(rèn)為A同學(xué)這樣書(shū)寫(xiě)對(duì)嗎？小組討論一下.認(rèn)為做對(duì)的同學(xué)，請(qǐng)思考書(shū)寫(xiě)過(guò)程中的每一步說(shuō)理是否充分？認(rèn)為做得不對(duì)的同學(xué)，你認(rèn)為該如何改進(jìn)？

之后，筆者繼續(xù)追問(wèn)：

B同學(xué)的書(shū)寫(xiě)過(guò)程是“因?yàn)閨x-6|>3，所以x-6>3或x-6<-3，所以x>9或x<3”.你認(rèn)為對(duì)嗎，你能看出A、B兩位同學(xué)的書(shū)寫(xiě)的區(qū)別嗎？

這個(gè)追問(wèn)的目的是讓學(xué)生明白兩種方法的結(jié)果一樣，但體現(xiàn)的思維過(guò)程不同.B同學(xué)的書(shū)寫(xiě)顯然是運(yùn)用了公式|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.

最后，筆者組織學(xué)生反思：

本題為什么要分類(lèi)討論？如何分類(lèi)？

通過(guò)反思，學(xué)生知道了分類(lèi)討論是為了去絕對(duì)值，因此使含絕對(duì)值項(xiàng)為零的x就是分類(lèi)的“界”.

上述過(guò)程實(shí)際上是學(xué)生對(duì)絕對(duì)值不等式的“再認(rèn)識(shí)”過(guò)程.這里的關(guān)鍵是讓學(xué)生把|x|的幾何意義說(shuō)出來(lái)：點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離，即|x-0|，|x|是|x-0|的簡(jiǎn)化，在此基礎(chǔ)上，就能比較好地過(guò)渡到|x-6|的幾何意義；接著，要求學(xué)生把|x-6|>3的幾何意義說(shuō)出來(lái)，借助幾何意義，理解相應(yīng)的解集.這些問(wèn)題解決好了以后，再進(jìn)行拓展，同時(shí)強(qiáng)調(diào)把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題，就為解決本課的主要問(wèn)題做好了鋪墊.

然而，學(xué)生真的能按照老師設(shè)計(jì)的路子走嗎？

3　解含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的教學(xué)過(guò)程

通過(guò)“試水深”，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行補(bǔ)救后，筆者提出了新任務(wù)：

解不等式 |x-1|+|x+2|≥5.

并提示學(xué)生，含一個(gè)絕對(duì)值的不等式的各種解法還能用嗎？使用時(shí)應(yīng)該注意什么問(wèn)題呢？

筆者發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生并不按筆者的預(yù)設(shè)走，他們的做法是：

因?yàn)閨x-1|+|x+2|≥5，

所以|x-1+x+2|≥5.

所以|2x+1|≥5．

所以2x+1≥5或2x+1≤-5.

所以x≥2 或x≤-3.

顯然，“因?yàn)椤焙竺娴牡谝粋€(gè)“所以”就錯(cuò)了.為調(diào)整眾多學(xué)生的解題方向，筆者利用實(shí)物投影展示了學(xué)生的解答，并讓大家思考其中是否存在問(wèn)題.

很快，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題.筆者乘勢(shì)讓給出上述解答的一位學(xué)生說(shuō)一下如此解答的理由 .他說(shuō)：

“我把x-1看成x，把x+2看成y，不等式|x-1|+|x+2|≥5就相當(dāng)于|x|+|y|≥5.如果能把左端的兩個(gè)絕對(duì)值轉(zhuǎn)化成一個(gè)絕對(duì)值，就轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問(wèn)題了.這就想到了利用剛學(xué)過(guò)不久的絕對(duì)值三角不等式|x|+|y|≥|x+y|進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 得到|x+y|≥5，也就是|x-1+x+2|≥5”.

對(duì)此，筆者讓學(xué)生分組討論.經(jīng)過(guò)討論，許多學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤的根源：|x+y|和5都比|x|+|y|小，所以|x+y|和5是不能比較大小的.

追問(wèn)：在什么情況下這一步的推理是正確的呢？

學(xué)生：當(dāng)絕對(duì)值不等式的等號(hào)成立時(shí)，不等式的求解過(guò)程就成了等價(jià)轉(zhuǎn)化，所以這一步的推理是可以的，但是對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，顯然絕對(duì)值不等式|x|+|y|≥|x+y|不恒取等號(hào)，因此這個(gè)解法行不通.

再追問(wèn)：如果我們把不等式的符號(hào)語(yǔ)言翻譯成文字語(yǔ)言，就是“求數(shù)軸上到1和-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離的和大于或者等于5的點(diǎn)x的取值集合”，這對(duì)你解決這個(gè)問(wèn)題有什么啟示？

在此提示下，學(xué)生順利完成了借助幾何意義求解的方法.基于前期準(zhǔn)備和方法的類(lèi)比，學(xué)生也順利完成了“畫(huà)圖法”和“分類(lèi)討論法”求解.

4　教學(xué)反思與教學(xué)再設(shè)計(jì)

看似比較完美，但課后反思，筆者發(fā)現(xiàn)其中存在許多遺憾！

1.為什么經(jīng)過(guò)復(fù)習(xí)、引導(dǎo)，學(xué)生還是想不到用絕對(duì)值的幾何意義？

通過(guò)查看教材，筆者明白了，學(xué)生剛學(xué)完絕對(duì)值三角不等式，造成學(xué)習(xí)“慣性”，自然會(huì)優(yōu)先想到用絕對(duì)值三角不等式(這是出現(xiàn)了負(fù)遷移)，同時(shí)也說(shuō)明學(xué)生前期學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)絕對(duì)值三角不等式的運(yùn)用條件和作用理解不夠準(zhǔn)確，筆者沒(méi)有把握這一學(xué)情.

2.為什么不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒梢缘贸鰷?zhǔn)確答案？

可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生利用絕對(duì)值三角不等式求解的方法雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，但運(yùn)算結(jié)果卻和正確答案一致，這是為什么？是必然的，還是巧合？在什么時(shí)候，這樣解出的結(jié)果是對(duì)的，什么時(shí)候，又是錯(cuò)誤的呢？如果在課上能關(guān)注到這一點(diǎn)，讓學(xué)生繼續(xù)研究就更有價(jià)值了．讓學(xué)生解決自己的困惑，組織學(xué)生開(kāi)展問(wèn)題解決的辨析過(guò)程是學(xué)生親身參與的學(xué)習(xí)體驗(yàn)過(guò)程，更有利于學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3.教學(xué)再設(shè)計(jì)

(1)從“數(shù)”的角度解釋問(wèn)題，應(yīng)從絕對(duì)值三角不等式等號(hào)成立的條件入手：

①當(dāng)(x-1)(x+2)≥0 即x≥1 或x≤-2時(shí)，

|x-1|+|x+2|=|(x-1)+(x+2)|

=|2x+1|.

這時(shí)，|x-1|+|x+2|≥5，即為|2x+1|≥5，即2x+1≥5或2x+1≤-5.

解得x≥2 或x≤-3.

與x≥1 或x≤-2結(jié)合，得x≥2 或x≤-3.

②當(dāng)(x-1)(x+2)<0 ，即-2

|x-1|+|x+2|=|(x-1)-(x+2)|=3.

所以|x-1|+|x+2|≥5無(wú)解.

綜合(1)(2)可知，原不等式的解集為{x|x≥2 或x≤-3}.

(2)從“形”的角度是否能解釋這種現(xiàn)象呢？

根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義，|x-1|+|x+2|≥5的解的集合就是數(shù)軸上到點(diǎn)-2和1的距離之和不小于5的點(diǎn)的集合.

圖4

觀察圖4，容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-3<

x

<2時(shí)，|

x

-1|+|

x

+2|<5；當(dāng)

x

=-3或2時(shí)，|

x

-1|+|

x

+2|=5；當(dāng)

x

<-3或

x

>2時(shí)，|

x

-1|+|

x

+2|>5.所以不等式的解集是{

x

|

x

≥2 或

x

≤-3}.

進(jìn)一步觀察還可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間[-3,2]的長(zhǎng)度為5，區(qū)間[-2,1]的長(zhǎng)度為3，它們的中點(diǎn)都是-1/2．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，|x-1|+|x+2|≥5的解集與|2x+1|≥5的解集等價(jià)，并且只要c>|(x-1)-(x+2)|=3，不等式|x-1|+|x+2|≥c就與不等式|(x-1)+(x+2)|≥c等價(jià).

若將原不等式中的“5”換成比“3”小的數(shù)，如“2”，則不等式|x-1|+|x+2|≥2又如何解決呢？注意到任意x∈[-2,1]，都有|x-1|+|x+2|=3>2，而當(dāng)x<-2或x>1時(shí)，|x-1|+|x+2|>3，所以|x-1|+|x+2|≥2的解集為R．

推廣到一般，就可以得到不等式|x-a|+|x-b|≥c(c>0) 的新求法.

①當(dāng)|(x-a)-(x-b)|=|a-b|≥c(c>0)時(shí)，

不等式|x-a|+|x-b|≥c(c>0)解集為實(shí)數(shù)集；

②當(dāng)|(x-a)-(x-b)|=|a-b|0)時(shí)，

同理，對(duì)于不等式|x-a|+|x-b|≤c(c>0)，

①當(dāng)|(x-a)-(x-b)|=|a-b|>c(c>0)時(shí)，原不等式解集為空集；

果真如此設(shè)計(jì)，學(xué)生經(jīng)歷不甘心被否定(解法不對(duì)，結(jié)果對(duì))、追查原因(關(guān)注不等式的等價(jià)變形和不等價(jià)變形的條件)、解釋巧合的過(guò)程，體會(huì)偶然中的必然，并從數(shù)形兩個(gè)角度對(duì)非等價(jià)轉(zhuǎn)化重新分析，完善解題方案，再?gòu)奶厥馔茝V到一般，可以積累重要的思辨經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)，這樣的教學(xué)還注意到如何利用不等式、絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，這里就是利用好|x-a|>b或|x-a|

5　結(jié)束語(yǔ)

作為教師，我們應(yīng)清醒地認(rèn)識(shí)到，學(xué)生思考水平的提高，既是向他人學(xué)習(xí)的結(jié)果，更是自身感悟的結(jié)果，思考能力的高低取決于學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累.當(dāng)然，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)來(lái)自于課本、生活實(shí)踐及學(xué)生自己的解題實(shí)踐.而善于運(yùn)用原有的各種經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)和把握問(wèn)題的本質(zhì)，建立事物間的內(nèi)在聯(lián)系并解決問(wèn)題，就是“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的具體表現(xiàn)．