基于區(qū)域質(zhì)量監(jiān)測(cè)的八年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力調(diào)查研究①

杜宵豐　張之堃　劉　堅(jiān)

(北京師范大學(xué)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心　100875)

1　研究背景

幾何直觀能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要指標(biāo).近年來，在中小學(xué)加強(qiáng)幾何直觀能力的培養(yǎng)已經(jīng)成為我國(guó)關(guān)注的課題.2001年教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在解釋“空間觀念”時(shí)指出能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考.實(shí)驗(yàn)稿雖然沒有明確提出幾何直觀，但顯然幾何直觀已經(jīng)作為課程的隱性目標(biāo)暗含其中.2012年修訂出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)(2011)》)中，“幾何直觀”作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的核心概念被正式提出，并明確幾何直觀主要在于利用圖形描述和分析問題.幾何直觀這種依靠視覺的思維方式為我們的學(xué)習(xí)與生活提供了很多便利，它能夠體現(xiàn)在對(duì)圖表的解讀中，也可以作為思維的拐杖，幫助我們完成問題解決，甚至還能夠作為正式的證明工具，用于推導(dǎo)公式和定理.

幾何直觀屬于中國(guó)數(shù)學(xué)教育的專屬叫法.國(guó)內(nèi)學(xué)者將其描述為借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)空間形式和數(shù)量關(guān)系的直接感知和整體把握的能力.在國(guó)際數(shù)學(xué)教育里幾何直觀可以被歸入到一個(gè)更大的概念——可視化(Visualization).可視化是在做數(shù)學(xué)時(shí)，對(duì)有著圖像本質(zhì)的視覺心理表象及其相應(yīng)符號(hào)進(jìn)行建構(gòu)和轉(zhuǎn)化的過程.主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是理解圖像信息，二是進(jìn)行視覺加工.可視化研究的萌芽孕育于19世紀(jì)的心理學(xué)領(lǐng)域，國(guó)際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?qū)梢暬年P(guān)注雖然早已有之，但在20世紀(jì)80年代之前還沒有形成一個(gè)系統(tǒng)的研究主題.Bishop等人對(duì)可視化的早期研究開創(chuàng)了這一領(lǐng)域的先河.Presmeg緊隨其后，開始從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的視覺加工逐步涉足數(shù)學(xué)教育中的可視化研究.可視化研究的發(fā)展可以從國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理年會(huì)的歷屆會(huì)議論文集中明顯體現(xiàn)出來.1988年(PME 12th)，以可視化為主題的文章只有一篇，而到了1991年(PME 15th)，可視化已經(jīng)在國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理年會(huì)中形成一個(gè)獨(dú)立的研究主題，研究者對(duì)其結(jié)構(gòu)、在課堂教學(xué)中的地位，以及影響因素等相關(guān)問題進(jìn)行了細(xì)致的探討.1993年(PME 17th)，參會(huì)的學(xué)者在可視化主題下被分成兩個(gè)工作組，一個(gè)更關(guān)注表征，一個(gè)更關(guān)注幾何.在隨后的兩屆年會(huì)中(PME 19th, PME 20th)，研究者對(duì)可視化的關(guān)注開始聚焦到其在數(shù)學(xué)課程中的體現(xiàn).自PME 22th開始直至近年，圍繞可視化的研究主要包括：學(xué)生的學(xué)習(xí)、教師的教學(xué)，以及其在問題解決中的應(yīng)用.

縱觀國(guó)內(nèi)外的研究可以發(fā)現(xiàn)，首先，我國(guó)的幾何直觀與國(guó)際上的可視化，他們的本質(zhì)是相似的，兩者雖然有范圍和形式上的差異，但都具有利用“形”為載體，承載抽象信息的特質(zhì).其次，可視化在國(guó)際上的發(fā)展趨勢(shì)從20世紀(jì)末開始逐步轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)教學(xué)和問題解決中來，而我國(guó)21世紀(jì)伊始的數(shù)學(xué)課程改革也開始將幾何直觀的培養(yǎng)融入到課程體系中來，并明確提出幾何直觀在于利用圖形描述和分析問題，因此我國(guó)的幾何直觀可以看作是可視化最新研究動(dòng)向的本土化，較好地承接了可視化以問題解決為目的，聚焦數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中應(yīng)用的最新發(fā)展導(dǎo)向.

雖然幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性已經(jīng)得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛認(rèn)可，但從定量分析的角度來看，國(guó)際上雖然有很多小規(guī)模的實(shí)證研究，但卻極少有對(duì)其進(jìn)行大規(guī)模評(píng)價(jià)的測(cè)試調(diào)查，PISA、TIMSS、NAEP等大型國(guó)際測(cè)評(píng)都缺乏明確的體現(xiàn).目前我國(guó)開展的大型測(cè)試雖然研究時(shí)間尚短，但也已經(jīng)取得了很多成果.本研究基于北京師范大學(xué)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心的“區(qū)域教育質(zhì)量健康體檢”項(xiàng)目，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)(2011)》的相關(guān)目標(biāo)與要求，試圖從整體以及不同群體的角度來揭示我國(guó)八年級(jí)學(xué)生幾何直觀發(fā)展水平的基本狀況.具體研究問題如下：(1)八年級(jí)學(xué)生的幾何直觀發(fā)展總體水平如何？(2)不同群體學(xué)生幾何直觀發(fā)展水平是否存在差異？

2　研究設(shè)計(jì)

2.1　被試選擇

本次測(cè)試的170307名學(xué)生來自我國(guó)東、中、西三個(gè)地區(qū)，測(cè)試學(xué)生全部為八年級(jí)學(xué)生，在城市類型上涵蓋了省會(huì)和非省會(huì)城市，在地域上涵蓋了城市、縣鎮(zhèn)和農(nóng)村學(xué)校，在經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平上涵蓋了發(fā)達(dá)、中等和欠發(fā)達(dá)地區(qū)，樣本代表性較好.其中，男生89615人約占52.6%，女生80671人約占47.4%(有21名學(xué)生性別數(shù)據(jù)缺失).測(cè)試前各地區(qū)教育相關(guān)部門對(duì)各學(xué)校校長(zhǎng)和教師進(jìn)行了動(dòng)員和培訓(xùn)，確保學(xué)生認(rèn)真作答，使得收集的數(shù)據(jù)真實(shí)有效.

2.2　測(cè)試工具

本次測(cè)試以《標(biāo)準(zhǔn)(2011)》為依據(jù)，內(nèi)容框架分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三個(gè)部分，并結(jié)合各版本初中數(shù)學(xué)教材的共有知識(shí)內(nèi)容，將其進(jìn)一步細(xì)化為實(shí)數(shù)、因式分解、分式、一次函數(shù)、勾股定理、四邊形和統(tǒng)計(jì)等主要知識(shí)點(diǎn).結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)(2011)》關(guān)于課程目標(biāo)的界定，初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目組將幾何直觀作為本次測(cè)試所考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)點(diǎn)之一.本次測(cè)試中幾何直觀的題目既包括利用已有圖形中蘊(yùn)含的信息來理解問題和解決問題，也包括根據(jù)已有信息繪制圖形解釋和說明.這既符合國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于幾何直觀的認(rèn)識(shí)與分析，也符合國(guó)際學(xué)者對(duì)于可視化兩個(gè)重要方面(理解圖像和視覺加工)的闡釋.

本次數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)試題是由數(shù)學(xué)課程研究人員和一線數(shù)學(xué)教師成立的出題小組共同開發(fā)，所有測(cè)試題目均需經(jīng)過出題小組成員的討論.命題組先后經(jīng)歷了“制定測(cè)試框架、編制命題指南和細(xì)目表、征集和研磨題目、6人訪談與修改、30人測(cè)試與修改、300人測(cè)試與修改、外審與修改、確定正測(cè)卷”等環(huán)節(jié)，并在開發(fā)工具的過程中綜合運(yùn)用CTT理論和IRT理論來計(jì)算試卷(包括試題)的指標(biāo)參數(shù)，保證了試題的基本質(zhì)量.

2.3　數(shù)據(jù)收集與分析

本項(xiàng)目采用紙筆測(cè)試的方式，試題結(jié)構(gòu)包括選擇題和解答題，試題答案采用雙位編碼.測(cè)試結(jié)束后，由數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生和研究生組成的閱卷團(tuán)隊(duì)經(jīng)過培訓(xùn)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)試卷進(jìn)行評(píng)閱.數(shù)據(jù)錄入后采用雙獨(dú)立的模式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行清理和分析，進(jìn)而使用Conquest軟件計(jì)算出學(xué)生的幾何直觀能力值，并通過Spss20.0和Es軟件分別進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析和效應(yīng)值的計(jì)算.

3　研究結(jié)果

3.1　總體表現(xiàn)

圖1呈現(xiàn)了八年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力的總體分布狀況，橫軸中的0代表能力平均值.幾何直觀能力位于區(qū)間[-1, 1]的學(xué)生人數(shù)百分比約為76.38%，表明大部分學(xué)生的幾何直觀能力總體上處于中等水平.雖然有14.43%的學(xué)生幾何直觀表現(xiàn)良好(能力值>1)，但卻不存在能力發(fā)展較為突出的學(xué)生(能力值>2).這基本符合Arcavi(2003)的觀點(diǎn)，他指出就算在數(shù)學(xué)成就較高的群體中，擅長(zhǎng)可視化的人數(shù)比例也可能會(huì)很低.此外，值得注意的是，本次測(cè)試有近10%的學(xué)生幾何直觀表現(xiàn)欠佳(能力值<-1).

圖1　八年級(jí)學(xué)生幾何直觀能力分布

3.2　不同群體學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)*由于本研究是大樣本數(shù)據(jù)，所以使用Cohen’s d值來描述不同群體之間的差異大小.

3.2.1東、中、西部地區(qū)學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)

表1　東、中、西部地區(qū)學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)及差異分析

由表1，東部地區(qū)八年級(jí)學(xué)生幾何直觀整體表現(xiàn)較好，平均能力值為0.1660(SD=0.7878).中部地區(qū)與西部地區(qū)表現(xiàn)相近，平均能力值分別為-0.0543(SD=0.8265)和-0.0089(SD=0.8154).其中，東、中部之間的效應(yīng)值和東、西部之間的效應(yīng)值分別為0.27和0.22，具有中等差異，而中、西部之間的效應(yīng)值僅為0.06，幾乎無差異.

3.2.2城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村地區(qū)學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)

表2　城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村地區(qū)學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)及差異分析

由表2，城市八年級(jí)學(xué)生幾何直觀整體表現(xiàn)較好，平均能力值為0.1910(SD=0.7957).縣鎮(zhèn)學(xué)生次之，平均能力值為-0.0576(SD=0.8081).農(nóng)村學(xué)生表現(xiàn)較差，平均能力值為-0.2210(SD=0.7939).其中，城市、縣鎮(zhèn)之間的效應(yīng)值為0.31，具有中等差異，城市、農(nóng)村之間的效應(yīng)值為0.52，具有較大差異，縣鎮(zhèn)、農(nóng)村之間的效應(yīng)值為0.21，具有中等差異.

3.2.3男、女生的幾何直觀表現(xiàn)

表3　男、女生的幾何直觀表現(xiàn)及差異分析

由表3，男生整體的幾何直觀表現(xiàn)略好于女生.其中，男生的平均能力值為0.0238 (SD=0.8261).女生的平均能力值為-0.0203(SD=0.8123).男、女生幾何直觀能力的效應(yīng)值為0.05，幾乎無差異.

3.3　具體幾何直觀題目中的得分情況*根據(jù)學(xué)生達(dá)到《標(biāo)準(zhǔn)(2011)》的基本要求情況，通過Angoff方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)表現(xiàn)進(jìn)行了相應(yīng)的水平層級(jí)劃分，A、B、C、D依次代表優(yōu)秀、良好、合格和未達(dá)標(biāo)四個(gè)水平.

表4　幾何直觀在各題目上的分布情況

表4給出了八年級(jí)學(xué)生在幾何直觀各題目上的得分情況.整體來看，A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在不同幾何直觀題目上的得分率呈現(xiàn)依次遞減的趨勢(shì).其中，A水平學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)相對(duì)最好，B水平學(xué)生表現(xiàn)一般，C、D水平學(xué)生的幾何直觀能力還有待進(jìn)一步加強(qiáng)，尤其是D水平學(xué)生，他們?cè)谒袔缀沃庇^題目上的得分率都低于40%，甚至在部分題目上的得分率不足10%.下面以M8AO121和M8AS171為例進(jìn)行詳細(xì)分析.

M8AO121: 如圖，有正方形卡片A類、B類和長(zhǎng)方形卡片C類若干張.

現(xiàn)在有A類卡片4張，B類卡片1張，C類卡片4張，則這9張卡片拼成的正方形的邊長(zhǎng)為()．

A.a+2bB.2a+b

C.2a+2bD.4a+b

該題考查學(xué)生對(duì)因式分解在幾何背景中的應(yīng)用.因式分解與幾何圖形相聯(lián)系是有其數(shù)學(xué)解釋的，常見的平方和三次方形式的式子都可以與面積和體積模型產(chǎn)生聯(lián)系.該題與常見的根據(jù)圖形面積做因式分解的不同之處在于，題中并未給出與因式分析直接對(duì)應(yīng)的圖形的全貌，而是需要學(xué)生去拼接，或者跳過拼接的步驟，根據(jù)三類卡片的面積和張數(shù)找到需要分解的目標(biāo)因式，這對(duì)學(xué)生的思維能力有較高的要求.該題的整體得分率是64.5%，答案為B；有6.2%的學(xué)生選擇A選項(xiàng)，有14.7%的學(xué)生選擇C選項(xiàng)，有13.7%的學(xué)生選擇D選項(xiàng).這道題A、B水平學(xué)生的作答正確率分別為90%和59%，但C、D水平學(xué)生的得分率都低于35%，因此，應(yīng)該更多關(guān)注C、D水平學(xué)生在此類問題上的表現(xiàn).解答該題的關(guān)鍵在于探尋因式分解和三類卡片面積之間的關(guān)系，但顯然由于學(xué)生在抽象思維和形象思維間的轉(zhuǎn)換還存在不足，導(dǎo)致他們?cè)诶脠D形分析和解決問題上的劣勢(shì).

M8AS171: 如左下圖，在機(jī)場(chǎng)有一種運(yùn)送人員的自動(dòng)步行梯，其運(yùn)行速度均勻，且置于水平地面上．假設(shè)小王行走的速度不變，右下圖分別表示小王在平地上行走時(shí)和在自動(dòng)步行梯上行走時(shí)的距離(s)與時(shí)間(t)的關(guān)系．請(qǐng)你在右圖中大致畫出小王站在自動(dòng)步行梯上不動(dòng)時(shí)s與t的函數(shù)圖象.

該題考查學(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖像的掌握情況.學(xué)生需要理解變量在該問題情境下的實(shí)際內(nèi)涵，并結(jié)合圖像中的信息，繪制“在自動(dòng)步梯上不動(dòng)”時(shí)的關(guān)系.該題與其他函數(shù)圖像題的不同之處在于，坐標(biāo)系中已經(jīng)給出兩種狀態(tài)下的距離-時(shí)間圖像，需要學(xué)生在讀取圖像信息的基礎(chǔ)上，再去進(jìn)一步刻畫“在自動(dòng)步梯上不動(dòng)”時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡.這道題的整體得分率是28.5%，表明大部分學(xué)生對(duì)情境轉(zhuǎn)換下的一次函數(shù)圖像的掌握還比較欠缺.未作答的學(xué)生占35.2%，圖像在兩條直線之間的學(xué)生占20.6%(如圖2中某學(xué)生的作答)，說明該部分學(xué)生能夠得出“在步行梯上不動(dòng)”比“在步行梯上行走”要慢的結(jié)論，但卻無法運(yùn)用“在平地上行走”的圖像信息進(jìn)一步估得步行梯的速度；圖像在兩條直線之上的學(xué)生占1.8%(如圖3中某學(xué)生的作答)，說明該部分學(xué)生難以從圖中讀出兩條圖像的具體含義，無法建立圖像與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系；圖像與原有直線重合的學(xué)生占1.2%(如圖4中某學(xué)生的作答)；圖像為水平直線的學(xué)生占1.0%(如圖5某學(xué)生的作答)；其他錯(cuò)誤作答的學(xué)生占11.8%.

圖2

圖3

圖4

圖5

4　結(jié)論與討論

由以上的測(cè)試調(diào)查可以得到如下幾點(diǎn)結(jié)論.

(1)我國(guó)八年級(jí)學(xué)生的幾何直觀能力總體上處于中等水平，說明我國(guó)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育基本上能夠幫助學(xué)生達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)的幾何直觀能力要求，另一方面也促使我們不斷思考怎樣提高學(xué)業(yè)不良學(xué)生(D水平學(xué)生)的幾何直觀能力.數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，D水平學(xué)生中，有近一半學(xué)生的幾何直觀能力在-1以下.因此，在日常教學(xué)中應(yīng)該格外關(guān)注學(xué)業(yè)不良學(xué)生的幾何直觀能力培養(yǎng).已有研究指出，當(dāng)圖像包括的概念非常豐富時(shí)(有交織的概念結(jié)構(gòu))，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力會(huì)有較高的要求.所以，對(duì)于學(xué)業(yè)不良的學(xué)生，有針對(duì)性的鍛煉他們?cè)趫D像表征和分析表征間相互轉(zhuǎn)換的靈活性就顯得尤為重要.當(dāng)然，我們也需要充分尊重學(xué)業(yè)不良學(xué)生的個(gè)體差異，注重運(yùn)用發(fā)展的眼光來審視和鼓勵(lì)他們，綜合考慮他們的學(xué)習(xí)心理、已有經(jīng)驗(yàn)等相關(guān)因素，有針對(duì)性地安排學(xué)習(xí)任務(wù)，堅(jiān)持因材施教，從而逐步彌補(bǔ)他們?cè)趲缀沃庇^表現(xiàn)上的不足.

(2)我國(guó)東部地區(qū)學(xué)生與中、西部地區(qū)學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)不均衡，東部明顯好于中部和西部，而中、西部之間沒有顯著差異.由于我國(guó)大陸地區(qū)幅員遼闊，東部與中、西部地區(qū)學(xué)生所處的教育環(huán)境存在很大不同，尤其是學(xué)校的硬、軟件設(shè)施、教師的專業(yè)素質(zhì)等都存在較大的差異，這種差異將會(huì)影響學(xué)生能力的發(fā)展.因此，除了應(yīng)該加大中、西部地區(qū)的基礎(chǔ)教育投入外，進(jìn)一步加強(qiáng)東部和中、西部之間的教育聯(lián)系顯得尤為重要.具體來說，可以組織中、西部學(xué)校的教師到東部?jī)?yōu)秀學(xué)校進(jìn)行學(xué)習(xí)和交流，也可以邀請(qǐng)東部地區(qū)的優(yōu)秀教師或?qū)＜易哌M(jìn)中、西部地區(qū)的教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行課堂指導(dǎo)和評(píng)價(jià).總之，應(yīng)該充分發(fā)揮東部?jī)?yōu)秀學(xué)校的輻射作用，改善中、西部地區(qū)的教育教學(xué)質(zhì)量.

(3)我國(guó)城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村地區(qū)學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)不均衡，農(nóng)村地區(qū)學(xué)生的幾何直觀能力較低，遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于城市、縣鎮(zhèn)地區(qū)學(xué)生在幾何直觀上的表現(xiàn).新世紀(jì)數(shù)學(xué)課程改革首次明確提出培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形描述和思考問題的能力，因此新一輪課程改革的具體落實(shí)狀況直接關(guān)系到學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展.城市和縣鎮(zhèn)學(xué)校的課程改革按高起點(diǎn)高要求達(dá)到高質(zhì)量高水平，使得這些學(xué)校的大量學(xué)生接受了新課程的教育.但農(nóng)村地區(qū)在課程改革的過程中卻顯現(xiàn)出不少的問題和困難，比如對(duì)課程改革的緊迫性認(rèn)識(shí)不足；受傳統(tǒng)教育觀念的制約；教育科研環(huán)境較差；師資隊(duì)伍薄弱等等.這些都會(huì)嚴(yán)重影響農(nóng)村學(xué)生接觸新課程的程度，最終造成學(xué)生能力發(fā)展的滯后.這一狀況亟待解決.

(4)我國(guó)男生的幾何直觀能力略高于女生，但并沒有達(dá)到顯著水平.這與部分學(xué)者的研究結(jié)論是一致的.但也有學(xué)者認(rèn)為性別差異對(duì)幾何直觀是存在一些影響的，比如，范敘保等人(1999)的研究發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于女生，男生在幾何直觀方面占有一定優(yōu)勢(shì).在國(guó)外，Battista(1990)的研究發(fā)現(xiàn)，男生在內(nèi)化程度較強(qiáng)的可視化任務(wù)中，其表現(xiàn)顯著優(yōu)于女生.Maccoby和Jacklin(1974)也指出個(gè)體在認(rèn)知上是存在性別差異的，男生的視覺表征能力相較于女生更佳.由此可見，雖然國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者都試圖揭示男、 女生在幾何直觀能力發(fā)展上的不同，但到目前為止還沒有形成統(tǒng)一的定論.因此，幾何直觀的性別差異研究還有待進(jìn)一步探索和完善.