一個無理分式不等式的三個推廣

郭要紅　陳佳佳

(安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院　241000)

1　引言

《數(shù)學通報》2016年9月問題2325[1]如下：

設x,y是滿足xy=1的正數(shù)，λ≥0，求證：

從指數(shù)與項數(shù)入手，本文得到了上述不等式的三個推廣.

定理1設x,y是滿足xy=1的正數(shù)，λ≥0，n是正自然數(shù)，求證：

(1)

(2)

定理3設x,y>0，xy=1，m≥2，m為整數(shù)，λ≥0，有

(3)

2　主要結論的證明

2.1　定理1的證明

(4)

于是，f′(x)≥0等價于

(λx+1)3≥0

3λ2xn+1(x2n+2-1)+2λ3xn+2(xn+1-1)+

x2n(x2n+2-1)+3λx2n+1(xn+1-1)≥0

x3n+2)+3λ2xn+1(1+x+…+x2n+1)+2λ3xn+2·

(1+x+…+xn)+x2n(1+x+…+x2n+1)+

3λx2n+1(1+x+…+xn)]≥0

?x-1≥0，

所以，當01時，f′(x)>0，于是，f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+)上單調遞增，故f(x)在(0,+∞)內于x=1處取得最小值，即

也即

(4)式得證，不等式(1)成立.

2.2　定理2的證明

(5)

用數(shù)學歸納法證明不等式(4).

當n=1時，不等式顯然成立；

當n=2時，由定理1或問題2325供題者的解答[2]知，不等式(5)成立.

不等式(5)成立，欲證不等式(2)得證.

2.3　定理3的證明

欲證不等式(3)，只須證

?(x+y+2)m≥22m-1(x+y)

(6)

用數(shù)學歸納法容易證明不等式(6)，所以不等式(3)成立，證畢.

3　討論與進一步研究的問題

3.1　討論

在定理1中，取n=1，則不等式(1)變?yōu)閱栴}2325，定理1是問題2325的推廣.

在定理2中，取n=2，不等式(2)變?yōu)閱栴}2325，定理2為問題2325的推廣，由定理2的證明過程可以看出，欲證定理2，定理1是關鍵，定理2的證明過程也是定理1的發(fā)現(xiàn)過程.文[3]在文末提出了一個問題，文[4]解決了該問題得到了文中的定理1如下：

設a,b,c是滿足abc=1的正數(shù)，λ≥0，則有

在本文定理2中，取n=3，立得上述不等式，所以定理2是文[4]定理1的推廣.

在定理3中，取m=2，不等式(3)變?yōu)閱栴}2325，定理3為問題2325的推廣.

3.2　進一步研究的問題

在將問題2325的指數(shù)從開平方推廣至開任意m(m≥2，m為整數(shù))次方，得到定理3后，考慮將定理3再推廣至n元，我們傾向于再推廣結論是成立的，但久思不得證法，作為進一步研究的問題，特提出如下猜想.