以信息技術(shù)為載體的高考試題

李　艷　徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院　430079)

1　引言

隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，信息技術(shù)正悄然地影響著教育，通過對近幾年的全國各地的數(shù)學(xué)高考試題的分析，發(fā)現(xiàn)近幾年的高考數(shù)學(xué)題中頻繁涉及信息技術(shù)，從15年的通信二元碼到16年的雷達(dá)圖運(yùn)用，再到17年的應(yīng)用軟件，無不彰顯著信息技術(shù)的影響地位和廣泛應(yīng)用.本文以近三年涉及信息技術(shù)的高考數(shù)學(xué)題為出發(fā)點(diǎn)，從分析試題的具體內(nèi)容到信息技術(shù)進(jìn)入“教學(xué)”的類型剖析[1]，以信息教育價值為基點(diǎn)，逐層揭示數(shù)學(xué)教育信息化中構(gòu)建信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識結(jié)合點(diǎn)的策略.

2　內(nèi)容分析

高考數(shù)學(xué)題的重點(diǎn)在于對學(xué)生的知識及能力的考察，故需要先對題中涉及到的信息技術(shù)做具體分析，以及考察內(nèi)容的重點(diǎn)剖析，發(fā)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識的結(jié)合點(diǎn)，從而為促進(jìn)教育信息化提供一定的參考.

2.1　通訊二元碼——二進(jìn)制、新定義創(chuàng)新題型

試題1(2015年福建理科卷第15題)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或由1變?yōu)?).

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組 ：

其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.

現(xiàn)已知一個這樣的二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_____________.

信息技術(shù)的分析通訊二元碼，作為通訊中十分常用的碼，與二進(jìn)制的原理殊途同歸，但二元碼可以是0、1，也可以是1、2或者其他任意不同的兩個值，而二進(jìn)制就只能是0、1.故二元碼不僅具有二進(jìn)制的特點(diǎn)和原理，還具有二進(jìn)制不可比擬的優(yōu)越性，可以是任何兩個值的運(yùn)算，是二進(jìn)制的一種泛化.二進(jìn)制作為計算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，當(dāng)前的計算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計算機(jī)中主要是以補(bǔ)碼的形式存儲的.計算機(jī)中的二進(jìn)制則是一個非常微小的開關(guān)，用“開”來表示1，“關(guān)”來表示0，因?yàn)樗皇褂?、1兩個數(shù)字符號，非常簡單方便，易于用電子方式實(shí)現(xiàn).

數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)及能力考察新定義創(chuàng)新題型，該新定義運(yùn)算法則與二進(jìn)制運(yùn)算類似，但也有不同之處，其中0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0，前三個的運(yùn)算是一致的，但最后一個1⊕1=0，二進(jìn)制中運(yùn)算的結(jié)果是10，原理是一致，形式不同，實(shí)則高考題中常用的伎倆，變相地考察知識點(diǎn).當(dāng)然這是考察數(shù)學(xué)中的一個知識要點(diǎn)，此外，此題最大難點(diǎn)在于邏輯的推理，即學(xué)生邏輯推理能力的考察，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，從三個等式中找到錯誤碼元所在，對推理得出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證是此題必不可少的步驟，即觀察力和思維力的同步進(jìn)行.

2.2　雷達(dá)圖——統(tǒng)計類題型

試題2(2016年全國新課標(biāo)卷第4題)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面說法敘述不正確的是()

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

信息技術(shù)的分析雷達(dá)圖(Radar Chart)又可稱為戴布拉圖、螂蛛網(wǎng)圖(Spider Chart)，是財務(wù)分析報表的一種.隨著計算機(jī)的發(fā)展，雷達(dá)圖不僅僅運(yùn)用于財務(wù)報表，而是向多領(lǐng)域推廣，再者，雷達(dá)圖已經(jīng)不是原始的手工描繪，常見的辦公軟件等都已經(jīng)具備了雷達(dá)圖的自動生成，如Microsoft Office, Kingsoft WPS等，在中間件里有WFsoft wfRadar等不錯的應(yīng)用，在專業(yè)的報表圖表軟件中，則有FineReport等軟件，對于多維度數(shù)據(jù)處理提供了一種新的方向和方法，讓統(tǒng)計數(shù)據(jù)更加直觀.

數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)及能力考察數(shù)據(jù)統(tǒng)計中的一種統(tǒng)計圖，常見的統(tǒng)計圖有：條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，這是初中階段學(xué)過的幾種主要統(tǒng)計圖，隨著數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展，僅僅這三種已經(jīng)無法滿足統(tǒng)計的發(fā)展，故新類型的統(tǒng)計圖迫切需要被發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，雷達(dá)圖即是這么一種新型的統(tǒng)計圖，多維度的圖形統(tǒng)計需要利用雷達(dá)圖.此題中12個月的氣溫統(tǒng)計，顯然利用折線圖也可行，但橫軸類型夠多，不能集中體現(xiàn)變化趨勢，而雷達(dá)圖就可以解決這類問題，直觀感受到氣溫的變化，集中在圓中的變化：同一圓周上的波動清晰可見.題中告知兩點(diǎn)的含義，實(shí)則對學(xué)生概括能力的考察，根據(jù)例子得出圖形統(tǒng)計的原理.

2.3　應(yīng)用軟件——等差、等比數(shù)列綜合題型

試題3(2017年全國I卷第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4,8，1，2，4，8，16……，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，在接下來的三項(xiàng)式20，21，22，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是()

A．440B．330C．220D．110

信息技術(shù)的分析應(yīng)用軟件是電腦軟件的主要分類之一，是指為針對用戶的某種應(yīng)用目的所撰寫的軟件.應(yīng)用軟件是為滿足用戶不同領(lǐng)域、不同問題的應(yīng)用需求而提供的那部分軟件.它可以拓寬計算機(jī)系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域，放大硬件的功能.因應(yīng)用軟件的廣泛運(yùn)用，目前軟件開發(fā)也成為了熱門專業(yè)，具有無限豐富和美好的開發(fā)前景.

數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)及能力考察等差、等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式的綜合運(yùn)用，等比數(shù)列的交叉揉合，前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪需要滿足的條件要進(jìn)行更進(jìn)一步地分析才能得到.本題是對抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識的考察.本題以應(yīng)用軟件為切入點(diǎn)，通過激活碼的設(shè)置將軟件與數(shù)列題型相結(jié)合.

當(dāng)然，除卻上述所展示的試題之外，通過研究發(fā)現(xiàn),八年級教材、甚至于更早的高考題中也滲透著信息技術(shù)的氣息，這說明信息技術(shù)早已引起教材的重視，在初中八年級教材中就出現(xiàn)此類題型：信息技術(shù)的存儲設(shè)備常用B，K，M，G等作為存儲量的單位.例如，我們常說某計算機(jī)的硬盤容量是40G，某移動存儲器的容量是64M，某個文件大小是156K等，其中1G=210M,1M=210K,1K=210B(字節(jié)).對于一個1.44M的3.5寸軟盤，其容量有多少個字節(jié)?盡管從表面看就是以信息技術(shù)為載體的單位換算，但實(shí)際上其中還滲透著二進(jìn)制的原理，體現(xiàn)了信息技術(shù)在教學(xué)中的滲透，但如何促進(jìn)信息技術(shù)“進(jìn)入”教學(xué)則是研究的重點(diǎn)所在.

3　信息技術(shù)進(jìn)入試題的類型分析

信息技術(shù) “進(jìn)入”教學(xué)的狀況可大致分為 “塞入”、 “加入”、 “嵌入”及“融入”四種類型[2].其不同類型的著重點(diǎn)和性質(zhì)均不一樣，具體關(guān)系如下圖：

第一層面，“塞入”，即目的是為了使用信息技術(shù)而使用信息技術(shù)，信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容并無本質(zhì)的聯(lián)系，對教學(xué)起著“點(diǎn)綴”的作用，其實(shí)是可有可無的；第二層面，“加入”，即傳統(tǒng)教學(xué)無法做到，而信息技術(shù)恰好可以幫助解決該問題，可以彌補(bǔ)教學(xué)的不足；第三層面，“嵌入”，即為了全面“提升”教學(xué)效果，使教學(xué)效果整體性地上一個臺階；第四層面，“融入”，也是當(dāng)前教育信息化研究的重點(diǎn)所在[3]，創(chuàng)構(gòu)出一種與迄今為止截然不同的全新教學(xué)時空，旨在使學(xué)生在這種全新教學(xué)時空中得到盡可能全面的成長與發(fā)展.這些是信息技術(shù)進(jìn)入教學(xué)的幾種形式分類，以此方向來分析前面三道試題，對于試題而言，無論如何也達(dá)不到上述的“融入”境界，試題是靜態(tài)，達(dá)不到“融入”層面的動態(tài)效果，如試題3，就是非常典型的“塞入”類型，應(yīng)用軟件屬于信息技術(shù)領(lǐng)域，但實(shí)際上應(yīng)用軟件與數(shù)列并無實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，知識要點(diǎn)數(shù)列根本沒有體現(xiàn)出應(yīng)用軟件的某一特點(diǎn)或是原理，可以說這里的“應(yīng)用軟件”只是一種噱頭，只能算起著點(diǎn)綴的作用，可能命題者原意就只是為了通過高考題傳遞這種“教育信息化”的訊息，想讓廣大一線教師和教育研究者對此引起重視.而雷達(dá)圖和二元碼則是達(dá)到了“嵌入”的層面，將信息技術(shù)與知識要點(diǎn)巧妙結(jié)合，在考察知識要點(diǎn)的同時，讓學(xué)生了解與其相關(guān)的信息技術(shù)，如二元碼，就是利用二進(jìn)制與二元碼的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)質(zhì)無差別的特點(diǎn)，知識、信息同步考察.

4　構(gòu)建結(jié)合點(diǎn)的策略

信息技術(shù)只有深入數(shù)學(xué)學(xué)科才能真正發(fā)揮其作用[4],結(jié)合高考試題中信息化的體現(xiàn)，為實(shí)現(xiàn)信息教育價值，故提供構(gòu)建信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)合點(diǎn)(即“融入”)的三條策略：深入學(xué)科知識、提高信息化水平、明確“價值”追求.

4.1　深入學(xué)科知識

構(gòu)建兩者結(jié)合點(diǎn)的基礎(chǔ)即為深入數(shù)學(xué)學(xué)科知識，充分把握和分析數(shù)學(xué)學(xué)科知識，是真正掌握數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)所在，亦是構(gòu)建結(jié)合點(diǎn)的必要條件.可以從兩個方面來進(jìn)行分析，一是加深對知識實(shí)質(zhì)性了解；二是發(fā)現(xiàn)教學(xué)難處所在.正如試題1中的二元碼，倘若沒有深度地分析和掌握二進(jìn)制原理，從何談兩者的構(gòu)建？深入數(shù)學(xué)學(xué)科知識，可以了解到該知識要點(diǎn)講解的難處，進(jìn)而為信息技術(shù)的結(jié)合提供可能.深入學(xué)科知識的策略在高考題中也有跡可循：

例1(2001年高考題)如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)絡(luò)單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()

A.26 B.24 C.20D.19

此題若簡單地進(jìn)行分析，涉及的知識要點(diǎn)為分類加法計數(shù)原理，此種原理的掌握比較容易，但此題從本質(zhì)上來說是考察“絡(luò)信息流”——信息的傳遞，光知曉知識原理是不夠的，還需要考慮信息傳遞的規(guī)律和性質(zhì)，只有對此理解方能解決此題，必須判斷每一種類型(路線)中信息量的最大量，也就是我們所說的信息傳遞的原理.

例2(2003年全國高考數(shù)學(xué)試題第22題)本題分為兩問：

(I)設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s

(i)寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；(ii)求a100.

(II)設(shè){bn}是集合{2r+2t+2s|0≤r

此題表面上看是集合與數(shù)列的綜合性應(yīng)用題，從這個方向進(jìn)行分析和思考無疑增大該題的難度，但若從本質(zhì)上分析，此題實(shí)則考察已學(xué)過的知識：二進(jìn)制，第一問即為二進(jìn)制數(shù)中有兩位是1，其余位上均為0，而第二問就是二進(jìn)制數(shù)中有三位是1，其余位上也均為0，1所在的位置決定了數(shù)值的大小，將其本質(zhì)分析到位，那么此題也就迎刃而解.這就是深入學(xué)科知識的魅力所在，悄無聲息地就將集合、數(shù)列兩大知識要點(diǎn)與信息技術(shù)中的二進(jìn)制相結(jié)合.

例3(2010年北京卷理科20題)

1.證明：?A,B,C∈Sn,有A-B∈Sn，且d(A-C,B-C)=d(A-B);

2.證明：?A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；

此題表面看起來難度十分大，關(guān)于集合的綜合性難題，很多文章里給了多種方法進(jìn)行解答，運(yùn)用“算兩次”的解題策略進(jìn)行解題，而從其本質(zhì)出發(fā)進(jìn)行分析此題中的第三問實(shí)質(zhì)是二元糾錯碼碼字?jǐn)?shù)的普洛特金(Plotkin)上界[5]，將糾錯碼理論與集合題巧妙結(jié)合，將其本質(zhì)分析透徹則可為解決本題提供方向.

4.2　提高信息化水平

教師，作為教學(xué)的引導(dǎo)者，決定著教學(xué)的方向，實(shí)現(xiàn)教育信息化的前提條件即為提高教師的信息化水平，葉圣陶先生說得好,老師要有一桶水,才能教給學(xué)生“一碗水”，要想在課堂上實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科知識的結(jié)合，首先教師就必須掌握基本的信息素養(yǎng)，沒有基本的信息素養(yǎng)，教師即使充分鉆研數(shù)學(xué)學(xué)科知識，仍找不到與之相關(guān)的信息技術(shù).故教師不僅要求有較高的數(shù)學(xué)學(xué)科知識，而且需要一定的信息化水平，兩者缺一不可，因此在師范學(xué)校未來教師培訓(xùn)中，必修課可以適當(dāng)增加信息化課程的比重.傳統(tǒng)內(nèi)容的講授，也應(yīng)注意用信息時代的載體表征出來，使之充滿時代氣息.

4.3　明確“價值”追求

所有的“教”都是為了學(xué)生的“學(xué)”，“教好”的最終目的是“學(xué)好”，故要明確兩者結(jié)合的“價值”追求，簡而言之，即結(jié)合的目的所在，在上述所參考的分類來看，除了第一類中“為了使用信息技術(shù)而使用信息技術(shù)，為了應(yīng)付課程標(biāo)準(zhǔn)”不可取之外，其余三種均可列入考慮之中，“彌補(bǔ)”、“提升”、“創(chuàng)構(gòu)”均是教學(xué)的目標(biāo)考慮之列，在前兩個策略的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)兩者一定的內(nèi)在聯(lián)系之后，需要進(jìn)一步明確結(jié)合點(diǎn)的“價值”所在，亦是“目標(biāo)”所在，這三種沒有優(yōu)劣之分，僅是性質(zhì)不同，并不是所有的信息技術(shù)與學(xué)科知識的結(jié)合都可以達(dá)到“創(chuàng)構(gòu)”的境界，其中“彌補(bǔ)”和“提升”實(shí)則是并驅(qū)前行的，兩者密不可分，在彌補(bǔ)的同時，亦能促進(jìn)教學(xué)效果的提升.因此，“價值”追求的確定，可以為進(jìn)一步分析和探究教育信息化提供方向和指南.