核心素養(yǎng)滲透數(shù)學(xué)課程教學(xué)

李尚志

(北京航空航天大學(xué)　100083)

內(nèi)容提要本文從畫五角星談起,通過具體的數(shù)學(xué)教學(xué)案例,說明核心素養(yǎng)不是強(qiáng)加于課程之外的額外負(fù)擔(dān)和無病呻吟.而應(yīng)該滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)過程中,成為引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的指路明燈和導(dǎo)航儀.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》對核心素養(yǎng)的闡述:

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.

其中所說的關(guān)鍵能力、思維品質(zhì)都是潛力,學(xué)生在學(xué)習(xí)和工作中取得的成績(包括考試成績和工作業(yè)績)都是潛力的實(shí)現(xiàn).

人的大腦指揮四肢,諸葛亮指揮關(guān)羽張飛,核心素養(yǎng)好比大腦和諸葛亮,它的作用是指揮解決學(xué)習(xí)和工作中的問題.

如果核心素養(yǎng)是在教師原來的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)之外另外追加的新內(nèi)容,甚至是取代 “應(yīng)試教育”的“素質(zhì)教育”，就好比讓諸葛亮代替關(guān)羽張飛，自己揮舞大刀或長矛上戰(zhàn)場,必?cái)o疑.

我把以上意見發(fā)表到微信群中與中學(xué)教師討論,有人反駁說我這個(gè) “用核心素養(yǎng)指揮課堂而不是代替課堂”的說法是偷梁換柱,篡改了核心素養(yǎng)的本意.我特意查了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于核心素養(yǎng)的論述，發(fā)現(xiàn)他只是指了目標(biāo)和方向,并沒有具體規(guī)定每一節(jié)課的內(nèi)容該怎么上.好比他給你派任務(wù)修房子，卻并沒有給你修好房子,當(dāng)然也就沒有梁沒有柱，我也就無梁可偷,無柱可換.課標(biāo)中的敘述至多算是畫了一個(gè)圖紙.甚至連圖紙都沒有畫,只是提出一些要求,要具有什么功能，達(dá)到什么質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn). “房子”誰來修？不能等制定課程標(biāo)準(zhǔn)的專家來修,需要你按照他的要求自己修.修得好不好,除了按照他的要求來檢驗(yàn),更權(quán)威的檢驗(yàn)是你使用的效果.住起來是否方便，是否舒服.如果房子垮了壓死了人,該追究誰的責(zé)任？如果大家修的房子都達(dá)到他的要求卻垮了,制定標(biāo)準(zhǔn)的專家有責(zé)任.如果別人的都沒垮,你的垮了,就是你的責(zé)任了.也就是說：核心素養(yǎng)對不對,執(zhí)行得好不好,不由專家說了算,而是由教書育人的效果來檢驗(yàn).

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有六條.我們看他到底要求了什么：

一、數(shù)學(xué)創(chuàng)世紀(jì)

1.數(shù)學(xué)抽象:舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.

2.邏輯推理:從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程.

這兩條核心素養(yǎng)講的是：數(shù)學(xué)從何而來,數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)怎樣檢驗(yàn).

什么是抽象？抽象就是很多事物的共同點(diǎn),很多不同現(xiàn)象的共同規(guī)律.核心素養(yǎng)第一條數(shù)學(xué)抽象講的是數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界總結(jié)出來的共同規(guī)律.這是數(shù)學(xué)的根本起源.

第二條邏輯推理是由已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律推出新的規(guī)律.這是數(shù)學(xué)生長和發(fā)展的主要途徑：從很少幾條公理推出大量的定理.

打個(gè)比方:中國神話說人的起源是女媧造人,女媧造得太累了就不造了,讓人自己繁殖,人生人.數(shù)學(xué)抽象是現(xiàn)實(shí)世界產(chǎn)生數(shù)學(xué),相當(dāng)于女媧造人.邏輯推理相當(dāng)于人生人.有一點(diǎn)差別是女媧死了就再也不造人了.而造數(shù)學(xué)的女媧——現(xiàn)實(shí)世界卻永遠(yuǎn)不死,繼續(xù)造下去.不過,現(xiàn)實(shí)中新造出來的數(shù)學(xué)不但要接受現(xiàn)實(shí)的檢驗(yàn),還要接受邏輯推理來檢驗(yàn),也就是用公理來檢驗(yàn).反過來，由公理經(jīng)過邏輯推理得出的定理也必須拿到現(xiàn)實(shí)世界中去應(yīng)用并接受檢驗(yàn).不僅檢驗(yàn)了定理,也檢驗(yàn)了公理和邏輯推理的正確性.

這兩條核心素養(yǎng)說清楚了數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)世界來,并且自己成長壯大.同時(shí)也就說清楚了數(shù)學(xué)不是神仙皇帝或者某個(gè)權(quán)威憑自己意愿隨心所欲創(chuàng)造出來的.這符合國際歌的歌詞“從來就沒有什么救世主，也不靠神仙皇帝.要創(chuàng)造人類的幸福，全靠我們自己.”也符合老子說的“道法自然”，而不是道法權(quán)威或道法皇帝.這條核心素養(yǎng)唱的是:“從來就沒有什么救世主，也不靠神仙皇帝.要主宰宇宙萬物，全靠客觀規(guī)律.”因此，老師講解一個(gè)數(shù)學(xué)定理或算法的時(shí)候，決不能說“聽老師的就沒錯(cuò).因?yàn)槭悄硶蠈懥说模跃蜎]錯(cuò).”也不能說“聽牛頓的”,“聽高斯的”.定理或算法之所以正確,不是因?yàn)樗桥ｎD、高斯發(fā)明的,而是要把牛頓或高斯的理由拿來證明它沒錯(cuò).當(dāng)我們學(xué)習(xí)牛頓高斯的論證過程的時(shí)候，其實(shí)也是在審查牛頓高斯是否正確.審查結(jié)束,那就不是牛頓高斯的真理，而是宇宙的真理.哪怕牛頓高斯自己改變觀點(diǎn)承認(rèn)自己錯(cuò)了,我們也不跟著他改變.這正如足球場上的勝負(fù)是由進(jìn)球決定的,大家都看得懂.馬拉多納之所以贏了,不是因?yàn)樗邱R拉多納,而是因?yàn)樗M(jìn)了球.反過來，馬拉多納的球隊(duì)如果沒進(jìn)球而對方進(jìn)了球，不用裁判來判,所有的人都知道馬拉多納輸了.

二、潤物濟(jì)蒼生

3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.

這一條說的是數(shù)學(xué)的去向：解決實(shí)際問題.要用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題,就需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后才能用數(shù)學(xué)中的現(xiàn)成工具和算法來解決.數(shù)學(xué)建模的任務(wù)就是讓數(shù)學(xué)的威力可以到達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.不僅是實(shí)際問題,即使是數(shù)學(xué)自身提出的理論問題,也需要用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具來解決這些不現(xiàn)成的理論問題.得到的結(jié)論如果可以廣泛應(yīng)用,就成為新的理論.用現(xiàn)成工具解決不現(xiàn)成的問題,這就是數(shù)學(xué)建模.

既然數(shù)學(xué)建模是橋梁,就要看它溝通哪兩岸.彼岸是需要解決的問題,此岸是解決問題需要的工具.另外三項(xiàng)核心素養(yǎng)就是提供工具.

4.直觀想象:借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題.

6.數(shù)據(jù)分析:針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識.提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣.

直觀想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)據(jù)分析都是基本功，解決問題的基本工具和基本武器.就好比關(guān)羽的大刀,張飛的長矛.現(xiàn)在,批評“應(yīng)試教育”成為一種時(shí)髦,不過批評都是口頭上的,行動上卻都做得很起勁.其實(shí),“應(yīng)試教育”有一個(gè)重要功勞不能抹殺,那就是重視基本功的訓(xùn)練,也就是重視這三條核心素養(yǎng)的培養(yǎng).一方面是因?yàn)閼?yīng)試離不了這三條核心素養(yǎng)，另一方面是因?yàn)榻處熑菀撞僮?哪怕教師自己沒有記熟背熟,只要督促學(xué)生死記硬背勤學(xué)苦練,也能出效果.有點(diǎn)象巴甫洛夫訓(xùn)練狗,只要多次重復(fù)就形成條件反射.也象中國古話說的“熟讀唐詩三百首,不會做詩也會吟.”嚴(yán)格說起來,這樣培養(yǎng)出來的對基本功的熟練只達(dá)到這三條核心素養(yǎng)的一半,或者只有一小半,只記住了數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的現(xiàn)成法則，現(xiàn)成的幾何圖形的形狀，而這三條核心素養(yǎng)都還要求利用這些現(xiàn)成法則來解決問題,那就不是巴甫洛夫的條件反射或熟讀唐詩三百首所能達(dá)到的了.不過,要用現(xiàn)成法則解決不現(xiàn)成的問題,其實(shí)是數(shù)學(xué)建模這條核心素養(yǎng)的要求.現(xiàn)成法則是有限多,可以通過強(qiáng)化訓(xùn)練讓學(xué)生全部記住,這就算是學(xué)會了.但想要用現(xiàn)成法則解決不現(xiàn)成的問題，卻無論怎么訓(xùn)練也不可能把學(xué)生教會，其實(shí)老師自己也沒有學(xué)會.這是因?yàn)?不現(xiàn)成的問題有無窮多,不管是考試的問題,還是現(xiàn)實(shí)生活和工作中需要解決的問題,都有無窮多,沒有固定的方法,不可能把它們?nèi)空页鰜?，已?jīng)找出來的也不可能靠死記硬背掌握.正如圍棋的棋經(jīng)所說的“始以正合,終以奇勝”,學(xué)圍棋先學(xué)規(guī)則，規(guī)則很簡單,圍棋開局還有一些定式可以背熟并在開局時(shí)依樣畫葫蘆加以應(yīng)用,這就是“始以正合”,類似于老師訓(xùn)練學(xué)生掌握基本運(yùn)算法則.但是只記住了定式并不能贏棋,后面的走法就沒有葫蘆可以照著畫,只能自己自由發(fā)揮,這就是“終以奇勝”.為了提高下棋水平,你可以學(xué)習(xí)別人的經(jīng)驗(yàn),可以看棋譜.但在下棋的時(shí)候決不可能把棋譜當(dāng)成葫蘆來照著畫,按照棋譜來走棋.因?yàn)槊恳痪制宥际切碌?不可能照著走.棋譜只是起示范和參考作用,至于你能夠參考到多少,那就沒有一定之規(guī),看各人的悟性了. “世事如棋局局新”，數(shù)學(xué)建模也是這樣,用現(xiàn)成的知識解決不現(xiàn)成的問題,不現(xiàn)成的問題也是 “局局新”,只能 “終以奇勝”,誰也把你教不會.書上的案例，老師的講解，也只是棋譜,只能起示范和參考作用,你能從中學(xué)到多少,只能 “師傅領(lǐng)進(jìn)門,修行靠各人.”

所以,我認(rèn)為核心素養(yǎng)不是顛覆和取代 “應(yīng)試教育”,正如諸葛亮不能取代關(guān)羽張飛，而是指揮關(guān)羽張飛.關(guān)羽張飛離不了大刀長矛,正如 “素質(zhì)教育”離不了基本功的訓(xùn)練.而且， “應(yīng)試教育”訓(xùn)練出來的基本功也是核心素養(yǎng)的組成部分.反過來，只有大刀長矛,沒有人去使用,大刀長矛就只是兩塊鐵,不能自己飛起來打仗.讓阿斗或諸葛亮去使用,即使能打仗,也達(dá)不到關(guān)羽張飛的水平.同樣地,只是訓(xùn)練了基本功,不會數(shù)學(xué)建模,不會用基本功來解決問題,考試就不能得高分,工作就不能做出好的成績.嚴(yán)格說起來,數(shù)學(xué)建模不能說會還是不會,沒有人完全會,大多數(shù)學(xué)生也不是完全不會,只有水平高低的差別.因此，不是要學(xué)會數(shù)學(xué)建模,而是要提高數(shù)學(xué)建模的能力和水平.

前兩條核心素養(yǎng)是從無到有產(chǎn)生數(shù)學(xué),從少到多發(fā)展數(shù)學(xué),產(chǎn)生和發(fā)展的過程其實(shí)也是數(shù)學(xué)建模.得到的產(chǎn)品就是數(shù)學(xué)知識,組成強(qiáng)大的工具庫供人類拿去解決新的問題.因此,核心素養(yǎng)就是兩件事 : 1.學(xué)習(xí)和掌握現(xiàn)成的知識作為工具. 2.利用這些工具去解決新的問題.

教學(xué)案例

一、我的教學(xué)生涯:從畫五角星開始

正當(dāng)我茫然無策的時(shí)候,學(xué)生的一個(gè)發(fā)現(xiàn)帶來了柳暗花明.他們發(fā)現(xiàn)我有一個(gè)神奇的本事:畫五角星比他們畫得好.他們畫的五角星是歪的,左右兩肩膀不一樣高.我畫的五角星不但左右對稱端正,而且無論怎樣旋轉(zhuǎn)仍然對稱.他們覺得我這個(gè)“北京來的大學(xué)生”太神奇了.我受到啟發(fā),下一節(jié)課就教畫五角星.

例1利用圓規(guī)、直尺、量角器畫五角星.

解利用圓規(guī)畫圓.再利用量角器五等分圓周: 360÷5=72°.

利用量角器畫圓心角∠AOB=72°.在圓周上依次截取AB=BC=CD=DE.連接AC,CE,EB,BD,DA即得五角星.如圖1.

圖1

一節(jié)課45分鐘,學(xué)生全學(xué)會了.

達(dá)到了什么教學(xué)效果?

(1)學(xué)會了畫五角星.

(2)基本功:初中幾何本來就應(yīng)該教學(xué)生使用圓規(guī)畫圓,了解周角等于 360°,使用量角器量角,等分圓周.這些都是基本功.如果一項(xiàng)一項(xiàng)分別教,枯燥無味.通過畫五角星,全都學(xué)會了.培養(yǎng)了核心素養(yǎng)第4條直觀想象能力,第5條數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.而且,利用簡單的計(jì)算和畫圖工具這些現(xiàn)成知識解決畫五角星這個(gè)實(shí)際問題,也是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)示范案例.

(3)真理檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn):五角星是否端正,不需要專家和領(lǐng)導(dǎo)來檢驗(yàn),每個(gè)人都可以一眼看出來,更精確的檢驗(yàn)可以用刻度尺或圓規(guī)或量角器來度量五角星的各邊長、各角的度數(shù)是否相等,人人都能檢驗(yàn),這就暗中顛覆了他們經(jīng)驗(yàn)中或心目中真理由權(quán)威或權(quán)力說了算的觀念,接受了一次“真理面前人人平等”, “道法自然”的教育.這也是前兩條核心素養(yǎng)體現(xiàn)的觀點(diǎn).

(4)數(shù)學(xué)面前人人平等:這一節(jié)課之前,學(xué)生還認(rèn)為畫五角星的本領(lǐng)是我這個(gè)“北京來的大學(xué)生”的特殊身份特有的,對他們這些山村小孩是高不可攀的.一節(jié)課的功夫,他們就攀上來了,發(fā)現(xiàn)并不神秘,與身份無關(guān),人人都可以學(xué)會.我畫五角星我做主,不求神仙不求人.這個(gè)小小的例子使他們愛上了數(shù)學(xué).原因在于,數(shù)學(xué)面前人人平等,能學(xué)多少學(xué)多少,不必去搞歪門邪道.這已經(jīng)超越了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的范圍,是對世界觀和人生觀的培養(yǎng).

以上這些話不是講給學(xué)生聽的,學(xué)生只要實(shí)際上有這些收獲就行了,更不能出成考試題讓學(xué)生按照標(biāo)準(zhǔn)答案來回答.我把它們總結(jié)出來講給老師聽,也不是為了讓老師們?nèi)バ麄?而是讓老師們心里明白,核心素養(yǎng)不是另外貼的標(biāo)簽，而是在教學(xué)過程中自然而然“潤物細(xì)無聲”.

后來給學(xué)生講了三角函數(shù),就改為不用量角器而用刻度尺畫五角星.

例2利用圓規(guī)和刻度尺畫五角星.

解先利用三角函數(shù)算出圓周角∠AOB=72°.所對的弦長AB.

以單位長OA=1為半徑畫圓.用圓規(guī)在刻度尺上量出長度 1.1756.

在圓上依次截取AB=1.1756=BC=CD=DE得到五角星各頂點(diǎn),連接成五角星.

例2培養(yǎng)的核心素養(yǎng)是三角函數(shù)的應(yīng)用,是第5條核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求.借助于畫圖來加深對三角函數(shù)的理解，是第4條核心素養(yǎng)直觀想象的要求.同一個(gè)問題畫五角星用不同的方法來做,是數(shù)學(xué)建模的重要特點(diǎn),讓學(xué)生見識一下,不要死記硬背現(xiàn)成作圖法,習(xí)慣于用不同知識解決問題.

二、左轉(zhuǎn)兩番演示平方得負(fù)

初中數(shù)學(xué)引入了負(fù)數(shù)表示相反方向的量.(-1)+(-1)=-2容易理解:先退一步再退一步,總共退了兩步.這是用物體運(yùn)動的模型來解釋代數(shù)運(yùn)算,也是代數(shù)運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型.千萬不要教學(xué)生:這是書上講的,把它背熟.

相比起來,負(fù)數(shù)乘法 (-1)×(-1)=+1對很多人就難于理解了.能不能也用物體運(yùn)動的模型來解釋?我在教初中的時(shí)候編了兩句順口溜,用運(yùn)動模型解釋負(fù)數(shù)的加法與乘法:

退步再退步,負(fù)加負(fù)更負(fù).后轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)向前,負(fù)負(fù)為正很顯然.

退步再退步,解釋負(fù)數(shù)的加法.比如 (-3)+(-2)就是先退3步再退2步,共退了5步,就是 (-3)+(-2)=-5, “更負(fù)”就是退得更多.

乘-1表示向后轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)180°.(-1)×(-1)就是連乘兩個(gè)-1,后轉(zhuǎn)兩次,轉(zhuǎn)兩個(gè)180°,一共轉(zhuǎn)了 360°,仍然面朝前方,恢復(fù)原來的方向,相當(dāng)于乘 1,這就解釋了 (-1)×(-1)=1.也就是(-1)2=1.

既然-1的平方是轉(zhuǎn)兩個(gè)180°,那么 -1平方根就是轉(zhuǎn)半個(gè)180°,也就是轉(zhuǎn)90°.高中數(shù)學(xué)強(qiáng)行規(guī)定一個(gè)符號i代表-1的平方根.大部分學(xué)生也不覺得不對,因?yàn)樗麄円呀?jīng)被教育成對強(qiáng)詞奪理習(xí)以為常了,覺得書上就是可以不講道理隨便規(guī)定.如果有的學(xué)生提出疑問:“以前說-1沒有平方根,現(xiàn)在怎么又可以規(guī)定出一個(gè)平方根了.”很多老師也許會批評這個(gè)學(xué)生: “聽書上的,不要胡思亂想.”但是,如果用運(yùn)動模型讓乘-1刻畫旋轉(zhuǎn)180°,再規(guī)定一個(gè)符號i代表旋轉(zhuǎn)90°,很自然就有i2=-1,代表的運(yùn)動模型是：連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩個(gè) 90°就是旋轉(zhuǎn)180°.我把這個(gè)模型也編成順口溜：

平方得負(fù)豈荒唐,左轉(zhuǎn)兩番朝后方.

“左轉(zhuǎn)”就是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,用i表示,左轉(zhuǎn)兩番就是i2=-1.右轉(zhuǎn)兩番也是朝后方,表示 (- i)2=-1, -i是-1的另一個(gè)平方根.

由“左轉(zhuǎn)兩番朝后方”的現(xiàn)象出發(fā),用i表示“左轉(zhuǎn)”這個(gè)動作,得出它的性質(zhì)i2=-1,這是通過數(shù)學(xué)抽象引入虛數(shù)單位i.

這樣來理解i2=-1,也是“利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”,培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).

三、尺規(guī)作圖畫五角星

例3不用量角器,不查三角函數(shù)表,利用圓規(guī)和直尺畫五角星.

分析如果能夠不查三角函數(shù)表直接算出 cos 72°,就能夠在單位圓的半徑OA上截取OF=cos 72°,如圖2.再作OA的垂線FB交圓周于B得到圓心角 ∠AOB=72°.

圖2

ω5=(cos 72°+ i sin 72°)5

= cos(5×72°) + i sin(5×72°)

= cos 360°+ i sin 360°

=1

ω是方程x5=1的根.它的整數(shù)次冪ωk=cos(72°·k)+i sin(72°k)滿足(ωk)5=(ω5)k=1k=1,都是方程x5=1的根.取k=0, 1, 2, 3, 4得到 5個(gè)不同的根,它們代表的點(diǎn)A,B,C,D,E就是所要作的五角星的 5個(gè)頂點(diǎn).

將旋轉(zhuǎn) 90°用字母 i表示,得到了i2=-1,這是利用旋轉(zhuǎn)模型引入新的數(shù)學(xué)概念,是數(shù)學(xué)抽象.同樣利用旋轉(zhuǎn)模型,得到了代表旋轉(zhuǎn) 72°的復(fù)數(shù)ω=cos 72°+ i sin 72°,進(jìn)而得到了ω5=1.同理可以得到表示旋轉(zhuǎn)任意角α的復(fù)數(shù) cosα+ i sinα,它的n次冪就是旋轉(zhuǎn)nα,由此得到新的數(shù)學(xué)公式

(cosα+ i sinα)n=cosnα+ i sinnα

(棣美弗公式)

取nα=2kπ (k為整數(shù))得到

取k=0, 1, 2,…,n-1就得到方程xn=1的全部n個(gè)不同的復(fù)數(shù)根,稱為n次單位根.它們在復(fù)平面上代表的點(diǎn)就是單位圓內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).

這是利用數(shù)學(xué)建模解決新問題、發(fā)明新公式的又一個(gè)范例.

解復(fù)數(shù)ω=cos 72°+i sin 72°滿足條件ω5=1,它的正整數(shù)次冪1,ω,ω2,ω3,ω4是方程x5=1即x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=0的全部根.

ω,ω2,ω3,ω4是方程x4+x3+x2+x+1=0的全部根.

此方程的根不為0,因此可以同除以x2得到同解方程

(1)

y2+y-1=0

(2)

解方程y2+y-1=0

其中的正根為

作法任取單位長度為半徑作圓.取相互垂直的半徑OA豎直向上,OH水平向左.如圖2.

取OH的中點(diǎn)M,則

以M為圓心,MO的長度為半徑畫弧交MA于N. 則AN=MA-NM=2 cos 72°= 2 sin 18°是圓內(nèi)接正十邊形的邊長.在圓周上截取AP=AN=PB,AB=BC=CD=DE,得到正五角星的 5個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E.可連接成五角星.

四、三八二十四:勝造七級浮屠

大家都知道 “三八二十四”.可是有一個(gè)名人講了一個(gè)三八二十三的故事，還說這代表中國文化.

故事是這樣的:某朝代,一個(gè)小痞子去買布.每匹布8元錢,他買了3匹布.按照“三八二十四”的乘法口訣,他應(yīng)該付24元錢.可是小痞子不承認(rèn)“三八二十四”的口訣,說應(yīng)該是“三八二十三”,只承認(rèn)付23元.在場一位小和尚出來打抱不平,說應(yīng)該是“三八二十四”.小痞子說我們?nèi)フ埬銕煾冈u理.如果你師父說“三八二十四”,我就認(rèn)輸,我把我的頭輸給你.如果他說“三八二十三”,你就輸了,你把你的帽子輸給我.結(jié)果師父判了“三八二十三”,小痞子贏了.小和尚氣憤地問師父為什么胡說八道.師父說：他輸了是輸一條命,你輸了只輸帽子.出家人慈悲為本,怎么能要他的命呢？名人講完了這個(gè)故事，說這就代表了中國文化.

我在網(wǎng)上查了這個(gè)故事,想看那位老和尚是哪個(gè)朝代的哪位高僧.結(jié)果發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)版本，一個(gè)版本說的不是老和尚而是孔子.而那位見義勇為的小和尚換成了顏回.由此知道這個(gè)故事并非歷史,而只是一個(gè)寓言.我讓我的學(xué)生對此發(fā)表意見和感想，很多人都贊成老和尚的處理辦法，說總不能為了一元錢就讓一個(gè)鮮活的生命消失.我反問：為什么你們覺得如果判了24,小痞子就會死？他們驚訝地說：他們打了賭呀,打了賭就要守信用嘛.我說：小痞子連 “三八二十四”這樣的宇宙真理都不承認(rèn),他怎么會遵守打賭的約定呢 ?這也是邏輯推理.更何況，這個(gè)賭約本來就是違法的,當(dāng)初小和尚就不應(yīng)該同意,老和尚也不應(yīng)該同意.如果官府出面,不但不會幫助執(zhí)行這個(gè)賭約,反而會把打賭的兩人各打五十大板,懲罰他們違法訂約之罪.為什么學(xué)生潛意識會覺得兩個(gè)人訂的賭約一定要遵守？是因?yàn)樗麄冇X得兩個(gè)人訂的約定就必須遵守.而“三八二十四”不知道是誰訂的,違反了也沒人管,可以不遵守.這也是長期教育熏陶形成的中國文化 :真理只服從人,不服從客觀規(guī)律.

三八二十四還是二十三，誰說了算？老和尚說了算嗎？也許有人說：老和尚不是數(shù)學(xué)專家,說了不算,應(yīng)該去問數(shù)學(xué)家.那就要問：足球賽的輸贏該問誰？問國際足聯(lián)還是問馬拉多納？其實(shí),什么人都不用問,自己看球賽,看誰進(jìn)球進(jìn)得更多的,就是贏家.也就是說：不由人說了算,而由規(guī)則說了算.規(guī)則大家都懂,判斷出來都一樣.如果你真找到馬拉多納,他可以不回答你,而是打開電視機(jī)讓你看錄像.

同樣地,即使你真去問老和尚,如果老和尚既有德行也有智慧,他就應(yīng)該不直接告訴答案,既不說 23也不說 24,而是讓小痞子自己去找答案.甚至也不必找答案,只要付錢就行了.小痞子不承認(rèn) 24不要緊,只要承認(rèn)三八,每匹布付 8元錢就行了：第一匹布掏 8元錢，第二匹布、第三匹布,都掏 8元,付三個(gè) 8元就行了,不用管它是 24還是 23,拿布走人.老和尚只告訴你掏三個(gè)8元,沒說是 24,也沒說 23，按照賭約,小痞子既沒輸也沒贏,平平安安回家去.如果非得要數(shù),那就拿三疊錢每疊 8張,一張一張數(shù)一遍,數(shù)出來是多少就是多少.老和尚不來判.只要兩人都會數(shù)錢,也承認(rèn)數(shù)錢的結(jié)果，自然就達(dá)成了共識.老和尚不告訴答案,只告訴尋找答案的方法——數(shù)數(shù).這就是授之以漁而不授之以魚.既使數(shù)出來是 24,老和尚并沒有說 24,也不違反賭約.

雖然老和尚判 “三八二十三”既不道德也不智慧.但是名人說“三八二十三”是中國文化卻還有幾分道理.三八二十三就是隨心所欲篡改真理,這確實(shí)是中國文化的一部分，而且源遠(yuǎn)流長,代表人物很多.東周有周幽王烽火戲諸侯,秦朝有趙高

指鹿為馬,宋朝有秦檜的莫須有,都是古代的老祖宗.也許你認(rèn)為 23與24只差一元錢,讓一步有何不可.不過這些老祖宗卻不只多付 1元錢,而是讓很多人丟了命.周幽王自己規(guī)定舉烽火表示有敵軍來犯，為了逗妃子笑卻舉了一次假烽火,敵人沒來也舉了，以為只是開個(gè)玩笑，后果卻是：下次敵人真來了,舉真烽火也沒人相信,丟了很多條命.趙高與胡亥李斯合謀篡改始皇遺詔,殺了扶蘇和蒙恬,玩了一次三八二十三，然后他們又把這個(gè)三八二十三的游戲繼續(xù)玩下去,三個(gè)人之間相互殺,趙高殺了李斯和胡亥,趙高也被秦三世以同樣的方式殺掉了,秦朝也滅亡了.秦檜用莫須有殺了岳飛,以后自己也變成鐵像跪在岳飛面前直到現(xiàn)在.損失的都不止一元錢.三八二十四是一個(gè)定理,變成二十三,就是另外一個(gè)定理.定理就會反復(fù)使用,每使用一次相差 1元錢,反復(fù)使用就可以謬之千里了.那個(gè)名人為什么說 “三八二十三”是中國文化？理由是堅(jiān)持真理 “三八二十四”會讓人丟命,篡改真理的 “三八二十三”才會救命.小痞子的故事只是子虛烏有,周幽王趙高秦檜的“三八二十三”可是實(shí)實(shí)在在的歷史,讓千百萬人頭落地,害了別人,也害了自己.不過,中國文化不只是 “三八二十三”,還有 “三八二十四”.例如比干,屈原,文天祥,還有文天祥的正氣歌中列舉的體現(xiàn)天地正氣的一大批人，都是寧肯丟命也要堅(jiān)持 “三八二十四”.其中有些人確實(shí)丟了命,但是他們的丹心照汗青.還有人沒丟命,如文天祥正氣名單中的張良,嚴(yán)顏，同樣照汗青.

三八二十三的文化不只害了古人,而且流傳至今繼續(xù)害死人命.例如,野生動物園大字寫明“珍愛生命禁止下車”,這也是“三八二十四”,有的牛人卻偏要下車,認(rèn)為誰也管不著.這也是三八二十三的信徒.人管不著,老虎卻管得著,“老虎要吃人”是個(gè)定理,咬你沒商量.所以,“三八二十四”這個(gè)口訣不僅是拿來應(yīng)付考試的,也是拿來救命的.它教的核心素養(yǎng)就是敬畏規(guī)則，遵守規(guī)則.不是為了服從別人，而是為了保護(hù)自己.具有這樣核心素養(yǎng)的人多一個(gè),繼承三八二十三中國文化的人少一個(gè),被老虎咬死或者被汽車撞死的人就會少一個(gè),數(shù)學(xué)教育的功德就多一分,勝造七級浮屠.

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)規(guī)定的第二條核心素養(yǎng)是“邏輯推理”,由公理推出定理.看起來小學(xué)算術(shù)沒有公理,小學(xué)生也不會邏輯推理.實(shí)際上,小學(xué)算術(shù)從數(shù)數(shù)開始,數(shù)數(shù)就是算術(shù)公理,稱為皮亞諾公理,挺高大上的名字.小學(xué)教學(xué)生掰手指數(shù)數(shù),“掐指一算”,就是用算術(shù)公理進(jìn)行邏輯推理.三八二十四的乘法口訣是數(shù)三個(gè) 8得到的. 3+2 =5也是數(shù)手指數(shù)出來的 :先伸出3個(gè)手指，再伸 2個(gè),擺到一起數(shù)出來是 5個(gè),這就得到了 3+2=5.這也是邏輯推理. 3+2中的 2就是 1+1,與3擺到一起就是 3+(1+1).數(shù)數(shù)的時(shí)候,先數(shù)完 3,再把 2拆成 1+1,先數(shù) 1個(gè)得到 4,再數(shù) 1個(gè)得到 5,也就是 3+(1+1)=(3+1)+1,這就是加法的結(jié)合律.如果反過來先數(shù)2再數(shù)3,就得到 3+2=2+3,加法交換律.(未完待續(xù))