“仿真物理實(shí)驗(yàn)”在物理問(wèn)題研究中的應(yīng)用
——以“尋找?guī)щ娦∏蛟趶?fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡”為例
2018-07-13 08:51:26陳璽君
物理通報(bào) 2018年7期
陳璽君
(丹陽(yáng)市呂叔湘中學(xué) 江蘇 丹陽(yáng) 212300；廣西師范大學(xué)教師教育學(xué)院 廣西 桂林 541004)
1 問(wèn)題場(chǎng)景
【問(wèn)題】如圖1所示，范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面平面向里，同時(shí)在紙面平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小為E，方向水平向右.質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電小球從圖中某一位置P出發(fā)，與水平方向成45°斜向右上方射入場(chǎng)區(qū)，小球所受電場(chǎng)力與其重力大小相等，試分析小球所有可能的運(yùn)動(dòng)軌跡.
圖1 題圖
2 初步理論研究分析
首先從理論上簡(jiǎn)單分析：為了便于研究該問(wèn)題，可以以帶電小球出發(fā)點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，v0方向?yàn)閤軸，建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系.
圖2 建立有角坐標(biāo)系
鑒于v0與v的大小關(guān)系不明確，這時(shí)顯然有必要分兩種情況討論.
2.1 當(dāng)0≤v0如圖3所示，帶電小球的受力分析圖.
圖3 受力分析
如圖4所示，易知，小球一邊從初始位置開(kāi)始以速度大小為v-v0逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的下方
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
圖4 運(yùn)動(dòng)分解
經(jīng)過(guò)時(shí)間t,小球位置在沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的新坐標(biāo)系x′O′y′中的坐標(biāo)為
x′=-Rsinωt
(6)
y′=Rcosωt
(7)
因此換算到xOy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(8)
y=-(R-y′)=y′-R=Rcosωt-R
(9)
整理可得
(10)
(11)
2.2 當(dāng)v0>v時(shí)
如圖5所示，帶電小球的受力分析圖.
圖5 受力分析
如圖6所示，此時(shí)可認(rèn)為小球一邊從初始位置開(kāi)始以速度大小為v0-v逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的上方，半徑
(12)
在坐標(biāo)系x′O′y′中小球的坐標(biāo)為
x′=Rsinωt
(13)
y′=-Rcosωt
(14)
圖6 運(yùn)動(dòng)分解
因此小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(15)
y=y′+R=-Rcosωt+R
(16)
整理可得
(17)
(18)
由以上分析可知，兩種情況下小球的軌跡的參數(shù)方程的形式完全相同．
從上面的軌跡參數(shù)方程可以看出，軌跡形狀顯然與v0的取值是有關(guān)聯(lián)的．如圖7所示，在“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”軟件中設(shè)置好如下參數(shù)： 小球質(zhì)量m=0.5 kg,小球電荷量Q=1 C，勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度E=5 N/C，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T，重力場(chǎng)：g=10 m/s2，小球初始坐標(biāo)(10 m,10 m)．
圖7 設(shè)置參數(shù)
3 “仿真物理實(shí)驗(yàn)”嘗試
在0≤v03.1 嘗試1
取特殊值v0=0，運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果軌跡如圖8所示.
圖8 取v0=0時(shí)運(yùn)行結(jié)果
這顯然是圓滾線(又稱(chēng)旋輪線、擺線)．
理論研究釋疑：
如圖9所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)具有沿x軸正方向最大速度2v，最低點(diǎn)軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點(diǎn)為極大值點(diǎn)，最高點(diǎn)不光滑應(yīng)為尖點(diǎn)．
圖9 v0=0運(yùn)動(dòng)分析
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
由軌跡方程的二階導(dǎo)數(shù)知
(25)
當(dāng)v0=0時(shí)代入
(26)
因此除軌跡的最高點(diǎn)vx=0外， 其余點(diǎn)由于vx>0，則在該運(yùn)動(dòng)區(qū)間
(27)
由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無(wú)拐點(diǎn)，且曲線軌跡向上凹，與仿真物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合．
3.2 嘗試2
圖10 取v0=3 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果
這種軌跡顯然與嘗試1不同．
理論研究釋疑：
如圖11所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為2v-v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為v0，方向也沿x軸正方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡可能存在拐點(diǎn)．
圖11 0
(28)
(29)
因?yàn)関x>0
(30)
(31)
可得
(32)
(33)
(34)
(35)
容易得到，在拐點(diǎn)的左側(cè)
(36)
曲線軌跡向下凹；
在拐點(diǎn)的右側(cè)
(37)
曲線軌跡向上凹；與仿真物理實(shí)驗(yàn)得到的軌跡吻合．
接下來(lái)在v>v0范圍內(nèi)，分多種情況嘗試.
3.3 嘗試3
圖12 取v0=11 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果
明顯該曲線軌跡與上面嘗試1、嘗試2情況均不相同，是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡．
理論研究釋疑：
如圖13所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為2v-v0，方向也沿x軸正方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡仍然可能存在拐點(diǎn)．
圖13 v
(38)
(39)
因?yàn)関x>0
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
容易得到，在拐點(diǎn)的左側(cè)
(46)
曲線軌跡向上凹；
在拐點(diǎn)的右側(cè)
(47)
曲線軌跡向下凹；與仿真物理實(shí)驗(yàn)軌跡吻合．
3.4 嘗試4
圖14 取時(shí)運(yùn)行結(jié)果
明顯這個(gè)曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3這3種情況中也未曾出現(xiàn)，也是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡．
理論研究釋疑：
如圖15所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)具有沿x軸正方向最大速度v0=2v，最低點(diǎn)軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度也出現(xiàn)為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點(diǎn)為極大值點(diǎn)，最高點(diǎn)不光滑出現(xiàn)尖點(diǎn)．這時(shí)因?yàn)関x>0，當(dāng)
v0=2v
(48)
時(shí)，代入得
(49)
圖15 v0=2v運(yùn)動(dòng)分析
因此除軌跡的最高點(diǎn)vx=0外，其余點(diǎn)由于vx>0，則在該運(yùn)動(dòng)區(qū)間有
(50)
由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無(wú)拐點(diǎn)，且曲線軌跡向上凹，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合．
3.5 嘗試5
當(dāng)v0>2v時(shí)，取v0=20 m/s代入“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”運(yùn)行，結(jié)果軌跡如圖16所示.
圖16 取v0=20 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果
明顯這個(gè)曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3，嘗試4種情況中均未出現(xiàn)，也是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡．
理論研究釋疑：
如圖17所示，可知，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為v0-2v，方向沿x軸負(fù)方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．這種情況小球有段時(shí)間向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，有段時(shí)間向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，在軌跡的最高點(diǎn)下方存在x軸分速度為零而y軸分速度不為零的特殊點(diǎn)，在這些點(diǎn)軌跡的切線沿y軸正或者負(fù)方向．
圖17 v0>2v時(shí)運(yùn)動(dòng)分析
(51)
容易得到，若vx>0時(shí)
(52)
曲線軌跡向上凹；
在拐點(diǎn)的右側(cè)，
(53)
曲線軌跡向下凹,與仿真物理實(shí)驗(yàn)軌跡吻合．
最后可以隨便賦予小球任意速度，理論和仿真實(shí)驗(yàn)均表明無(wú)更多可能軌跡．下面將5種實(shí)驗(yàn)嘗試情況下的5個(gè)相同小球賦值以上討論的5個(gè)不同速度，一起運(yùn)行試驗(yàn)得到所有可能的軌跡如圖18所示.
圖18 5種實(shí)驗(yàn)嘗試情況下運(yùn)行結(jié)果
4 結(jié)束語(yǔ)
在有些復(fù)雜的物理問(wèn)題研究中，人腦的想象空間是非常有限的，借助“仿真物理實(shí)驗(yàn)”，先對(duì)未知領(lǐng)域進(jìn)行嘗試，獲得感性的認(rèn)知，然后借助理論研究尋找形成原因，這種方法可以幫助解決一些疑難問(wèn)題，對(duì)于物理問(wèn)題的研究未嘗不是一個(gè)行之有效的策略.
猜你喜歡
圓錐曲線的切線方程及其推廣的結(jié)論中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年2期)2021-03-19 08:54:12 楊鶴鳴書(shū)香兩岸(2020年3期)2020-06-29 12:33:45 切線在手，函數(shù)無(wú)憂(yōu)新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2020年12期)2020-03-29 02:15:34 巧析豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)新課程·中旬(2017年12期)2018-03-07 19:52:31 過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)作切線的新方法課程教育研究(2017年26期)2017-08-02 08:56:02 “等時(shí)圓”模型及形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”新課程·中學(xué)(2015年7期)2015-09-11 18:29:27 “等時(shí)圓”模型及形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”新課程·中旬(2015年7期)2015-09-06 08:44:41 止跌訊號(hào)尚不明確股市動(dòng)態(tài)分析(2012年36期)2012-04-29 21:11:13 明年股市運(yùn)行區(qū)間1800—2200點(diǎn)股市動(dòng)態(tài)分析(2012年46期)2012-04-29 19:09:09 卷首語(yǔ)初中生學(xué)習(xí)·高(2012年1期)2012-04-29 00:44:03
如圖3所示，帶電小球的受力分析圖.
圖3 受力分析
如圖4所示，易知，小球一邊從初始位置開(kāi)始以速度大小為v-v0逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的下方
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
圖4 運(yùn)動(dòng)分解
經(jīng)過(guò)時(shí)間t,小球位置在沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的新坐標(biāo)系x′O′y′中的坐標(biāo)為
x′=-Rsinωt
(6)
y′=Rcosωt
(7)
因此換算到xOy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(8)
y=-(R-y′)=y′-R=Rcosωt-R
(9)
整理可得
(10)
(11)
2.2 當(dāng)v0>v時(shí)
如圖5所示，帶電小球的受力分析圖.
圖5 受力分析
如圖6所示，此時(shí)可認(rèn)為小球一邊從初始位置開(kāi)始以速度大小為v0-v逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的上方，半徑
(12)
在坐標(biāo)系x′O′y′中小球的坐標(biāo)為
x′=Rsinωt
(13)
y′=-Rcosωt
(14)
圖6 運(yùn)動(dòng)分解
因此小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(15)
y=y′+R=-Rcosωt+R
(16)
整理可得
(17)
(18)
由以上分析可知，兩種情況下小球的軌跡的參數(shù)方程的形式完全相同．
從上面的軌跡參數(shù)方程可以看出，軌跡形狀顯然與v0的取值是有關(guān)聯(lián)的．如圖7所示，在“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”軟件中設(shè)置好如下參數(shù)： 小球質(zhì)量m=0.5 kg,小球電荷量Q=1 C，勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度E=5 N/C，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T，重力場(chǎng)：g=10 m/s2，小球初始坐標(biāo)(10 m,10 m)．
圖7 設(shè)置參數(shù)
3 “仿真物理實(shí)驗(yàn)”嘗試
在0≤v0 取特殊值v0=0，運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果軌跡如圖8所示. 圖8 取v0=0時(shí)運(yùn)行結(jié)果 這顯然是圓滾線(又稱(chēng)旋輪線、擺線)． 理論研究釋疑： 如圖9所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)具有沿x軸正方向最大速度2v，最低點(diǎn)軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點(diǎn)為極大值點(diǎn)，最高點(diǎn)不光滑應(yīng)為尖點(diǎn)． 圖9 v0=0運(yùn)動(dòng)分析 (19) (20) (21) (22) (23) (24) 由軌跡方程的二階導(dǎo)數(shù)知 (25) 當(dāng)v0=0時(shí)代入 (26) 因此除軌跡的最高點(diǎn)vx=0外， 其余點(diǎn)由于vx>0，則在該運(yùn)動(dòng)區(qū)間 (27) 由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無(wú)拐點(diǎn)，且曲線軌跡向上凹，與仿真物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合． 圖10 取v0=3 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果 這種軌跡顯然與嘗試1不同． 理論研究釋疑： 如圖11所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為2v-v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為v0，方向也沿x軸正方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡可能存在拐點(diǎn)． 圖11 0 (28) (29) 因?yàn)関x>0 (30) (31) 可得 (32) (33) (34) (35) 容易得到，在拐點(diǎn)的左側(cè) (36) 曲線軌跡向下凹； 在拐點(diǎn)的右側(cè) (37) 曲線軌跡向上凹；與仿真物理實(shí)驗(yàn)得到的軌跡吻合． 接下來(lái)在v>v0范圍內(nèi)，分多種情況嘗試. 圖12 取v0=11 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果 明顯該曲線軌跡與上面嘗試1、嘗試2情況均不相同，是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡． 理論研究釋疑： 如圖13所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為2v-v0，方向也沿x軸正方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡仍然可能存在拐點(diǎn)． 圖13 v (38) (39) 因?yàn)関x>0 (40) (41) (42) (43) (44) (45) 容易得到，在拐點(diǎn)的左側(cè) (46) 曲線軌跡向上凹； 在拐點(diǎn)的右側(cè) (47) 曲線軌跡向下凹；與仿真物理實(shí)驗(yàn)軌跡吻合． 圖14 取時(shí)運(yùn)行結(jié)果 明顯這個(gè)曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3這3種情況中也未曾出現(xiàn)，也是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡． 理論研究釋疑： 如圖15所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)具有沿x軸正方向最大速度v0=2v，最低點(diǎn)軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度也出現(xiàn)為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點(diǎn)為極大值點(diǎn)，最高點(diǎn)不光滑出現(xiàn)尖點(diǎn)．這時(shí)因?yàn)関x>0，當(dāng) v0=2v (48) 時(shí)，代入得 (49) 圖15 v0=2v運(yùn)動(dòng)分析 因此除軌跡的最高點(diǎn)vx=0外，其余點(diǎn)由于vx>0，則在該運(yùn)動(dòng)區(qū)間有 (50) 由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無(wú)拐點(diǎn)，且曲線軌跡向上凹，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合． 當(dāng)v0>2v時(shí)，取v0=20 m/s代入“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”運(yùn)行，結(jié)果軌跡如圖16所示. 圖16 取v0=20 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果 明顯這個(gè)曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3，嘗試4種情況中均未出現(xiàn)，也是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡． 理論研究釋疑： 如圖17所示，可知，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為v0-2v，方向沿x軸負(fù)方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．這種情況小球有段時(shí)間向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，有段時(shí)間向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，在軌跡的最高點(diǎn)下方存在x軸分速度為零而y軸分速度不為零的特殊點(diǎn)，在這些點(diǎn)軌跡的切線沿y軸正或者負(fù)方向． 圖17 v0>2v時(shí)運(yùn)動(dòng)分析 (51) 容易得到，若vx>0時(shí) (52) 曲線軌跡向上凹； 在拐點(diǎn)的右側(cè)， (53) 曲線軌跡向下凹,與仿真物理實(shí)驗(yàn)軌跡吻合． 最后可以隨便賦予小球任意速度，理論和仿真實(shí)驗(yàn)均表明無(wú)更多可能軌跡．下面將5種實(shí)驗(yàn)嘗試情況下的5個(gè)相同小球賦值以上討論的5個(gè)不同速度，一起運(yùn)行試驗(yàn)得到所有可能的軌跡如圖18所示. 圖18 5種實(shí)驗(yàn)嘗試情況下運(yùn)行結(jié)果 在有些復(fù)雜的物理問(wèn)題研究中，人腦的想象空間是非常有限的，借助“仿真物理實(shí)驗(yàn)”，先對(duì)未知領(lǐng)域進(jìn)行嘗試，獲得感性的認(rèn)知，然后借助理論研究尋找形成原因，這種方法可以幫助解決一些疑難問(wèn)題，對(duì)于物理問(wèn)題的研究未嘗不是一個(gè)行之有效的策略.3.1 嘗試1
3.2 嘗試2
3.3 嘗試3
3.4 嘗試4
3.5 嘗試5
4 結(jié)束語(yǔ)
猜你喜歡
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年2期)2021-03-19 08:54:12書(shū)香兩岸(2020年3期)2020-06-29 12:33:45新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2020年12期)2020-03-29 02:15:34新課程·中旬(2017年12期)2018-03-07 19:52:31課程教育研究(2017年26期)2017-08-02 08:56:02新課程·中學(xué)(2015年7期)2015-09-11 18:29:27新課程·中旬(2015年7期)2015-09-06 08:44:41股市動(dòng)態(tài)分析(2012年36期)2012-04-29 21:11:13股市動(dòng)態(tài)分析(2012年46期)2012-04-29 19:09:09初中生學(xué)習(xí)·高(2012年1期)2012-04-29 00:44:03
