一道矩形證明題解答思路引發(fā)的教學(xué)思考

黃婷婷 （江蘇海安縣海陵中學(xué)）

由于知識(shí)積累等多方面的影響，不同的人看同一個(gè)問題角度出現(xiàn)不同，形成自身獨(dú)有的模式。當(dāng)教師在傳授該知識(shí)時(shí)，必然是在自己的積累基礎(chǔ)上進(jìn)行的，按照自己的認(rèn)識(shí)傳授，等于將自己的模式放到學(xué)生身上。但是由于接受對象不同，他們對于教師的知識(shí)傳授理解就不同，同一節(jié)課，同樣的講解，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果不一。不少人都在努力解決這樣一個(gè)問題：如何讓知識(shí)的傳授效果達(dá)到最佳，讓學(xué)生更好地完成學(xué)習(xí)。作為從教多年的數(shù)學(xué)教師，筆者在執(zhí)教過程中留意學(xué)生的解答思路，力求通過對解答思路的分析，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，優(yōu)化教學(xué)效果。

最近筆者的一次關(guān)于矩陣性質(zhì)學(xué)習(xí)的課堂上，針對一道證明題，不同的學(xué)生給出了不同的解答思路。

一、案例呈現(xiàn)

如圖，E是矩形ABCD邊CB延長線上一點(diǎn)，CE＝CA，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，求證：BF⊥FD。

二、思路展示

思路1：連接BD與AC相交于O點(diǎn)，連接OF，由平行四邊形兩條對角線互相平分這條性質(zhì)出發(fā)，由三角形兩邊中點(diǎn)所連成的線平行且等于第三邊的一半，可得在△BFD中，F(xiàn)O=BD，且由于O為BD的中點(diǎn)，所以BO=DO=FO，在兩個(gè)等腰三角形△BFO和△OFD中，由角之間的關(guān)系可得∠BFD=90°。

分析：證明垂直，不少學(xué)生的第一反應(yīng)就是計(jì)算角的度數(shù)，如果角是90°，在平面幾何中就能確定垂直關(guān)系。而輔助線是幾何證明中非常重要的解決思路。思路1通過輔助線構(gòu)成了一個(gè)直角三角形與兩個(gè)等腰三角形，充分利用三角形與特殊四邊形的性質(zhì)完成了命題的證明，所涉及的知識(shí)點(diǎn)既能承接上一節(jié)所學(xué)習(xí)的三角形的中位線的知識(shí)點(diǎn)，且又能鞏固運(yùn)用“矩形的性質(zhì)1”中矩形對角線相等且互相平分這一知識(shí)點(diǎn)，最后拓展延伸到本節(jié)課所學(xué)習(xí)的直角三角形一個(gè)性質(zhì)的逆定理，解題思路很完美。但是筆者發(fā)現(xiàn)，這道證明題存在其他思路。

思路2：在八年級上學(xué)期，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)并熟練掌握了三角形的全等，遇到與角相關(guān)問題時(shí)，不少同學(xué)首先想到的是在圖中尋找全等三角形，由已知條件CE＝CA，F(xiàn)為AE中點(diǎn)可知∠FAC=90°，而要證明為90°角的∠BFD與∠FAC有公共角∠DFC，本題的重點(diǎn)就轉(zhuǎn)換為由已知條件求證∠DFA=∠CFB，由已知矩形ABCD，則容易由矩形的性質(zhì)知AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°以及在Rt△ABE中F為AE中點(diǎn)，可根據(jù)直角三角形的一個(gè)性質(zhì)可知BF=AF=EF，∠FAB=∠FBA，這就把問題轉(zhuǎn)換為證△AFD≌△BFC，最終完成證明。

分析：因?yàn)閯倓傔M(jìn)行了全等三角形的學(xué)習(xí)，學(xué)生在解題時(shí)自然聯(lián)系上去。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)題目給予邊之間的關(guān)系，而需要找角之間的聯(lián)系時(shí)，通常運(yùn)用等腰三角形，全等等知識(shí)點(diǎn)比較有效。尤其是剛剛完成對三角形各類性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的印象比較深，能熟練運(yùn)用。正好本題存在全等三角形，通過補(bǔ)充直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，和矩形的性質(zhì)，最終能得到要證明的結(jié)論。與思路1比較，沒有了輔助線的困擾，更為簡便。而且不少學(xué)生在面對證明題時(shí)，都有不畫輔助線的習(xí)慣。當(dāng)然，在證明過程中，輔助線有時(shí)候能夠讓證明更加簡便。思路3就體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

思路3：連接BD，構(gòu)成△BFD。先把∠DFB放到△BFD中，再由已知條件找出和△BFD全等的三角形AFC，結(jié)合矩形的對角線性質(zhì)，通過證明，找到一個(gè)直角三角形與目標(biāo)全等，從而完成證明。

分析：解法3相比較解法2而言，直接構(gòu)造全等三角形，既能減少因角之間轉(zhuǎn)換太多導(dǎo)致的失誤，又在證明三角形全等時(shí)，對以往學(xué)習(xí)內(nèi)容再次鞏固，解答過程簡單直接。

三、教學(xué)思考

三種解題思路角度不同，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)也不盡相同。不同的思路反映了學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)掌握的程度與看待問題的角度以及解決問題的習(xí)慣。在學(xué)習(xí)的過程中，正是因?yàn)橛辛诉@些不同，學(xué)習(xí)的效果出現(xiàn)了差別。

同一證明題的三種思路，思路1反映了該生能熟練運(yùn)用三角形的中位線，并且掌握了直角三角形一個(gè)性質(zhì)的逆定理；思路2與思路3反映了學(xué)生對于全等三角形的知識(shí)能夠熟練掌握。思路2與思路1的共同點(diǎn)在于這兩名學(xué)生思考問題的出發(fā)點(diǎn)是“就事論事”，要證明垂直，就算出目標(biāo)是一個(gè)直角，在證明過程中，學(xué)生的思路清晰，過程嚴(yán)謹(jǐn)。思路3體現(xiàn)出學(xué)生的創(chuàng)造性更強(qiáng)，善用巧力。

對于上述三類學(xué)生，在教學(xué)的過程中既要鼓勵(lì)他們多積累、多思考、多歸納一些結(jié)論與基本模型，拓展自己的知識(shí)面與解題思路，更需要體現(xiàn)差異化。例如，第一類學(xué)生的三角形中位線掌握較好，在此基礎(chǔ)上可對例如全等三角形等知識(shí)強(qiáng)化；第二類學(xué)生可以適當(dāng)鍛煉他們的整體思維，增強(qiáng)對輔助線的運(yùn)用；第三類學(xué)生可以鍛煉他們發(fā)散思維，多個(gè)角度解決問題。

作為一名一線教師，要時(shí)刻留意學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，經(jīng)常分析學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與學(xué)習(xí)特點(diǎn)；針對不同的學(xué)生，采取與之對應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法，力求做到因材施教，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果最佳。

[1]孟曉東．從原點(diǎn)到遠(yuǎn)點(diǎn)——守望在生長教育的田野[M]．南京：江蘇教育出版社，2016．

[2]林松．習(xí)題教學(xué)：入乎其內(nèi)，出乎其外[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（1-2）．