例析函數(shù)連續(xù)及一致連續(xù)的判別

段煉 方賢文

摘要：連續(xù)及一致連續(xù)是高校數(shù)學分析和高等數(shù)學中重點和難點之一，且對其他課程教學及應用中具有重要的地位，對培養(yǎng)本科生的分析能力和學習后繼課程具有重要作用。本文主要通過具體實例分析介紹幾種關(guān)于函數(shù)連續(xù)及一致連續(xù)的判別方法如判定左右連續(xù)法、放縮法等，并通過具體實例分析了這些方法在數(shù)學分析及高等數(shù)學教學中的應用，對幫助學生有效學習行列式知識具有一定指導作用。

關(guān)鍵詞：連續(xù);一致連續(xù);判別

中圖分類號：O13文獻標識碼：A

1 緒論

函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性[1]是高校分析課程教學中重要內(nèi)容，分別反映了函數(shù)的局部和整體性質(zhì)，不僅有利于刻畫函數(shù)的變化趨勢和性質(zhì)，同時與后繼知識如含參變量積分、函數(shù)項積分等諸多重要的微積分中的概念具有密切的聯(lián)系，具有承上啟下的作用，又由于其高度的抽象性，稱為教學中的重點和難點之一，也得到了諸多學者關(guān)于其教學方面的研究，如文獻[24]。而在有關(guān)的習題中，關(guān)于連續(xù)性和一致連續(xù)性的判別有許多方法，最基本的方法之一是根據(jù)其定義進行思考。本文將介紹其他判別方法如判定左、右連續(xù)法，放縮法，利用Lipschitz條件等，并舉例說明其求解方法和技巧。

2 判定左、右連續(xù)法

眾所周知，函數(shù)在某一點連續(xù)，當且僅當函數(shù)在該點既左連續(xù)又右連續(xù)，判別函數(shù)在區(qū)間端點的連續(xù)性時，也往往按左、右連續(xù)來確定。

例1設

試研究f（x）在x=0的連續(xù)性。

解

所以，函數(shù)f（x）在x=0處不連續(xù)。

該方法對于判別分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性具有一般性，往往借助于求出函數(shù)在該點處的左右極限，進而判別函數(shù)的連續(xù)性。

3 放縮法

放縮法在微積分教學中具有重要的地位，對于解決極限、函數(shù)項級數(shù)等問題具有重要的作用。此處，將通過兩個例題來介紹放縮法在判別函數(shù)連續(xù)及一致連續(xù)性時也具有獨到之處。

例2討論函數(shù)

f（x）x（1-x），x為有理數(shù)，x（1+x），x為無理數(shù)，

的連續(xù)性與可微性。

解先證f（x）在x=0處連續(xù)。對于任意ε>0，當|x|<δ時，則有1+|x|

因此取δ<εc，即有|f（x）-f（0）|<ε.

再證f（x）在任何非零點x0均不連續(xù)。分別取有理數(shù)rn收斂于x0，再取無理數(shù)αn收斂于x0，則

若f（x）在x0處連續(xù)，則有x0（1-x0）=x0（1+x0），得到x0=0，這與x0非零是矛盾的。由于f（x）在任意非零點處不連續(xù)，從而也不可微。

最后證明：f（x）在x=0處可微。

所以 因此 ，

即

所以f′（0）=1

放縮法在證明函數(shù)一致連續(xù)性時也具有獨特之處，為判別某些具有特定性質(zhì)的函數(shù)的一致連續(xù)性帶來方便，下面舉一例說明。

例3 設函數(shù)f（x）在[0，+∞）滿足Lipschitz條件，即存在m>0，對任意x′，x″[0，+∞），有

|f（x′）-f（x″）|≤m|x′-x″|。證明：f（xα）（0<α<1為常數(shù)）在[0，+∞）上一致連續(xù)。

證首先證明g（x）=xα在[0，+∞）上一致連續(xù)，因為g（x）在[0，1]上連續(xù)，從而一致連續(xù)。

下證在[1，+∞）上g（x）=xα一致連續(xù)。

對于任意ε>0，考慮x1，x2[1，+∞），且x1

因此取，則當|x1-x2|<δ時，由上式可得，

從而g（x）=xα在[1，+∞）上一致連續(xù)，進而在[0，+∞）上是一致連續(xù)的。

結(jié)合f（x）滿足Lipschitz條件，即證得f（xα）（0<α<1為常數(shù)）在[0，+∞）上一致連續(xù)。

4 利用Lipschitz條件

Lipschitz條件是一個比通常連續(xù)更強的光滑性條件，具備LIPSCHITZ條件的函數(shù)往往具有更為優(yōu)越的性質(zhì)。例如如果函數(shù)在某區(qū)間上滿足LIPSCHITZ條件，那么該函數(shù)在此區(qū)間上是一致連續(xù)的?；诖耸聦?，下舉一例函數(shù)在開區(qū)間上一致連續(xù)的應用。

例 4 設函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上有連續(xù)的導函數(shù)，且與均存在有限。

試證：f（x）在（a，b）上一致連續(xù)。

證：由假設條件可知，f′（x）在（a，b）上連續(xù)，定義

從而F（x）在[a，b]上連續(xù)。因此，F(xiàn)（x）在[a，b]上一致連續(xù)，進而F（x）在[a，b]上有界，即存在C>0，使得|F（x）|

這說明f（x）在開區(qū)間（a，b）上滿足Lipscitz條件，進而f（x）在（a，b）上一致連續(xù)。

5 結(jié)語

函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性是數(shù)學分析和微積分的一個重要內(nèi)容，關(guān)于這些內(nèi)容的判別方法眾多，本文主要介紹了一些常用并且具有一定技巧性和靈活性的判別方法，并通過例題分析，從而達到有效判別函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的目的，提高了學生學習連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的積極性，改善了教學效果，提高了教學質(zhì)量。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]宋文檀.函數(shù)一致連續(xù)的充要條件及其應用[J].江西科學，2009，27（4）：490492.

[3]李江華.關(guān)于一致連續(xù)的判定與應用[J].赤峰學院學報，2015，31（11）：12.

[4]曾慶紅，李祥.連續(xù)與一致連續(xù)的應用[J].萍鄉(xiāng)學院學報，2016，33（3）：13.

基金項目：安徽省重大教學改革研究項目（2013ZDJY082），安徽省質(zhì)量工程項目（2013SXZX012，2013SJJD008，2014ZY028，2015JYXM136，2015CKJH015），安徽省重大教學改革研究項目（2016JYXM0254）

作者簡介：段煉（1984），男，安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，副教授，從事教學科研。