基于并行交叉遺傳粒子群算法的水文頻率參數(shù)估計

佘 緯，夏永波

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

水文設(shè)計值是各種水利工程建設(shè)的依據(jù)，它是通過現(xiàn)有的水文資料進行水文頻率參數(shù)估計從而推求出來的.在中國廣泛采用的理論頻率分布線型是P-Ⅲ型分布，因此P-Ⅲ型分布的參數(shù)估計吸引了很多學(xué)者的注意.多年來，水文工作者們對水文頻率參數(shù)估計問題做了大量的研究工作，提出了適線法、矩法、權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩法和線性矩法等.適線法(配線法)一直是我國估計水文頻率曲線參數(shù)的主要方法，分為目估適線法和優(yōu)化適線法兩類.目估適線法又稱經(jīng)驗適線法，是尋找一組參數(shù)，使這組參數(shù)所決定的理論曲線與經(jīng)驗點據(jù)擬合最優(yōu)[1].但是使用不同的適線準則和不同的經(jīng)驗頻率計算公式得到的結(jié)果差異很大，計算結(jié)果對個別異常點十分敏感，從而導(dǎo)致所配曲線受少數(shù)異常點控制，時常偏離大多數(shù)經(jīng)驗點的分布，只有一個積累了豐富經(jīng)驗的工程師，才有可能用經(jīng)驗適線方法做出精確的計算，但是水文頻率計算作為一門科學(xué)，不能永遠停留在憑經(jīng)驗計算上.計算機優(yōu)化適線法采用智能算法對參數(shù)進行迭代尋優(yōu)，參數(shù)估計精度高，因此是現(xiàn)今廣泛使用的水文頻率參數(shù)估計方法.矩法屬于單參估計，不能全面確定P-Ⅲ型頻率曲線的參數(shù)估計問題[2].權(quán)函數(shù)法的計算精度相對于矩法有了提高，但其計算復(fù)雜[3].概率權(quán)重矩法和線性矩法避免了計算中的高次方，在無偏性和有效性方面都優(yōu)于一般的矩法和權(quán)函數(shù)法[4]，但是矩法、權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩法和線性矩法都是計算步驟固定的沒有自適應(yīng)能力的參數(shù)估計方法，對于不同的樣本，其參數(shù)估計精度不同[5].因為優(yōu)化適線法所表現(xiàn)出的優(yōu)點，其成為了國內(nèi)外學(xué)者們研究的熱點，文獻[6]將采用SCEM-UA優(yōu)化算法的適線法和矩法、權(quán)函數(shù)法、概率權(quán)重矩法進行了比較，驗證了優(yōu)化適線法的優(yōu)勢；文獻[7]研究發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)數(shù)目較多且取值范圍較大時，PSO算法比SCE算法更高效；文獻[8]將PSO和GA算法相結(jié)合，設(shè)計了混合粒子群算法來進行水文頻率參數(shù)估計；文獻[9]討論了粒子群初始化對PSO算法性能的影響；文獻[10]將PSO算法的局部搜索中增加了新的更新機制，從而提高了算法的性能；文獻[11]通過構(gòu)造新的慣性權(quán)重和加速系數(shù)對PSO算法進行了改進；文獻[12]采用精英保留策略增強了遺傳算法尋優(yōu)的精度.本文深入研究了PSO和GA兩種算法，提出了并行交叉遺傳粒子群算法(PCGA-PSO)，并將其用于水文頻率參數(shù)估計.

1 P-Ⅲ型分布

P-Ⅲ型分布的概率密度可以表示為：

(1)

其中a0表示水文變量的最小值，α和β為兩個重要的參數(shù).Γ(α)是伽馬函數(shù)，可以表示為：

(2)

因為水文變量不可能為負值，所以a0≥0；一般情況下，水文變量不可能太大或太小，所以根據(jù)水文工作者的經(jīng)驗，取α>1,β>0.式(1)的幾個數(shù)字特征可以表示為：

(3)

(4)

(5)

式(3)描述了水文隨機變量的數(shù)學(xué)期望E(x).CV為變差系數(shù)，CS為離差系數(shù)，分別用式(4)、(5)進行描述.從式(3)～(5)可以看出，若已知E(x)、CV和CS，便可以求得式(1)中三個重要參數(shù)a0，α和β，經(jīng)推導(dǎo)得到：

(6)

(7)

(8)

根據(jù)水文頻率的實際數(shù)據(jù)和實際分析經(jīng)驗，對變差系數(shù)和離差系數(shù)的取值，有如下約束：

(9)

其中kmin=xmin/E(x)，xmin為水文變量的最小值.

在水文頻率計算中，一般需求出指定頻率p所對應(yīng)的設(shè)計值xp，這要通過對密度曲線進行積分，求出等于或大于xp的累積頻率p值，即：

(10)

2 適線法步驟

適線法的步驟如下.

步驟1：由估算的E(x)計算kmin，再根據(jù)式(9)決定CV和CS的取值范圍；

步驟2：選擇適線方法；

步驟3：根據(jù)式(11)或式(12)表示的適線準則進行適線；

(11)

(12)

其中，Δxi為實際水文數(shù)據(jù)點和理論頻率曲線之間的偏差，δ1為離差絕對值和，δ2為離差平方和.

步驟6：將a0，α和β代入式(10)，求得相應(yīng)于xp的累積頻率p值.

3 并行交叉遺傳粒子群算法

基于GA和PSO算法的優(yōu)缺點，本文提出了PCGA-PSO算法，該算法在初始種群的產(chǎn)生與編碼、GA和PSO的執(zhí)行方式和數(shù)據(jù)融合、PSO算法的慣性權(quán)重等方面進行了改進和設(shè)計.

3.1 初始種群的產(chǎn)生和編碼

PCGA-PSO算法采用十進制編碼，設(shè)初始種群的取值范圍為[a，b]，其產(chǎn)生初始種群的步驟如下：

(i) 將區(qū)間[a,b]劃分為M個小區(qū)間；

(ii) 在每個小區(qū)間隨機產(chǎn)生兩個數(shù)，分別記為Qi，Pi，i=1,2,…,M；

(iii) 將Q1,Q2,…，QM作為GA算法的初始種群，P1,P2,…，PM作為PSO算法的初始種群.

3.2 GA和PSO的執(zhí)行方式和數(shù)據(jù)融合

在PCGA-PSO算法的執(zhí)行階段，令GA和PSO算法并行執(zhí)行，每隔5代進行一次數(shù)據(jù)融合，充分發(fā)揮GA全局搜索能力強和PSO局部搜索能力強的優(yōu)點，其具體執(zhí)行步驟如下：

(1)令GA算法以Q1,Q2,…，QM為初始種群開始執(zhí)行，PSO算法以P1,P2,…，PM為初始種群開始執(zhí)行；

(2)執(zhí)行5代之后，分別計算兩種算法得到的新種群對應(yīng)的適應(yīng)度值；若滿足算法的終止條件，則算法終止；否則，繼續(xù)下面的步驟；

(3)對兩種算法得到的新種群，按照其適應(yīng)度值降序排序，GA算法的新種群排序之后可記為：R1,R2,…，RM,PSO算法的新種群排序之后可記為：S1,S2,…，SM；

(4) 將SM-k+1,SM-k+2,…，SM和R1,R2,…，Rk進行交換，交換之后，令SM-k+1,SM-k+2,…，SM,Rk+1,Rk+2,…，RM作為GA算法的新種群，令S1,S2,…，SM-k,R1,R2,…，Rk作為PSO算法的新種群，k取1到M/2之間的隨機整數(shù)；

(5)轉(zhuǎn)到步驟(2)執(zhí)行.

3.3 PCGA-PSO算法的慣性權(quán)重

PSO算法的慣性權(quán)重體現(xiàn)了粒子繼承先前速度的能力，較大的慣性權(quán)重有利于全局搜索，較小的慣性權(quán)重則有利于局部搜索.本文實現(xiàn)的是并行交叉GA-PSO算法，在其中的PSO算法部分，根據(jù)下列步驟設(shè)置慣性權(quán)重：

(1)設(shè)置初始的慣性權(quán)重為：

(13)

根據(jù)經(jīng)驗設(shè)置初始慣性權(quán)重ωstart=0.9，迭代最大次數(shù)時的慣性權(quán)重ωend=0.4，k為當前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù).

(2)若最佳適應(yīng)度值連續(xù)3代不變，則令ω(k)=ωstart=0.9，令其向更廣的范圍探索，若連續(xù)3代探索之后，其最佳適應(yīng)度值仍然不變，則令ω(k)=ωend=0.4，令其深度探索，若最佳適應(yīng)度值在變化，則采用步驟(1)中的慣性權(quán)重；

(3)反復(fù)執(zhí)行步驟(1)、(2)直至算法終止.

3.4 PCGA-PSO算法性能分析

根據(jù)3.1、3.2和3.3描述的PCGA-PSO算法，總結(jié)其性能特點如下：

(1)PCGA-PSO算法所采用的初始種群產(chǎn)生和編碼方法，可以保證初始種群覆蓋整個定義域；

(2)PCGA-PSO算法所采用的GA和PSO的并行交叉執(zhí)行方式，一方面兼顧了算法的局部搜索能力和全局搜索能力，另一方面保證了數(shù)據(jù)的交叉融合；

(3)對PSO算法慣性權(quán)重的設(shè)置保證了PSO算法不會陷入局部最優(yōu)，令其兼顧廣度和深度的搜索；

為了驗證PCGA-PSO算法的性能，本文使用某水文站的年徑流量數(shù)據(jù)，用PCGA-PSO算法對其進行水文頻率分析.

4 實驗與結(jié)果分析

表1 某水文站24年年徑流量Tab.1 Annual runoff data of a hydrologic station(24 years)

MethodC︵VC︵Sδ2矩法0.604261.362111729.9371權(quán)函數(shù)法0.610961.83847158.5226概率權(quán)重矩法0.282871.08555899.5163線性矩法0.307311.08693663.2752GA0.339761.09311106.4348PSO0.341521.0611708.8713PCGA-PSO0.351211.0713212.3691

圖1為利用PCGA-PSO算法得到的水文站的水文頻率曲線，可以看出基于PCGA-PSO算法的優(yōu)化適線法可以很好地擬合實測數(shù)據(jù).

圖1 基于PCGA-PSO算法的水文頻率曲線Fig.1 Hydrologic frequency curve based on PCGA-PSO algorithm

5 結(jié)論

本文提出的PCGA-PSO算法對傳統(tǒng)算法在3個方面進行了改進.首先，種群的初始化覆蓋了個體取值的整個定義域；其次，并行交叉的GA和PSO算法執(zhí)行方式兼顧了局部搜索和全局搜索，同時還實現(xiàn)了數(shù)據(jù)融合；最后，PSO算法的慣性權(quán)重的取值保證了算法可以及時跳出局部最優(yōu)，提高其收斂速度.實驗表明：PCGA-PSO算法可以有效地進行水文頻率參數(shù)估計，并為水文數(shù)據(jù)擬合理論頻率曲線，且該算法較傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法和優(yōu)化適線法精確度更高.

參 考 文 獻

[1] 張炳蔚，何文亮，周 沖. P-Ⅲ分布求矩適線法MATLAB實現(xiàn)與北海海域設(shè)計波高估計[J]. 水利與建筑工程學(xué)報，2013(5):27-31.

[2] Huang Zhenping,Lin Xiaoli,Hou Yunqing. Moment estimation for parameters of Pearson Type-Ⅲ distribution and calculated frequency of design flood[J]. Journal of Hohai University (Natural Sciences),2005, 33(1):49-51.

[3] Chen Wangchun, Zhao Lifeng. Application of weight function method to P-Ⅲ distribution[J]. Zhejiang Hydrotechnics, 2002(4):46-47.

[4] Yuan Xiuhong. Estimation methods of P-III distribution parameter based on partial probability weighted moments[J].Yangtze River, 2015, 46(13):25-28.

[5] Bai Li,Xia Letian,Wei Yuhua. L-moment method for the Pearson Type-Ⅲ distribution and its expected probability in parameter estimation[J]. Advances in Science and Technology of Water Resources,2008, 28(5):29-31.

[6] 陳南祥，甘 甜，杜青輝. SCEM-UA優(yōu)化算法在水文頻率分析中的應(yīng)用[J]. 西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011(8):210-214.

[7] Tada T. Parameter optimization of hydrological model using the PSO algorithm[J]. Suimon Mizu Shigen Gakkaishi Journal of Japan Society of Hydrology and Water Resources, 2007,20(5):450-461.

[8] 唐 穎，張永祥，王 昊，等. 基于PSO-AGA的水文頻率參數(shù)優(yōu)化算法[J]. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2016, 42(6):953-960.

[9] Cazzaniga P, Nobile M S, Besozzi D. The impact of particles initialization in PSO: Parameter estimation as a case in point[C]//IEEE. Computational Intelligence in Bioinformatics and Computational Biology. Niagara Falls: IEEE, 2015:1-8.

[10] Jakubcová M, Máca P, Pech P. Parameter estimation in rainfall-runoff modelling using distributed versions of Particle Swarm Optimization Algorithm[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2015, 2015:1-13.

[11] 譚 貌，段 斌，周 嘯，等. 基于改進PSO的中厚板軋制規(guī)程能量優(yōu)化設(shè)計[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014(5):1476-1483.

[12] 劉 健，李京航，柏小麗. 基于精英保留策略遺傳算法的配電網(wǎng)無功優(yōu)化[J]. 電氣技術(shù)，2015(4):35-38.